{"id":536,"date":"2025-11-26T10:15:18","date_gmt":"2025-11-26T09:15:18","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=536"},"modified":"2025-11-19T16:37:55","modified_gmt":"2025-11-19T15:37:55","slug":"mathbio-integral-definida","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=536","title":{"rendered":"MathBio: Integral definida"},"content":{"rendered":"<p>La integral definida surge de la necesidad de calcular un \u00e1rea mediante el l\u00edmite de una suma infinita de rect\u00e1ngulos en los que se divide el \u00e1rea buscada. Esta idea, la formaliz\u00f3 Bernhard Riemann dando la primera  definici\u00f3n rigurosa de la integral de una funci\u00f3n en un intervalo. A esta forma de definirla se le denomina <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Integraci%C3%B3n_de_Riemann\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">integraci\u00f3n de Riemann<\/a>, haciendo uso de las <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Suma_de_Riemann\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">sumas de Riemann<\/a>.<\/p>\n<p>Aplicando la sumas de Riemann, diremos <\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(f\\) es una funci\u00f3n continua definida en \\(a\\leq x \\leq b\\), dividimos el intervalo \\([a, b]\\) en \\(n\\) subintervalos de igual ancho \\(\\Delta x=(b-a)\/n\\). Sean \\(x_0(=a)\\), \\(x_1\\), \\(x_2\\),&#8230;, \\(x_n(=b)\\), los puntos extremos  de estos subintervalos y sean \\(x_1^*\\), \\(x_2^*\\),&#8230;, \\(x_n^*\\) los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que \\(x_i^*\\) se encuentre en el i-\u00e9simo subintervalo \\([x_{i-1} , x_i ]\\). Entonces la integral definida de \\(f\\), desde \\(a\\) hasta \\(b\\), es<br \/>\n\\[\\int_a^bf(x)\\ dx=\\lim_{n\\to\\infty}f(x_i^*)\\Delta x\\]<br \/>\nsiempre que este l\u00edmite exista y d\u00e9 el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos muestra. Si existe, decimos que \\(f\\) es integrable sobre [a, b].\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Esta definici\u00f3n da pie a definir la funci\u00f3n integral:<\/p>\n<blockquote>\n<p> Si \\(f\\) es continua sobre [a, b], entonces la funci\u00f3n \\(g\\) definida por<br \/>\n\\[g(x)=\\int_a^xf(x)\\ dx,\\quad a\\leq x\\leq b \\]<br \/>\nes continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y \\(g'(x)=f(x)\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Nosotros evaluaremos esta integral utilizando el Teorema fundamental del C\u00e1lculo:<\/p>\n<blockquote>\n<p> Si \\(f\\) es continua sobre [a, b], entonces<br \/>\n\\[\\int_a^bf(x)\\ dx=F(b)-F(a)\\]<br \/>\ndonde \\(F\\) es una primitiva de f.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> \\({\\displaystyle \\int _{0}^{1}{\\sqrt {x}}\\,dx}\\)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv16() {\n  var htmlShow16 = document.getElementById(\"html-show16\");\n  if (htmlShow16.style.display === \"none\") {\n    htmlShow16.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow16.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv16()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show16\" style=\"display: none;\">\n\\[{\\displaystyle \\int _{0}^{1}{\\sqrt {x}}\\,{\\text{d}}x=\\int _{0}^{1}x^{\\frac {1}{2}}\\,dx=\\left.({\\frac {2}{3}}x^{\\frac {3}{2}})\\right|_{0}^{1}={\\frac {2}{3}}1^{\\frac {3}{2}}-{\\frac {2}{3}}0^{\\frac {3}{2}}={\\frac {2}{3}}.}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> \\(\\int_{2}^{5}\\!e^{-x}\\,  dx\\)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv16b() {\n  var htmlShow16b = document.getElementById(\"html-show16b\");\n  if (htmlShow16b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow16b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow16b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv16b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show16b\" style=\"display: none;\">\n\\[\\int_{2}^{5}\\!e^{-x}\\, dx = \\left.-e^{-x}\\right\\vert_{2}^{5} = -e^{-5} + e^{-2} \\approx 0.128597 \\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el \u00e1rea de la regi\u00f3n entre la curva  \\(y=x^2-x\\) y el eje x desde 0 a 2?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\(y=x^2-x=x(x-1)\\), tiene un cero en \\(x=1\\) donde cambia de signo. En (0,1) es negativa y en (1,2] positiva, luego<br \/>\n\\[\\int_0^2(x^2-x)\\ dx=-\\int_0^1(x^2-x)\\ dx+\\int_1^2(x^2-x)\\ dx=\\left[\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^2}{2}\\right|_1^0+\\left[\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^2}{2}\\right|_1^2=1\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Esta definici\u00f3n nos permite el c\u00e1lculo de \u00e1reas encerradas entre dos curvas. Si las funciones \\(f(x)\\) y \\(g(x)\\), cumplen que \\(g(x)\\leq f(x)\\), para todo \\(x\\in[a,b]\\), entonces, el \u00e1rea encerrada entre las dos curvas es \\[A=\\int_a^b[f(x)-g(x)]\\ dx.\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el \u00e1rea de la regi\u00f3n comprendida entre las curvas  \\(y=x^2-x\\) y \\(y=x\\)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\nAmbas curvas se cortan cuando \\(x^2-x=x\\), y eso ocurre para \\(x=0\\) y \\(x=2\\). Adem\u00e1s, en el intervalo [0,2] se cumple que \\(x^2-x&lt;x\\) \\(\\forall x\\). Luego buscamos la integral \\[\\int_0^2(x-(x^2-x))\\ dx=\\left[{{x}^{2}}-\\frac{{{x}^{3}}}{3}\\right|_0^2=\\frac{4}{3}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>En el caso de que alternen deberemos ver los puntos donde \\(g(x)\\leq f(x)\\) o \\(f(x)\\leq g(x)\\) para fraccionar el \u00e1rea de modo que podamos aplicar la f\u00f3rmula anterior.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el \u00e1rea de la regi\u00f3n comprendida entre las curvas  \\(y=x^2-x\\) y \\(y=\\sqrt{x}\\)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b1() {\n  var htmlShow2b1 = document.getElementById(\"html-show2b1\");\n  if (htmlShow2b1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b1\" style=\"display: none;\">\nEn este caso, el problema reside en encontrar el punto de corte de ambas curvas. Observemos que \\(x^2-x=\\sqrt{x}\\), tiene un cero claro en \\(x_0=0\\) pero el otro cero solo vemos que est\u00e1 entre [1,2], ya que si tomamos \\(h(x)=\\sqrt{x}-x^2+x\\), ser\u00e1 \\(h(1)=1\\)  y \\(h(2)\\approx -0.5\\). Por tanto, usemos el M\u00e9todo de Newton para encontrar la soluci\u00f3n. Sea \\(x_0=1.5\\), como \\(h^\\prime(x)=\\frac{1}{2 \\sqrt{x}}-2x+1\\), ser\u00e1:<\/p>\n<p>\\[x_{n+1}=Newton(x_n)=x_{n}-\\frac{-{{x_{n}}^{2}}+x+\\sqrt{x_{n}}}{-2 x+\\frac{1}{2 \\sqrt{x_{n}}}+1}=x_{n}-\\frac{\\sqrt{x_{n}} \\left( 2 {{x_{n}}^{2}}-2 x_{n}\\right) -2 x_{n}}{\\sqrt{x_{n}} \\left( 4 x_{n}-2\\right) -1}\\]<\/p>\n<p>Ahora sustituimos: \\[\\begin{array}{l} x_0=1.5\\\\ x_1=Newton(1.5)=1.7982\\\\ x_2=Newton(1.7982)=1.7557\\\\ x_3=Newton(1.7557)=1.7548\\\\  x_4=Newton(1.7548)=1.7548 \\end{array}\\]<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, en el intervalo [0,1.7548] se cumple que \\(x^2-x&lt;\\sqrt{x}\\) \\(\\forall x\\).<br \/>\nLuego, buscamos la integral \\[\\int_0^{1.7548}(\\sqrt{x}-x^2+x)\\ dx=1.2881\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 5 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\int_0^{\\frac{\\pi}{4}}e^{\\cos x}\\sin x\\, dx\\)?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>5\/3<\/li>\n<li>3\/4<\/li>\n<li>0.69<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica aplicada con maxima - Integral definida  Ejercicio 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Ee68ptSzClc?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La integral definida surge de la necesidad de calcular un \u00e1rea mediante el l\u00edmite de una suma infinita de rect\u00e1ngulos en los que se divide el \u00e1rea buscada. 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