{"id":539,"date":"2025-11-26T11:50:22","date_gmt":"2025-11-26T10:50:22","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=539"},"modified":"2025-11-19T16:43:21","modified_gmt":"2025-11-19T15:43:21","slug":"mathbio-aplicaciones-de-la-integral-definida","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=539","title":{"rendered":"MathBio: Aplicaciones de la integral definida"},"content":{"rendered":"<h2>Volumen por secciones<\/h2>\n<p>El pasado d\u00eda vimos que definimos la integral \\(\\displaystyle\\int_{a}^bf(x)\\ dx\\) como el \u00e1rea entre una funci\u00f3n, el eje OX y las rectas \\(x=a\\) y \\(x=b\\). Recordemos que debemos tener en cuenta que la funci\u00f3n siempre sea positiva en dicho intervalo.<\/p>\n<p>El siguiente paso es determinar vol\u00famenes, como la suma de infinitas secciones transversales perpendiculares al eje \\(x\\):<br \/>\n\\[V=\\int_a^bA(x)\\ dx.\\]<br \/>\nEn este caso la dificultad estriba en determinar la funci\u00f3n que me da el \u00e1rea de la secci\u00f3n transversal.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el volumen de un s\u00f3lido que se obtiene al girar la regi\u00f3n bajo la curva  \\(y=\\sqrt{x}\\) respecto del eje x desde 0 a 1?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nNuestra funci\u00f3n a revolucionar es \\(f(x)=\\sqrt{x}\\), luego buscamos la integral \\[V=\\int_0^1 \\pi {f(x)}^2\\ dx=  \\pi\\int_0^1\\  x\\ dx=\\pi\\left[\\frac{x^2}{2}\\right|_0^1=\\frac{\\pi}{2}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el volumen de un s\u00f3lido que se obtiene al girar la regi\u00f3n comprendida entre  \\(y=x^3\\), \\(y=8\\) y \\(x=0\\) respecto del eje y?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\nEl volumen lo podemos obtener como la suma de las \u00e1reas de las secciones del objeto. Esta \u00e1rea vendr\u00e1 dada por \\(A(y)=\\pi {f(y)}^2\\). Luego \\[V=\\int_0^8 (\\pi y^{2\/3})\\ dy=\\frac{96}{5}\\pi\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Volumen de s\u00f3lidos en revoluci\u00f3n<\/h2>\n<p>Estos vol\u00famenes los calculamos como s\u00f3lidos en revoluci\u00f3n; es decir, un s\u00f3lido que se genera por la revoluci\u00f3n sobre el eje OX de una curva \\(y=f(x)\\), y su f\u00f3rmula es \\[V= \\pi \\int_a^b f(x)^2\\,dx\\]<\/p>\n<p>Si embargo, si revoluciona respecto del eje OY, el volumen ser\u00e1<\/p>\n<p>\\[V= 2\\pi \\int_a^b x f(x)\\,dx.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el volumen del s\u00f3lido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje \\(y\\) la regi\u00f3n delimitada por \\(y=2x^2-x^3\\) y \\(y=0\\)?\n <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nEn este caso buscamos la integral \\[V= 2\\pi \\int_0^2 x \\left(2x^2-x^3\\right)\\,dx=2\\pi\\left[-\\frac{2 {{x}^{5}}-5 {{x}^{4}}}{10}\\right|_0^2=\\frac{16\\pi}{5}.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Superficie de s\u00f3lidos en revoluci\u00f3n<\/h2>\n<p>El c\u00e1lculo de la superficie de este solido de revoluci\u00f3n(sobre el eje OX) viene dado por: \\[A=2\\pi\\int_a^b f(x) \\sqrt{1+\\left[f^\\prime(x)\\right]^2} \\, dx \\]<\/p>\n<h2>Longitud de arco de una curva<\/h2>\n<p>Por \u00faltimo, el c\u00e1lculo de la longitud de arco de una curva en un intervalo dado es:\\[s = \\int_{a}^{b} \\sqrt{1 + \\left [ f^\\prime \\left ( x \\right ) \\right ] ^2} \\, dx \\]<\/p>\n<p>El gran problema del c\u00e1lculo de superficies y longitud de arco es que implica encontrar una primitiva, que en muchos casos, es tremendamente complecada. En estos casos es m\u00e1s pr\u00e1ctico encontrar una aproximaci\u00f3n mediante la integraci\u00f3n num\u00e9rica.<\/p>\n<h3>Reglas simples de Simpson<\/h3>\n<p>\\[\\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx =\\frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))-\\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\\xi),\\, \\xi\\in (x_0,x_2) \\] \\[\\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx =\\frac{3h}{8}(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))-\\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\\xi),\\, \\xi\\in (x_0,x_3) \\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es la longitud de arco de la curva \\(y=x^2-x\\) entre x=0 y x=2? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\nTenemos la funci\u00f3n \\(f(x)=x^2-x\\) y su derivada es \\(f^\\prime(x)=2 x-1\\). As\u00ed \\[s = \\int_{0}^{2} \\sqrt{1 + \\left [ f^\\prime \\left ( x \\right ) \\right ] ^2} \\, dx = \\int_{0}^{2}\\sqrt{{{\\left( 2 x-1\\right) }^{2}}+1}\\, dx.\\]<br \/>\nSea \\[{g}(x)=\\sqrt{{{\\left( 2 x-1\\right) }^{2}}+1},\\] si aplicamos la regla de Simpson de \\(\\frac{1}{3}\\), con \\(h=\\frac{2-0}{2}\\) tendremos\\[s = \\int_{0}^{2} g(x) \\, dx \\approx\\frac{1}{3}(g(0)+3g\\left(1\\right)+g(2))\\approx 2.9397\\]<br \/>\nEsta aproximaci\u00f3n es generalmente mala para un intervalo tan grande. Utilicemos la regla de Simpson de \\(\\frac{3}{8}\\) con  \\(h=\\frac{2-0}{3}\\):<br \/>\n\\[s = \\int_{0}^{2} g(x) \\, dx \\approx\\frac{3h}{8}\\left(g(0)+3g\\left(\\frac{2}{3}\\right)+3g\\left(\\frac{4}{3}\\right)+g(2)\\right)\\approx 3.3924\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es la superficie de un s\u00f3lido que se obtiene al girar la regi\u00f3n bajo la curva  \\(y=2x^2-x^3\\) respecto del eje x desde 0 a 2?  <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4() {\n  var htmlShow4 = document.getElementById(\"html-show4\");\n  if (htmlShow4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4\" style=\"display: none;\">\nPara calcular el \u00e1rea tendremos que estimar la integral \\[A=2\\pi\\int_a^b f(x) \\sqrt{1+\\left[f^\\prime(x)\\right]^2} \\, dx. \\] En nuestro caso<br \/>\n\\[A=2\\pi\\int_0^2 (2x^2-x^3) \\sqrt{{{\\left( 4 x-3 {{x}^{2}}\\right) }^{2}}+1} \\, dx.\\]<br \/>\nSea \\(g(x)=(2x^2-x^3) \\sqrt{{{\\left( 4 x-3 {{x}^{2}}\\right) }^{2}}+1}\\), aplicando la regla de Simpson de \\(\\frac{3}{8}\\) ser\u00e1<br \/>\n\\[A = 2\\pi\\int_{0}^{2} g(x) \\, dx \\approx 2\\pi\\cdot\\frac{3h}{8}\\left(g(0)+3g\\left(\\frac{2}{3}\\right)+3g\\left(\\frac{4}{3}\\right)+g(2)\\right)\\approx 10.2392\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Integraci\u00f3n Impropia<\/h2>\n<p>\u00bfQu\u00e9 ocurre cuando queremos calcular una integral de un funci\u00f3n en un intervalo no acotado?, o cuando uno de los extremos es una discontinuidad de la funci\u00f3n. Estas integrales son las que hemos resuelto hoy.<\/p>\n<p>Este tipo de integrales se catalogan en<\/p>\n<ul>\n<li>de Primera especie, cuando el intervalo es de la forma (-\u221e,b] o [a,\u221e) o (-\u221e,\u221e)<\/li>\n<li>de Segunda especie, (a,b] o [a,b) o (a,b)<\/li>\n<li>de Tercera especie, una mezcla de los anteriores, como (a,\u221e)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para afrontar este tipo de integraci\u00f3n procederemos como:<\/p>\n<ul>\n<li>Integrando discontinuo\n<ul>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua en el intervalo \\([a, b)\\), pero es discontinua en \\(x=b\\), \\[\\int_a^b f(x)dx=\\lim_{h\\to 0^+}\\int_a^{b-h}f(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>  \\(\\displaystyle\\int_1^2 \\frac{1}{\\sqrt{2-x}}dx\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a() {\n  var htmlShow1a = document.getElementById(\"html-show1a\");\n  if (htmlShow1a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_1^2 \\frac{1}{\\sqrt{2-x}}dx=\\lim_{b\\to 2^-}\\int_1^b \\frac{1}{\\sqrt{2-x}}dx=\\lim_{b\\to 2^-}\\left[-2\\sqrt{2-x}\\right|_1^b=\\]\\[=\\lim_{b\\to 2^-}\\left(-2\\sqrt{2-b}+2\\sqrt{2-1}\\right)=2\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua en el intervalo \\((a, b]\\), pero es discontinua en \\(x=a\\), \\[\\int_a^b f(x)dx=\\lim_{h\\to 0^+}\\int_{a+h}^bf(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\(\\displaystyle\\int_0^1 \\frac{dx}{x^{\\tfrac{2}{3}}}\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b() {\n  var htmlShow1b = document.getElementById(\"html-show1b\");\n  if (htmlShow1b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script>  <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_0^1 \\frac{dx}{x^{\\tfrac{2}{3}}}=\\lim_{a\\to 0^+}\\int_a^1 \\frac{dx}{x^{\\tfrac{2}{3}}}=\\lim_{a\\to 0^+}\\left[3x^{\\tfrac{1}{3}}\\right|_a^1=\\]\\[=\\lim_{a\\to 0^+}\\left(3-3a^{\\tfrac{1}{3}}\\right)=3\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua en el intervalo \\([a, b]\\), excepto para \\(x=c\\in (a,b)\\), \\[\\int_a^b f(x)dx=\\lim_{h\\to 0^+}+\\int_a^{c-h}f(x)dx+\\lim_{h\\to 0^+}\\int_{c+h}^b f(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>  \\(\\displaystyle\\int_0^2 \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c() {\n  var htmlShow1c = document.getElementById(\"html-show1c\");\n  if (htmlShow1c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_0^2 \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}=\\int_0^1 \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}+\\int_1^2 \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}=\\]\\[= \\lim_{b\\to 1^-}\\int_0^b \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}+\\lim_{a\\to 1^+}\\int_a^2 \\frac{dx}{(x-1)^{2\/3}}=\\]\\[= \\lim_{b\\to 1^-}\\left[3(x-1)^{1\/3}\\right|_0^b+\\lim_{a\\to 1^+}\\left[3(x-1)^{1\/3}\\right|_a^2=\\]\\[= \\lim_{b\\to 1^-}\\left(3(b-1)^{1\/3}-3(0-1)^{1\/3}\\right)+\\lim_{a\\to 1^+}\\left(3(2-1)^{1\/3}-3(a-1)^{1\/3}\\right)=6\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>L\u00edmites de integraci\u00f3n infinitos\n<ul>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua en el intervalo \\([a, \\infty)\\), \\[\\int_a^\\infty f(x)dx=\\lim_{b\\to \\infty}\\int_a^{b}f(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\(\\displaystyle\\int_0^\\infty e^{-x}dx\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1d() {\n  var htmlShow1d = document.getElementById(\"html-show1d\");\n  if (htmlShow1d.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1d.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1d.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script>  <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1d()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1d\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_0^\\infty e^{-x}dx=\\lim_{b\\to\\infty}\\int_0^be^{-x}=\\lim_{b\\to\\infty}\\left[-e^{-x}\\right|_0^b=\\lim_{b\\to\\infty}\\left(-e^{-b}+1\\right)=1\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua en el intervalo \\((-\\infty, b]\\), \\[\\int_{-\\infty}^b f(x)dx=\\lim_{a\\to -\\infty}\\int_a^{b}f(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\(\\displaystyle\\int_{-\\infty}^0 e^{2x}dx\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1e() {\n  var htmlShow1e = document.getElementById(\"html-show1e\");\n  if (htmlShow1e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1e\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_{-\\infty}^0 e^{2x}dx=\\lim_{a\\to-\\infty}\\int_a^0e^{2x}=\\lim_{a\\to-\\infty}\\left[\\tfrac{1}{2}e^{2x}\\right|_a^0=\\tfrac{1}{2}\\lim_{a\\to-\\infty}\\left(1-e^{2a}\\right)=\\frac{1}{2}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<li>Si \\(f(x)\\) es continua para todo \\(c\\in [a, b]\\), \\[\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx=\\lim_{a\\to -\\infty}\\int_a^{c}f(x)dx+\\lim_{b\\to \\infty}\\int_c^{b}f(x)dx\\]<\/li>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\(\\displaystyle\\int_{-\\infty}^\\infty \\frac{1}{1+x^2}dx\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1f() {\n  var htmlShow1f = document.getElementById(\"html-show1f\");\n  if (htmlShow1f.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1f.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1f.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script>  <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1f()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1f\" style=\"display: none;\">\nElegimos un punto \\(c=0\\) donde es continua y aplicamos<br \/>\n\\[\\int_{-\\infty}^\\infty \\frac{1}{1+x^2}dx=\\int_{-\\infty}^0 \\tfrac{1}{1+x^2}dx+\\int_0^\\infty \\tfrac{1}{1+x^2}dx=\\]\\[=\\lim_{a\\to-\\infty}\\int_a^0\\tfrac{1}{1+x^2}dx+\\lim_{b\\to\\infty}\\int_0^b\\tfrac{1}{1+x^2}dx\\]<br \/>\nAhora es suficiente con recordar que \\[\\int \\frac{1}{1+x^2}dx=\\arctan x+C\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>En todos los casos siempre que exista el l\u00edmite.<\/p>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 6 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>\u00bfCu\u00e1l es la longitud del arco aproximada de la funci\u00f3n \\(f(x)=\\cos(x^2)\\) en el intervalo \\([0,\\pi]\\)?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>1.2561<\/li>\n<li>4.8523\\(\\pi\\)<\/li>\n<li>8.8372\\(\\pi\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<p>Tenemos la funci\u00f3n \\(f(x)=\\cos(x^2)\\) y su derivada es \\(f^\\prime(x)=-2 x \\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }\\). As\u00ed \\[s = \\int_{0}^{\\pi} \\sqrt{1 + \\left [ f^\\prime \\left ( x \\right ) \\right ] ^2} \\, dx = \\int_{0}^{\\pi}\\sqrt{1+4 {{x}^{2}} {{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}^{2}}}\\, dx.\\]<br \/>\nSea \\[{g}(x)=\\sqrt{1+4 {{x}^{2}} {{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}^{2}}},\\] si aplicamos la regla de Simpson de \\(\\frac{3}{8}\\) tendremos\\[s = \\int_{0}^{\\pi} g(x) \\, dx \\approx\\frac{\\pi}{8}\\left(g(0)+3g\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)+3g\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right)+g(\\pi)\\right)\\approx 8.8372\\]\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Volumen por secciones El pasado d\u00eda vimos que definimos la integral \\(\\displaystyle\\int_{a}^bf(x)\\ dx\\) como el \u00e1rea entre una funci\u00f3n, el eje OX y las rectas \\(x=a\\) y \\(x=b\\). 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