{"id":465,"date":"2025-11-20T09:01:35","date_gmt":"2025-11-20T08:01:35","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=465"},"modified":"2025-11-18T22:07:17","modified_gmt":"2025-11-18T21:07:17","slug":"mathbio-gradiente-y-derivada-direccional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=465","title":{"rendered":"MathBio: Gradiente y derivada direccional"},"content":{"rendered":"<h2>El gradiente<\/h2>\n<p>Consideremos \\(f:D\\subseteq \\mathbb{R}^2\\;\\longrightarrow\\;\\mathbb{R}\\,\\) un campo escalar de dos variables, entonces el gradiente de \\(f\\) es la funci\u00f3n vectorial \\(\\nabla f : D\\subseteq \\mathbb{R}^2\\;\\longrightarrow\\;\\mathbb{R}^2\\)  definida por \\[\\nabla f(x, y) = (f_x(x, y),f_y(x, y)) = \\displaystyle{\\frac{\\partial f}{\\partial  x}}\\, \\mathbf{i} + \\frac{\\partial f}{\\partial  y}\\, \\mathbf{j}.\\]<\/p>\n<p>El vector gradiente apunta en la direcci\u00f3n en la que el campo escalar aumenta m\u00e1s r\u00e1pidamente en un punto dado. Es decir, si te desplazas en la direcci\u00f3n del gradiente, experimentar\u00e1s el mayor incremento en el valor del campo. As\u00ed, por ejemplo, si hablamos de una magnitud f\u00edsica como el campo escalar,  la tasa o ritmo de crecimiento de esta nos lo proporciona su gradiente.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> La temperatura (en \u00baC) en la superficie de una placa met\u00e1lica est\u00e1 dada por el campo escalar \\(T(x,y)=20-4x^2-y^2\\), donde \\(x\\) e \\(y\\) se miden en cm. \u00bfCu\u00e1l es la tasa o ritmo de crecimiento, desde (2,-1), de mayor aumento de la temperatura?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a13b() {\n  var htmlShow1a13b = document.getElementById(\"html-show1a13b\");\n  if (htmlShow1a13b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a13b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a13b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a13b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a13b\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Gradiente. Ej.2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/xlAf3Shfsf0?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Considerando el mismo campo escalar anterior, \u00bfcu\u00e1l es el producto escalar del vector [-1,4] por el vector que nos proporciona la direcci\u00f3n de m\u00e1ximo crecimiento, a partir de (2,-1), de la temperatura?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a13c() {\n  var htmlShow1a13c = document.getElementById(\"html-show1a13c\");\n  if (htmlShow1a13c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a13c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a13c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a13c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a13c\" style=\"display: none;\">\nHemos visto que \\(\\nabla T(2,-1) =[-16,2]\\), luego \\[\\mathbf{u}=\\frac{1}{\\|\\nabla T(2,-1)\\|}\\nabla T(2,-1) =\\left[ -\\frac{8}{\\sqrt{65}},\\frac{1}{\\sqrt{65}}\\right].\\]<br \/>\nPor tanto, \\[\\mathbf{u} \\bullet [-1,4]=\\left[ -\\frac{8}{\\sqrt{65}},\\frac{1}{\\sqrt{65}}\\right]\\bullet[-1,4]\\approx 1.48\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sabemos que la distribuci\u00f3n de humanos infectados por <em>Cordyceps<\/em> en una regi\u00f3n cercada, est\u00e1 dada por \\(P(x,y)=10^3{{e}^{x {{y}^{2}}}}\\), donde \\(x\\) e \\(y\\) son las coordenadas en un mapa de escala 1:5000. Un equipo de paracaidistas se deja en el punto (1,3), para eliminar el mayor n\u00famero de infectados. Sea \\(\\mathbf{u}\\) la direcci\u00f3n que debe tomar el equipo, \u00bfcu\u00e1l es el cuadrado del producto escalar del vector [-4,1] por \\(\\mathbf{u}\\)? <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a13b3() {\n  var htmlShow1a13b3 = document.getElementById(\"html-show1a13b3\");\n  if (htmlShow1a13b3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a13b3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a13b3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a13b3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a13b3\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Gradiente. Ej.4 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JEX-9uZEHlQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>De manera an\u00e1loga, si \\(f\\) es una funci\u00f3n escalar de tres variables su gradiente est\u00e1 dado por<\/p>\n<p>\\[\\,\\nabla f(x, y, z) = (f_x(x, y, z), f_y(x, y, z),f_z(x, y,z)) = \\displaystyle{\\frac{\\partial f}{\\partial  x}} \\,\\mathbf{i}<br \/>\n+ \\frac{\\partial f}{\\partial  y}\\, \\mathbf{j} + \\frac{\\partial f}{\\partial  z}\\,\\mathbf{k}.\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el vector gradiente de \\(f(x,y,z)=x\\,\\sin^2(y)+z\\,\\cos^2(y)\\) <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6() {\n  var htmlShow6 = document.getElementById(\"html-show6\");\n  if (htmlShow6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6\" style=\"display: none;\">\nVemos que \\[\\begin{align*}{fx}\\left( x,y,z\\right)&#038;={{\\sin^{2}{(y)}}}\\\\<br \/>\n{fy}\\left( x,y,z\\right)&#038;=2 x \\cos{(y)} \\sin{(y)}-2 \\cos{(y)} \\sin{(y)} z\\\\<br \/>\n{fz}\\left( x,y,z\\right)&#038;=\\cos^2{(y)}<br \/>\n\\end{align*}\\] De modo que \\[\\nabla f\\left( x,y,z\\right)=\\left[\\sin^{2}{(y)},x \\sin{\\left( 2 y\\right) }-\\sin{\\left( 2 y\\right) } z,\\cos^2{(y)}\\right]\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(f(x,y,z)=x\\,\\sin^2(y)+ze^{2x}\\). \u00bfCu\u00e1nto vale \\(\\left \\|\\nabla f\\left(1,\\tfrac{\\pi}{4},0\\right) \\right \\|\\) ? <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6b() {\n  var htmlShow6b = document.getElementById(\"html-show6b\");\n  if (htmlShow6b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6b\" style=\"display: none;\">\nCalculemos el gradiente \\[\\nabla f\\left( x,y,z\\right)=\\left[2 {{e}^{2 x}} z+\\sin^{2}{(y)},x \\sin{\\left( 2 y\\right) },{{e}^{2 x}}\\right]\\]<br \/>\nSolo nos resta sustituir  \\[\\nabla f\\left( 1,\\tfrac{\\pi}{4},0\\right)=[\\frac{1}{2},1,{{e}^{2}}]\\] y calcular la norma:\\[\\|\\nabla f\\left( 1,\\tfrac{\\pi}{4},0\\right)\\|\\approx 7.473\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Propiedades del gradiente que m\u00e1s utilizamos son:<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>Direcci\u00f3n de mayor incremento<\/strong>: El gradiente de una funci\u00f3n \\( f(x, y, \\ldots) \\), denotado como \\( \\nabla f \\), apunta en la direcci\u00f3n de mayor incremento de la funci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Magnitud del gradiente<\/strong>: La magnitud del gradiente \\( \\|\\nabla f\\| \\) indica la tasa de cambio m\u00e1s r\u00e1pida de la funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del gradiente.<\/li>\n<li><strong>Ortogonalidad a las curvas de nivel<\/strong>: El gradiente de una funci\u00f3n en un punto es ortogonal (perpendicular) a la curva de nivel de la funci\u00f3n que pasa por ese punto. Es decir, es ortogonal a las curvas de nivel, o las superficies equiescalares.<\/li>\n<li><strong>Linealidad<\/strong>: Si \\( f \\) y \\( g \\) son funciones diferenciables y \\( a \\) y \\( b \\) son constantes, entonces:<br \/>\n   \\[   \\nabla (a f + b g) = a \\nabla f + b \\nabla g   \\]<\/li>\n<li><strong>Producto de funciones<\/strong>: Si \\( f \\) y \\( g \\) son funciones diferenciables, entonces:<br \/>\n   \\[   \\nabla (f g) = f \\nabla g + g \\nabla f   \\]<\/li>\n<li><strong>Cociente de funciones<\/strong>: Si \\( f \\) y \\( g \\) son funciones diferenciables y \\( g \\neq 0 \\), entonces:<br \/>\n   \\[   \\nabla \\left( \\frac{f}{g} \\right) = \\frac{g \\nabla f &#8211; f \\nabla g}{g^2}   \\]<\/li>\n<li><strong>Regla de la cadena<\/strong>: Si \\( f \\) es una funci\u00f3n de \\( u \\) y \\( v \\), y \\( u \\) y \\( v \\) son funciones de \\( x \\) y \\( y \\), entonces:   \\[   \\nabla f = \\frac{\\partial f}{\\partial u} \\nabla u + \\frac{\\partial f}{\\partial v} \\nabla v   \\]<\/li>\n<li>Se anula en los puntos estacionarios.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Derivada direccional<\/h2>\n<p>Observamos que el gradiente es un vector que, evaluado en un punto gen\u00e9rico \\(x\\) del dominio de \\(f\\), \\(\\nabla f(x)\\), indica la direcci\u00f3n en la cual el campo \\(f\\) var\u00eda m\u00e1s r\u00e1pidamente y su m\u00f3dulo representa el ritmo de variaci\u00f3n de \\(f\\) en la direcci\u00f3n de dicho vector. Es decir,  si \\(f\\) es una funci\u00f3n escalar de dos variables, \\(\\nabla f(x_0,y_0)\\) nos indica la direcci\u00f3n en un eje centrado en \\((x_0,y_0)\\) donde la funci\u00f3n  \\(f\\) var\u00eda m\u00e1s r\u00e1pidamente, y \\(||\\nabla f(x_0,y_0)||\\) ser\u00eda la magnitud con la que var\u00eda.<\/p>\n<p>El gradiente nos permite redefinir la derivada direccional en la direcci\u00f3n de cualquier vector unitario como<\/p>\n<p>\\[D_{\\mathbf{u}}f(x, y)\\, = \\, \\nabla f(x,y)\\bullet \\mathbf{u}.\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong>  calcular la derivada direccional de \\(f(x,y,z)=x\\,\\sin(y)+yz^2\\) en el punto P(1,\\(\\frac{\\pi}{2}\\),-1) y en la direcci\u00f3n del vector u=(4,3,0).<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7() {\n  var htmlShow7 = document.getElementById(\"html-show7\");\n  if (htmlShow7.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7\" style=\"display: none;\">\nComo hemos realizado con anterioridad, calculamos el gradiente<br \/>\n\\[\\nabla f\\left( x,y,z\\right)=\\left[\\sin(y),{{z}^{2}}+x \\cos{(y)},2yz\\right]\\]<br \/>\nEl vector gradiente en nuestro punto ser\u00e1:\\[\\nabla f\\left(1, \\frac{\\pi}{2} ,-1\\right)=[1,1,-\\pi]\\] Ahora solo nos resta multiplicarlo por [4,3,0] normalizado \\[[1,1,-\\pi].[0,4,3]\\frac{1}{5}=\\frac{7}{5}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Propiedades de la derivada direccional<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>Linealidad<\/strong>: La derivada direccional es lineal respecto a la direcci\u00f3n. Si \\( \\mathbf{u} \\) y \\( \\mathbf{v} \\) son vectores y \\( a \\) y \\( b \\) son constantes, entonces:<br \/>\n   \\[   D_{a\\mathbf{u} + b\\mathbf{v}} f(\\mathbf{a}) = a D_{\\mathbf{u}} f(\\mathbf{a}) + b D_{\\mathbf{v}} f(\\mathbf{a})   \\]<\/li>\n<li><strong>Relaci\u00f3n con el gradiente<\/strong>: La derivada direccional en la direcci\u00f3n del gradiente es igual a la norma del gradiente:<br \/>\n   \\[   D_{\\mathbf{u}} f(\\mathbf{a}) = \\|\\nabla f(\\mathbf{a})\\|   \\]<br \/>\n   cuando \\( \\mathbf{u} \\) es un vector unitario en la direcci\u00f3n del gradiente.<\/li>\n<li><strong>M\u00e1ximo valor<\/strong>: La derivada direccional alcanza su valor m\u00e1ximo cuando \\( \\mathbf{u} \\) es paralelo al gradiente \\( \\nabla f(\\mathbf{a}) \\). En este caso, la derivada direccional es igual a la norma del gradiente.<\/li>\n<li><strong>Ortogonalidad<\/strong>: La derivada direccional es cero en cualquier direcci\u00f3n ortogonal al gradiente.<\/li>\n<li><strong>Producto de funciones<\/strong>: Si \\( f \\) y \\( g \\) son funciones diferenciables, entonces:<br \/>\n   \\[   D_{\\mathbf{u}} (fg) = f D_{\\mathbf{u}} g + g D_{\\mathbf{u}} f   \\]<\/li>\n<li><strong>Cociente de funciones<\/strong>: Si \\( f \\) y \\( g \\) son funciones diferenciables y \\( g \\neq 0 \\), entonces:<br \/>\n   \\[   D_{\\mathbf{u}} \\left( \\frac{f}{g} \\right) = \\frac{g D_{\\mathbf{u}} f &#8211; f D_{\\mathbf{u}} g}{g^2}   \\]<\/li>\n<li><strong>Regla de la cadena<\/strong>: Si \\( f \\) es una funci\u00f3n de \\( u \\) y \\( v \\), y \\( u \\) y \\( v \\) son funciones de \\( x \\) y \\( y \\), entonces:   \\[   D_{\\mathbf{u}} f = \\frac{\\partial f}{\\partial u} D_{\\mathbf{u}} u + \\frac{\\partial f}{\\partial v} D_{\\mathbf{u}} v   \\]<\/li>\n<\/ol>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 14 del libro <em>C\u00e1lculo de varias variables<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el ritmo m\u00e1ximo de variaci\u00f3n de \\(z=x^3-2y^2\\) en el punto (1,1)? Aproximadamente<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>5<\/li>\n<li>4.12<\/li>\n<li>3.24<\/li>\n<li>Ninguno de ellos<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i2)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">f<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_operator\">:<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_operator\">^<\/span><span class=\"code_number\">3<\/span><span class=\"code_operator\">\u2212<\/span><span class=\"code_number\">2<\/span><span class=\"code_operator\">\u00b7<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">^<\/span><span class=\"code_number\">2<\/span><span class=\"code_endofline\">$<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span><span class=\"code_function\">define<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_function\">nabla<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_operator\">[<\/span><span class=\"code_function\">diff<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_function\">f<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_function\">diff<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_function\">f<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">x<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">y<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_operator\">]<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[\\operatorname{nabla}\\left( x,y\\right) \\operatorname{:=}\\left[ 3 {{x}^{2}},-4 y\\right] \\]<\/p>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i3)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_variable\">v<\/span><span class=\"code_operator\">:<\/span><span class=\"code_function\">nabla<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[\\left[ 3,-4\\right] \\]<\/p>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i4)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">sqrt<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">v<\/span><span class=\"code_endofline\">.<\/span><span class=\"code_variable\">v<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[5\\]<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El gradiente Consideremos \\(f:D\\subseteq \\mathbb{R}^2\\;\\longrightarrow\\;\\mathbb{R}\\,\\) un campo escalar de dos variables, entonces el gradiente de \\(f\\) es la funci\u00f3n vectorial \\(\\nabla f : D\\subseteq \\mathbb{R}^2\\;\\longrightarrow\\;\\mathbb{R}^2\\) definida por \\[\\nabla f(x, y) = 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