Supongamos que tenemos una funci\u00f3n escalar \\( f(x, y) \\) definida y continua en un rect\u00e1ngulo \\( R = [a, b] \\times [c, d] \\). El teorema del punto medio nos permite aproximar la integral doble de \\( f\\) sobre \\( R \\) mediante:<\/p>\n
\\[
\n\\iint_R f(x, y) , dx,dy \\approx f\\left( \\frac{a + b}{2}, \\frac{c + d}{2} \\right) \\cdot (b – a)(d – c)
\n\\]<\/p>\n
As\u00ed, la Regla del Punto Medio<\/strong> (o del Rect\u00e1ngulo), consiste en dividir la regi\u00f3n de integraci\u00f3n \\( R \\) en una cuadr\u00edcula(tambien llamada malla) de \\( m \\times n \\) subrect\u00e1ngulos \\( R_{ij} \\). Para cada subrect\u00e1ngulo, aproximamos el valor de la funci\u00f3n \\( f(x, y) \\) por su valor en el punto medio<\/strong> de dicho subrect\u00e1ngulo, y multiplicamos este valor por el \u00e1rea del subrect\u00e1ngulo.<\/p>\n Sea \\( \\Delta x = \\frac{b-a}{m} \\) y \\( \\Delta y = \\frac{d-c}{n} \\). El \u00e1rea de cada subrect\u00e1ngulo es \\(\\Delta A = \\Delta x \\Delta y \\). Si \\(\\bar{x}_{i}, \\bar{y}_{j}\\) es el punto medio del subrect\u00e1ngulo \\( R_{ij} \\), la integral doble se aproxima por:<\/p>\n \\[ \\iint_{R} f(x, y) \\, dA \\approx \\sum_{i=1}^{m} \\sum_{j=1}^{n} f(\\bar{x}_{i}, \\bar{y}_{j}) \\Delta A\\]<\/p>\n Geom\u00e9tricamente, estamos aproximando el volumen bajo la superficie \\( z = f(x, y) \\) mediante una suma de vol\u00famenes de prismas rectangulares.<\/p>\n
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