{"id":415,"date":"2026-11-13T09:20:04","date_gmt":"2026-11-13T08:20:04","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=415"},"modified":"2026-11-13T09:16:03","modified_gmt":"2026-11-13T08:16:03","slug":"mathbio-aplicaciones-de-las-derivadas-parciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=415","title":{"rendered":"MathBio: Aplicaciones de las derivadas parciales"},"content":{"rendered":"<p>Hoy vamos a ver aplicaciones importantes de las derivadas parciales:<\/p>\n<h2>Derivaci\u00f3n impl\u00edcita<\/h2>\n<p>Consideremos una ecuaci\u00f3n que define a \\(y\\) en forma impl\u00edcita; es decir, \\(F(x, y)=0\\) es una funci\u00f3n impl\u00edcita en cierta regi\u00f3n de \\(\\mathbb{R}^2\\) entre las variables \\(x\\) e \\(y\\). Es f\u00e1cilmente derivable utilizando la derivaci\u00f3n impl\u00edcita: \\[\\frac{\\partial F}{\\partial x}\\frac{dx}{dx}+\\frac{\\partial F}{\\partial y}\\frac{dy}{dx}=0,\\] si \\(\\frac{\\partial F}{\\partial y}\\neq 0\\), tendremos \\[\\frac{dy}{dx}=-\\frac{\\partial_x F}{\\partial_y F },\\]<br \/>\ncon siempre que \\(\\partial_y F\\neq 0\\).<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(x^2-xy+2y^3=0\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(y^\\prime(x_0)\\) en (1,-1)?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a() {\n  var htmlShow1a = document.getElementById(\"html-show1a\");\n  if (htmlShow1a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a\" style=\"display: none;\">Consideremos \\(F(x,y)=x^2-xy+2y^3\\), entonces \\[\\frac{dy}{dx}=-\\frac{\\partial_x F}{\\partial_y F}=-\\frac{2x-y}{6y^2-x}\\]<br \/>\nSustituimos en (1,-1) \\[\\frac{dy}{dx}=-\\frac{3}{5}.\\]<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(f(x,y)=\\frac{x}{(x+y)^2}\\). \u00bfCu\u00e1nto vale \\(\\frac{dy}{dx}(1,0)\\)?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv48() {\n  var htmlShow48 = document.getElementById(\"html-show48\");\n  if (htmlShow48.style.display === \"none\") {\n    htmlShow48.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow48.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show48\" style=\"display: none;\">Nos piden el valor de \\(\\frac{dy}{dx}\\) en el punto (1,0). Necesitamos determinar la derivada impl\u00edcita, considerando \\(F(x,y)=\\frac{x}{(x+y)^2}\\):\\[\\frac{dy}{ dx }= -\\frac{\\partial_x F}{\\partial_y F }=-\\frac{\\frac{1}{{{\\left( y+x\\right) }^{2}}}-\\frac{2 x}{{{\\left( y+x\\right) }^{3}}}}{-\\frac{2 x}{{{\\left( y+x\\right) }^{3}}}}=\\frac{y-x}{2 x}.\\]<br \/>\nSolo nos resta sustituir en (1,0): \\[\\frac{dy}{ dx }(1,0)=-\\frac{1}{2}\\]<\/div>\n<hr \/>\n<p>En el caso \\(F(x, y, f(x, y)) = 0\\) si \\(z = f(x, y)\\) define una funci\u00f3n impl\u00edcita para \\(z\\) en t\u00e9rminos de \\(x\\), \\(y\\) entonces podemos calcular sus derivadas parciales de la siguiente manera, usando la regla de la cadena<br \/>\n\\[\\frac{\\partial F}{\\partial x }\\ \\frac{\\partial x}{\\partial x }+<br \/>\n\\frac{\\partial F}{\\partial y }\\ \\frac{\\partial y}{\\partial x }+<br \/>\n\\frac{\\partial F}{\\partial z }\\ \\frac{\\partial z}{\\partial x }=0\\Rightarrow \\]<br \/>\n\\[\\frac{\\partial F}{\\partial x }\\ \\frac{\\partial x}{\\partial x }+<br \/>\n\\frac{\\partial F}{\\partial z }\\ \\frac{\\partial z}{\\partial x }=0\\]<br \/>\nya que \\(\\frac{\\partial y}{\\partial x }=0\\). Luego<br \/>\n\\[\\frac{\\partial z}{\\partial x }= -\\frac{\\partial_x F}{\\partial_z F },\\]<br \/>\nsiempre que \\(\\partial_z F\\neq 0\\).<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(\\frac{\\partial z}{\\partial y}(1,1,1)\\) ?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a13() {\n  var htmlShow1a13 = document.getElementById(\"html-show1a13\");\n  if (htmlShow1a13.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a13.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a13.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a13\" style=\"display: none;\">Consideremos la funci\u00f3n \\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3\\), tenemos: \\[\\partial_z F=2z,\\ \\partial_y F=2y.\\] Luego<br \/>\n\\[\\frac{\\partial z}{\\partial y}=\\frac{-2y}{2z}=-\\frac{y}{z}.\\]<br \/>\nAhora sustituimos en el punto (1,1,1)<br \/>\n\\[\\frac{\\partial z}{\\partial y}(1,1,1)=-1\\]<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Recta tangente a una curva en \\(\\mathbb {R} ^{2}\\)<\/h3>\n<p>Atendiendo lo que hemos visto anteriormente, si \\(F(x,y)=0\\) representa una curva diferenciable en \\(\\mathbb {R} ^{2}\\), la recta tangente en un punto \\((x_0,y_0)\\in\\mathbb {R} ^{2}\\) de la curva vendr\u00e1 dada por<br \/>\n\\[[\\partial_xF(x_0,y_0)\\ \\partial_yF(x_0,y_0)]\\begin{bmatrix} x-x_0\\\\ y-y_0 \\end{bmatrix}=0\\]<br \/>\nque es lo mismo que \\[ \\left ( y-y_0 \\right )=-\\left ( \\frac{{\\partial_x F(x_0,y_0)}}{\\partial_y F(x_0,y_0)} \\right )\\left ( x-x_0 \\right ).\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente a la curva \\(xy-y^2-2y^3=0\\), en el punto (1,-1)<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">Consideremos \\(F(x,y)=xy-y^2-2y^3\\). Para calcular la recta tangente, necesitamos conocer \\(y'(1)\\); luego tenemos que determinar \\(\\frac{dy}{dx}\\). Para ello utilizamos la derivada impl\u00edcita: \\[\\frac{dy}{dx}=-\\frac{\\partial_x F}{\\partial_y F }=-\\frac{y}{-6 {{y}^{2}}-2 y+x}.\\]<br \/>\nDe este modo, en (1,-1), es \\(y'(1)=\\frac{-1}{3}\\). Solo nos resta sustituir en la recta tangente \\[y+1=-\\frac{1}{3}(x-1);\\] es decir, \\[y=-\\frac{1}{3}x-\\frac{4}{3}.\\]<\/div>\n<hr \/>\n<p>Observar que si \\(y=f(x)\\); es decir, \\(F(x,y)=F(x,f(x))=0\\), es una funci\u00f3n expl\u00edcita, entonces la expresi\u00f3n anterior es la misma que la conocida \\[ \\left ( y-y_0 \\right )=-\\left ( \\frac{{d f}}{dx}(x_0) \\right )\\left ( x-x_0 \\right ).\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(\\mathbf{T}(x)\\) la recta tangente a \\(x^{1\/2} +y^{1\/2} = 4\\) en (4, 4), \u00bfcu\u00e1nto es \\(\\mathbf{T}(-1)\\)?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1w() {\n  var htmlShow1w = document.getElementById(\"html-show1w\");\n  if (htmlShow1w.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1w.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1w.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1w\" style=\"display: none;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Espacio tangente. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/GGwf8ZudzTo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(\\mathbf{T}(x)\\) la recta tangente a \\(x^2 +3xy+y^2 = 5\\) en (1, 1), \u00bfcu\u00e1nto es \\(\\mathbf{T}(-1)\\)?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1w2() {\n  var htmlShow1w2 = document.getElementById(\"html-show1w2\");\n  if (htmlShow1w2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1w2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1w2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1w2\" style=\"display: none;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Espacio tangente. Ej.2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/aPtN7WrDESo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Cu\u00e1ntos puntos de la curva \\(x^2y^2+xy=2\\) cumplen que la pendiente de la recta tangente es -1.<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1w3() {\n  var htmlShow1w3 = document.getElementById(\"html-show1w3\");\n  if (htmlShow1w3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1w3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1w3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1w3\" style=\"display: none;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Espacio tangente. Ej.3 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/cu7ZcDeHacw?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> En la figura se muestra una l\u00e1mpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje \\(y\\) y una sombra creada por la regi\u00f3n el\u00edptica \\(x^2+4y^2\\leq 5\\). Si el punto (-5, 0) est\u00e1 en el borde de la sombra, \u00bfqu\u00e9 tan arriba del eje \\(x\\) est\u00e1 colocada la l\u00e1mpara?<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-582\" title=\"int2\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/esptang01.png\" alt=\"\" width=\"457\" height=\"228\" \/><\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1w4() {\n  var htmlShow1w4 = document.getElementById(\"html-show1w4\");\n  if (htmlShow1w4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1w4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1w4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1w4\" style=\"display: none;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Espacio tangente. Ej.4 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DSEaV9CU2ds?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Diferencial Total<\/h2>\n<p>La <strong>diferencial total<\/strong> es un concepto central del c\u00e1lculo multivariable que extiende la noci\u00f3n de diferencial de una funci\u00f3n de una sola variable al caso de funciones de dos o m\u00e1s variables independientes.<\/p>\n<p>El prop\u00f3sito fundamental de la diferencial total es <strong>estimar o aproximar la variaci\u00f3n global<\/strong> que experimenta una funci\u00f3n $f(x_1, x_2, \\dots, x_n)$ cuando todas sus variables independientes sufren cambios muy peque\u00f1os simult\u00e1neamente.<\/p>\n<p>En el contexto de la Biotecnolog\u00eda, la diferencial total es una herramienta clave para:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>An\u00e1lisis de propagaci\u00f3n de errores:<\/strong> Determinar c\u00f3mo las imprecisiones o errores de medici\u00f3n en variables de entrada (temperatura, pH, concentraci\u00f3n de sustrato, caudal) afectan la incertidumbre final en un par\u00e1metro calculado (como la tasa de producci\u00f3n de biomasa o el rendimiento enzim\u00e1tico).<\/li>\n<li><strong>Aproximaci\u00f3n lineal:<\/strong> Reemplazar localmente una funci\u00f3n multivariable no lineal y compleja por una funci\u00f3n lineal simple (el plano tangente), facilitando c\u00e1lculos r\u00e1pidos del cambio relativo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para definir y calcular la diferencial total empleamos las siguientes herramientas:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Derivadas Parciales:<\/strong> Miden la sensibilidad o tasa de cambio de la funci\u00f3n con respecto a una sola variable mientras las dem\u00e1s permanecen constantes ($\\frac{\\partial f}{\\partial x}$, $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$).<\/li>\n<li><strong>Diferenciales de las Variables Independientes ($dx, dy, dz$):<\/strong> Representan los cambios o incrementos infinitamente peque\u00f1os (o peque\u00f1as variaciones experimentales $\\Delta x, \\Delta y$) en cada variable de entrada.<\/li>\n<li><strong>Criterio de Diferenciabilidad:<\/strong> Garantiza que la funci\u00f3n sea lo suficientemente \u00absuave\u00bb (habitualmente exigiendo que sus derivadas parciales existan y sean continuas) para que la aproximaci\u00f3n lineal sea v\u00e1lida.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Formulaci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/h3>\n<p>Para una funci\u00f3n de dos variables $z = f(x, y)$, la <strong>diferencial total<\/strong> $dz$ se expresa como:<\/p>\n<p>$$dz = \\frac{\\partial f}{\\partial x} dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y} dy$$<\/p>\n<p>Para una funci\u00f3n de tres variables $w = f(x, y, z)$, se extiende linealmente:<\/p>\n<p>$$dw = \\frac{\\partial f}{\\partial x} dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y} dy + \\frac{\\partial f}{\\partial z} dz$$<\/p>\n<h3>Ejemplo Ilustrativo<\/h3>\n<p>Consideremos un biorreactor cil\u00edndrico donde el volumen de cultivo l\u00edquido est\u00e1 dado por $V(r, h) = \\pi r^2 h$, siendo $r$ el radio del tanque e $h$ la altura del l\u00edquido.<\/p>\n<p>Si al tomar lecturas del sensor cometemos peque\u00f1os errores de medici\u00f3n $dr$ en el radio y $dh$ en la altura, podemos estimar el error en el c\u00e1lculo del volumen mediante la diferencial total:<\/p>\n<p>$$dV = \\frac{\\partial V}{\\partial r} dr + \\frac{\\partial V}{\\partial h} dh$$<\/p>\n<p>Calculando las derivadas parciales de $V$:<\/p>\n<p>* $\\frac{\\partial V}{\\partial r} = 2\\pi r h$<br \/>\n* $\\frac{\\partial V}{\\partial h} = \\pi r^2$<\/p>\n<p>Sustituyendo, obtenemos la diferencial total del volumen:<\/p>\n<p>$$dV = (2\\pi r h) dr + (\\pi r^2) dh$$<\/p>\n<h3>Propagaci\u00f3n de errores<\/h3>\n<p>La <strong>propagaci\u00f3n de errores<\/strong> mediante el uso de derivadas parciales y diferenciales es una herramienta fundamental en biotecnolog\u00eda. Nos permite evaluar c\u00f3mo las incertidumbres de medici\u00f3n en variables independientes (como dimensiones de biorreactores, temperatura, tiempo o concentraciones) afectan al resultado final de un par\u00e1metro calculado.<\/p>\n<p>Si una magnitud de inter\u00e9s $Y$ depende de varias variables independientes $x_1, x_2, \\dots, x_n$ mediante una funci\u00f3n diferenciable $Y = f(x_1, x_2, \\dots, x_n)$, la cota superior del <strong>error absoluto estimado<\/strong> $\\Delta Y$ se calcula mediante la estimaci\u00f3n lineal del diferencial total:<\/p>\n<p>$$\\Delta Y \\approx \\left\\vert{} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \\right\\vert{} \\Delta x_1 + \\left\\vert{} \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \\right\\vert{} \\Delta x_2 + \\dots + \\left\\vert{} \\frac{\\partial f}{\\partial x_n} \\right\\vert{} \\Delta x_n$$<\/p>\n<p>donde $\\Delta x_i$ representa la incertidumbre absoluta asociada a la medici\u00f3n directa de la variable $x_i.$<\/p>\n<p>El <strong>error relativo estimado<\/strong> se define como:<\/p>\n<p>$$\\text{Error relativo} = \\frac{\\Delta Y}{Y}$$<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> En un biorreactor cil\u00edndrico de cultivo discontinuo (<em>batch<\/em>), se desea estimar la <strong>masa total de biomasa<\/strong> $M$ (en gramos, $\\text{g}$) presente al t\u00e9rmino del proceso. La masa est\u00e1 dada por la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p>$$M(C, r, h) = C \\cdot \\pi r^2 h$$<\/p>\n<p>donde:<\/p>\n<ul>\n<li>$C$: concentraci\u00f3n de biomasa ($\\text{g\/L}$).<\/li>\n<li>$r$: radio interno del recipiente cil\u00edndrico ($\\text{dm}$).<\/li>\n<li>$h$: altura de la columna de medio l\u00edquido ($\\text{dm}$).<\/li>\n<\/ul>\n<p>(Recordatorio: $1 \\text{ dm}^3 = 1 \\text{ L}$, por lo que el volumen $V = \\pi r^2 h$ resulta expresado en litros).<\/p>\n<p>Las mediciones experimentales en laboratorio arrojaron los siguientes valores e incertidumbres absolutas:<\/p>\n<ul>\n<li>Concentraci\u00f3n: $C = 15.0 \\text{ g\/L}$ con $\\Delta C = 0.3 \\text{ g\/L}$.<\/li>\n<li>Radio: $r = 2.0 \\text{ dm}$ con $\\Delta r = 0.05 \\text{ dm}$.<\/li>\n<li>Altura del l\u00edquido: $h = 5.0 \\text{ dm}$ con $\\Delta h = 0.1 \\text{ dm}$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Determinar:<\/p>\n<ol>\n<li>El valor nominal calculable para la masa total de biomasa $M$.<\/li>\n<li>El error absoluto m\u00e1ximo estimado $\\Delta M$.<\/li>\n<li>El error relativo y el porcentaje de incertidumbre en el c\u00e1lculo de la masa.<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1w43() {\n  var htmlShow1w43 = document.getElementById(\"html-show1w43\");\n  if (htmlShow1w43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1w43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1w43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button>Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1w43\" style=\"display: none;\">\n<h3>Paso 1: C\u00e1lculo del valor nominal de la masa $M$<\/h3>\n<p>Sustituimos los valores centrales en la funci\u00f3n original:<\/p>\n<p>$$M = (15.0) \\cdot \\pi \\cdot (2.0)^2 \\cdot (5.0) = 15.0 \\cdot \\pi \\cdot 4.0 \\cdot 5.0 = 300\\pi \\approx 942.48 \\text{ g}$$<\/p>\n<h3>Paso 2: Obtenci\u00f3n de las derivadas parciales<\/h3>\n<p>Calculamos las derivadas parciales de $M(C, r, h)$ con respecto a cada una de sus variables:<\/p>\n<p>1. Derivada respecto a la concentraci\u00f3n $C$:<\/p>\n<p>$$\\frac{\\partial M}{\\partial C} = \\pi r^2 h = \\pi (2.0)^2 (5.0) = 20\\pi \\approx 62.83 \\text{ L}$$<\/p>\n<p>2. Derivada respecto al radio $r$:<\/p>\n<p>$$\\frac{\\partial M}{\\partial r} = 2 \\pi C r h = 2 \\pi (15.0)(2.0)(5.0) = 300\\pi \\approx 942.48 \\text{ g\/dm}$$<\/p>\n<p>3. Derivada respecto a la altura $h$:<\/p>\n<p>$$\\frac{\\partial M}{\\partial h} = \\pi C r^2 = \\pi (15.0)(2.0)^2 = 60\\pi \\approx 188.50 \\text{ g\/dm}$$<\/p>\n<h3>Paso 3: Estimaci\u00f3n del error absoluto m\u00e1ximo ($\\Delta M$)<\/h3>\n<p>Sustituimos las derivadas parciales y los errores absolutos individuales en la expresi\u00f3n del diferencial total:<\/p>\n<p>$$\\Delta M \\approx \\left\\vert{} \\frac{\\partial M}{\\partial C} \\right\\vert{} \\Delta C + \\left\\vert{} \\frac{\\partial M}{\\partial r} \\right\\vert{} \\Delta r + \\left\\vert{} \\frac{\\partial M}{\\partial h} \\right\\vert{} \\Delta h$$<\/p>\n<p>$$\\Delta M \\approx (20\\pi)(0.3) + (300\\pi)(0.05) + (60\\pi)(0.1)$$<\/p>\n<p>$$\\Delta M \\approx 6\\pi + 15\\pi + 6\\pi = 27\\pi \\approx 84.82 \\text{ g}$$<\/p>\n<p>Por lo tanto, el resultado del experimento expresado con su margen de error absoluto es:<\/p>\n<p>$$M = (942.48 \\pm 84.82) \\text{ g}$$<\/p>\n<h3>Paso 4: C\u00e1lculo del error relativo y porcentual<\/h3>\n<p>Dividimos el error absoluto estimado entre el valor nominal de la masa:<\/p>\n<p>$$\\text{Error relativo} = \\frac{\\Delta M}{M} = \\frac{27\\pi}{300\\pi} = \\frac{27}{300} = 0.09$$<\/p>\n<p>Expresado como porcentaje de error:<\/p>\n<p>$$\\text{Error porcentual} = 0.09 \\times 100\\% = 9\\%$$<\/p>\n<p>(Nota de verificaci\u00f3n: La cota del error relativo se puede calcular tambi\u00e9n mediante la propiedad de sumas de errores relativos ponderados: $\\frac{\\Delta M}{M} \\le \\frac{\\Delta C}{C} + 2\\frac{\\Delta r}{r} + \\frac{\\Delta h}{h} = \\frac{0.3}{15.0} + 2\\left(\\frac{0.05}{2.0}\\right) + \\frac{0.1}{5.0} = 0.02 + 0.05 + 0.02 = 0.09$.)<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<section class=\"al-aplicaciones\" aria-labelledby=\"al-titulo\">\n<div class=\"al-cierre\">\n<h2>Aplicaci\u00f3n<\/h2>\n<p>Veamos un caso en el que el an\u00e1lisis vectorial de derivadas parciales demuestra de forma objetiva que el cultivo se encuentra en un r\u00e9gimen con limitaci\u00f3n t\u00e9rmica prioritaria.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><a style=\"color: #0066cc;\" href=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/mathbio\/MathBio_derivadas_parciales.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Derivadas Parciales y An\u00e1lisis de Sensibilidad en Fermentaci\u00f3n Continua<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n<\/section>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 14 del libro <em>C\u00e1lculo de varias variables<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(x^2+y^3+xy=1\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(y^\\prime(1)\\) en (0,1)?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>-3<\/li>\n<li>-2<\/li>\n<li>1<\/li>\n<li>Ninguno de ellos<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv('html-show-1')\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p><div id=\"html-show-1\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<p><strong>B.)<\/strong><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Derivada impl\u00edcita. Ej.5 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/zPmjzhEKFbI?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p><\/div><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hoy vamos a ver aplicaciones importantes de las derivadas parciales: Derivaci\u00f3n impl\u00edcita Consideremos una ecuaci\u00f3n que define a \\(y\\) en forma impl\u00edcita; es decir, \\(F(x, y)=0\\) es una funci\u00f3n impl\u00edcita en cierta&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-415","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/415","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=415"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/415\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":515,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/415\/revisions\/515"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=415"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=415"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=415"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}