{"id":399,"date":"2026-10-27T09:15:41","date_gmt":"2026-10-27T08:15:41","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=399"},"modified":"2026-10-20T21:02:14","modified_gmt":"2026-10-20T19:02:14","slug":"mathbio-optimizacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=399","title":{"rendered":"MathBio: Optimizaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<h2>Optimizaci\u00f3n<\/h2>\n<p>El objetivo fundamental de la optimizaci\u00f3n matem\u00e1tica es hallar los <strong>extremos absolutos y relativos<\/strong> (m\u00e1ximos o m\u00ednimos) de una funci\u00f3n real $f(x)$ definida sobre un dominio determinado.<\/p>\n<p>En el grado de Biotecnolog\u00eda, la optimizaci\u00f3n es una herramienta clave para modelar y tomar decisiones eficientes en procesos biol\u00f3gicos e industriales. Por ejemplo:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Maximizaci\u00f3n<\/strong>: Determinar las condiciones ideales (temperatura, concentraci\u00f3n de ox\u00edgeno, pH) para maximizar la producci\u00f3n de biomasa o el rendimiento de una prote\u00edna recombinante en un fermentador.<\/li>\n<li><strong>Minimizaci\u00f3n<\/strong>: Reducir al m\u00ednimo los costos de reactivos en un medio de cultivo o el tiempo necesario para completar una reacci\u00f3n enzim\u00e1tica.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Herramientas matem\u00e1ticas utilizadas<\/h3>\n<p>Para resolver un problema de optimizaci\u00f3n de una variable de forma rigurosa, empleamos las herramientas del c\u00e1lculo diferencial:<\/p>\n<h4>A. La Primera Derivada y los Puntos Cr\u00edticos<\/h4>\n<p>La primera derivada $f'(x)$ representa la tasa instant\u00e1nea de cambio o pendiente de la recta tangente a la funci\u00f3n en un punto. Los candidatos a extremos se encuentran evaluando los <strong>puntos cr\u00edticos<\/strong>, los cuales ocurren donde la derivada es nula o no existe:<\/p>\n<p>$$f'(c) = 0 \\quad \\text{o} \\quad f'(c) \\text{ no existe}$$<\/p>\n<h4>B. Criterios para la clasificaci\u00f3n de extremos locales<\/h4>\n<p>Una vez identificados los puntos cr\u00edticos, debemos determinar si corresponden a un m\u00e1ximo o a un m\u00ednimo local:<\/p>\n<p><strong>1. Criterio de la primera derivada<\/strong>:<\/p>\n<ul>\n<li>Si $f'(x)$ pasa de ser <strong>positiva a negativa<\/strong> en $c$, la funci\u00f3n alcanza un <strong>m\u00e1ximo local<\/strong> en $c$.<\/li>\n<li>Si $f'(x)$ pasa de ser <strong>negativa a positiva<\/strong> en $c$, la funci\u00f3n alcanza un <strong>m\u00ednimo local<\/strong> en $c$.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>2. Criterio de la segunda derivada<\/strong>:<br \/>\nSi $f'(c) = 0$ y la segunda derivada ${f}&#8217;'(x)$ es continua alrededor de $c$:<\/p>\n<ul>\n<li>Si ${f}&#8217;'(c) < 0$, la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo y presenta un <strong>m\u00e1ximo local<\/strong> en $c$.<\/li>\n<li>Si ${f}&#8217;'(c) > 0$, la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba y presenta un <strong>m\u00ednimo local<\/strong> en $c$.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>C. Teorema del Valor Extremo (Optimizaci\u00f3n en un intervalo cerrado)<\/h4>\n<p>Si la funci\u00f3n $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, el Teorema del Valor Extremo garantiza la existencia de un m\u00e1ximo y un m\u00ednimo absolutos. Para hallarlos, se eval\u00faa $f(x)$ en:<\/p>\n<p>1. Todos los puntos cr\u00edticos dentro de $(a, b)$.<br \/>\n2. Los extremos del intervalo, $a$ y $b$.<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Ejemplo:<\/strong> Supongamos que la concentraci\u00f3n celular $N(t)$ de un cultivo bacteriano (en millones de c\u00e9lulas\/mL) en un biorreactor evoluciona durante un periodo de 5 horas ($t \\in [0, 5]$) seg\u00fan el modelo:<br \/>\n\\[N(t) = -2t^2 + 12t + 50\\]<br \/>\n\u00bfCu\u00e1ndo alcanza la densidad celular su m\u00e1ximo?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a8g() {\n  var htmlShow2a8g = document.getElementById(\"html-show2a8g\");\n  if (htmlShow2a8g.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a8g.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a8g.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a8g()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a8g\" style=\"display: none;\">\n<strong>Paso 1<\/strong>: C\u00e1lculo de la primera derivada e identificaci\u00f3n de puntos cr\u00edticos.<\/p>\n<p>$$N'(t) = -4t + 12$$<\/p>\n<p>Igualamos a cero para hallar los puntos cr\u00edticos:<\/p>\n<p>$$-4t + 12 = 0 \\implies t = 3 \\text{ horas}$$<\/p>\n<p><strong>Paso 2<\/strong>: Clasificaci\u00f3n mediante la segunda derivada.<\/p>\n<p>$$N&#8217;'(t) = -4$$<\/p>\n<p>Como $N&#8217;'(3) = -4 < 0$, la concavidad es negativa, confirmando que en $t = 3$ existe un <strong>m\u00e1ximo local.<\/strong><\/p>\n<p><strong>Paso 3:<\/strong> Evaluaci\u00f3n en el intervalo cerrado $[0, 5]$.<\/p>\n<p>En el inicio del proceso ($t = 0$):<\/p>\n<p>$$N(0) = -2(0)^2 + 12(0) + 50 = 50$$<\/p>\n<p>En el punto cr\u00edtico ($t = 3$):<\/p>\n<p>$$N(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 50 = -18 + 36 + 50 = 68$$<\/p>\n<p>En el final del periodo ($t = 5$):<\/p>\n<p>$$N(5) = -2(5)^2 + 12(5) + 50 = -50 + 60 + 50 = 60$$<\/p>\n<p style=\"background-color: #f4f4f4; padding: 10px; border-left: 4px solid #2196F3;\">\n<strong>Conclusi\u00f3n:<\/strong> La densidad celular alcanza su <strong>m\u00e1ximo absoluto<\/strong> de $68$ millones de c\u00e9lulas\/mL a las $3$ horas de iniciado el proceso.\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> El due\u00f1o de una piscifactor\u00eda ha determinado que si compra \\(x\\) peces (en millares), entonces, al cabo de un mes tendr\u00e1<br \/>\n\\[f(x) = \\frac{9x}{2x+4}\\] peces. \u00bfQu\u00e9 n\u00famero de peces debe comprar para conseguir que la ganancia, \\(f(x) &#8211; x\\), sea m\u00e1xima?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a8() {\n  var htmlShow2a8 = document.getElementById(\"html-show2a8\");\n  if (htmlShow2a8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a8\" style=\"display: none;\">\nLa cantidad \u00f3ptima de peces que debe comprar ser\u00e1 la que produzca el mayor valor de \\(f(x) &#8211; x\\), es decir, la que produzca el m\u00e1ximo absoluto en el intervalo \\([0, +\\infty)\\), ya que el n\u00famero de peces a comprar no puede ser negativo (en principio, cabe la posibilidad de que la m\u00e1xima ganancia se produzca no comprando ninguno).<\/p>\n<p>Luego, el problema a resolver es<br \/>\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n\\text{Maximizar} \\quad g(x) &#038;= f(x) &#8211; x = \\frac{9x}{2x+4} &#8211; x = \\frac{5x-2x^2}{2x+4} \\\\<br \/>\n\\text{para} \\quad x &#038;\\in [0, +\\infty).<br \/>\n\\end{align*}\\]<\/p>\n<p>\\(g\\) es continua y derivable en \\((0, +\\infty)\\).<\/p>\n<p>Calculamos su derivada<br \/>\n\\[g'(x) = \\frac{(5-4x)(2x+4) &#8211; (5x-2x^2)2}{(2x+4)^2} = \\frac{-4x^2 &#8211; 16x + 20}{(2x+4)^2} = 0\\]<\/p>\n<p>Veamos los puntos cr\u00edticos de \\(g\\):<br \/>\n\\[g'(x) = 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad -4x^2 &#8211; 16x + 20 = 0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad x^2 + 4x &#8211; 5 = 0\\]<\/p>\n<p>Resolviendo la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, obtenemos \\(x = -5\\) y \\(x = 1\\). El valor \\(x = -5\\) no interesa, ya que est\u00e1 fuera del intervalo admisible. Por tanto, el \u00fanico punto cr\u00edtico de \\(f\\) en \\((0, +\\infty)\\) es \\(x = 1\\). <\/p>\n<p>Conocidas sus ra\u00edces, \\(g'(x)\\) se puede escribir \\(g'(x) = -4(x+5)(x-1)\\); puesto que \\((2x+4)^2 > 0\\) en \\((0, +\\infty)\\), es evidente que<br \/>\n\\[g'(x) \\begin{cases}<br \/>\n> 0 &#038; \\text{en} \\ (0, 1) \\\\<br \/>\n< 0 &#038; \\text{en} \\ (1, +\\infty)\n\\end{cases}\n\\]\ny, en consecuencia, \\(g\\) tiene un m\u00e1ximo local en \\(x = 1\\), que tambi\u00e9n es m\u00e1ximo absoluto de \\(g\\) en \\([0, +\\infty)\\).\n\nPor tanto, el n\u00famero \u00f3ptimo de peces es 1 millar.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> La poblaci\u00f3n de una especie sigue la siguiente funci\u00f3n<br \/>\n\\[<br \/>\nP(t) = a + \\frac{t}{e^{t\/2}}, \\quad t \\geq 0,<br \/>\n\\]<br \/>\ndonde \\(P(t)\\) es el n\u00famero de individuos de la poblaci\u00f3n (medidos en miles) y \\(t\\) el tiempo (medido en meses) y \\(\\alpha\\) es una constante positiva.<br \/>\n<br \/><strong>a)<\/strong> Calcular \\(\\alpha\\) sabiendo que inicialmente hab\u00eda 3000 individuos.<br \/>\n<br \/><strong>b)<\/strong> \u00bfEn qu\u00e9 momento la poblaci\u00f3n alcanza el m\u00e1ximo? \u00bfCu\u00e1nto es el valor de dicho m\u00e1ximo?<br \/>\n<br \/><strong>c)<\/strong> \u00bfA qu\u00e9 tiende la poblaci\u00f3n en el futuro?<br \/>\n<br \/><strong>d)<\/strong> Si se sabe que una poblaci\u00f3n est\u00e1 en peligro de extinci\u00f3n cuando el n\u00famero de individuos es menor que 1000, \u00bftiene esta poblaci\u00f3n peligro de extinci\u00f3n?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a1e() {\n  var htmlShow2a1e = document.getElementById(\"html-show2a1e\");\n  if (htmlShow2a1e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a1e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a1e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a1e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a1e\" style=\"display: none;\">\n<strong>a)<\/strong> Tenemos que ver para qu\u00e9 valor de \\(\\alpha\\) se tiene<br \/>\n\\[<br \/>\nP(0) = 3 \\quad \\Rightarrow \\quad a = 3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>b) <\/strong>El m\u00e1ximo absoluto de \\(P(t) = 3 + \\frac{t}{e^{t\/2}} = 3 + t e^{-t\/2}\\) en el intervalo \\([0, +\\infty)\\) solo puede ser un m\u00e1ximo relativo o el punto \\(t = 0\\).<\/p>\n<p>Veamos si \\(P\\) tiene alg\u00fan m\u00e1ximo relativo:<br \/>\n\\[<br \/>\nP'(t) = e^{-t\/2} &#8211; \\frac{t}{2} e^{-t\/2} = e^{-t\/2} \\left(1 &#8211; \\frac{t}{2} \\right) = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad t = 2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Claramente se tiene, puesto que \\(e^{-t\/2} > 0 \\quad \\forall t \\in \\mathbb{R}\\), que<br \/>\n\\[<br \/>\nP'(t) \\begin{cases}<br \/>\n> 0 &#038; \\text{en} \\ (0, 2) \\Rightarrow P \\text{ es creciente en} \\ (0, 2) \\\\<br \/>\n< 0 &#038; \\text{en} \\ (2, +\\infty) \\Rightarrow P \\text{ es decreciente en} \\ (2, +\\infty)\n\\end{cases}\n\\]\nLuego \\(P\\) tiene un m\u00e1ximo relativo en \\(t = 2\\), que claramente es tambi\u00e9n m\u00e1ximo absoluto en \\([0, +\\infty)\\).\n\nEl m\u00e1ximo absoluto de \\(P\\) en \\([0, +\\infty)\\) se alcanza en \\(t = 2\\) y \\(P(2) \\approx 3.736\\) (3736 individuos).\n\n<strong>c) <\/strong>Para ver a qu\u00e9 tiende la poblaci\u00f3n tenemos que calcular<br \/>\n\\[<br \/>\n\\lim_{t \\to +\\infty} P(t) = \\lim_{t \\to +\\infty} \\left( 3 + \\frac{t}{e^{t\/2}} \\right) = 3 + \\lim_{t \\to +\\infty} \\frac{t}{e^{t\/2}} = 3<br \/>\n\\]<br \/>\nlo que significa que la poblaci\u00f3n tiende a estabilizarse en 3000 individuos.<\/p>\n<p><strong>d) <\/strong>Obviamente, no hay peligro de extinci\u00f3n:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(P(0) = 3\\), y \\(P\\) es creciente entre \\(t = 0\\) y \\(t = 2\\).<\/li>\n<li>\\(P\\) es decreciente en \\((2, +\\infty)\\), pero no desciende del valor 3, al que tiende asint\u00f3ticamente.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Es decir, la poblaci\u00f3n no desciende de 3000 individuos.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong>  La poblaci\u00f3n de una especie sigue la siguiente funci\u00f3n:<br \/>\n\\[ P(t) = 1 + \\frac{(t-\\alpha)^2}{1+(t-\\alpha)^2}, \\quad t \\geq 0, \\alpha > 0,\\]<br \/>\ndonde \\(P(t)\\) es el n\u00famero de individuos de la poblaci\u00f3n (medido en miles) y \\(t\\) el tiempo (medido en meses).<br \/>\n<br \/>\n<strong>(a)<\/strong> Calcula \\(\\alpha\\) sabiendo que inicialmente hab\u00eda 1700 individuos, esto es \\(P(0) = 1.7\\).<br \/>\n<br \/>\n<strong>(b)<\/strong> \u00bfEn qu\u00e9 momento la poblaci\u00f3n aumenta? \u00bfCu\u00e1ndo disminuye? \u00bfCu\u00e1ndo alcanza un m\u00ednimo?<br \/>\n<br \/>\n<strong>(c)<\/strong> \u00bfA qu\u00e9 tiende la poblaci\u00f3n en el futuro?\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a12e() {\n  var htmlShow2a12e = document.getElementById(\"html-show2a12e\");\n  if (htmlShow2a12e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a12e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a12e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a12e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a12e\" style=\"display: none;\">\n<strong>(a)<\/strong> Para encontrar el valor de \\(\\alpha\\), sustituimos \\(t = 0\\) en la ecuaci\u00f3n, \\(P(0)=1.7\\), y resolvemos para \\(\\alpha\\):<br \/>\n\\[<br \/>\n1.7 = 1 + \\frac{a^2}{1+a^2}<br \/>\n\\]<br \/>\nResolviendo esta ecuaci\u00f3n, obtenemos \\(\\alpha \\approx 1.53\\).<\/p>\n<p><strong>(b)<\/strong> Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la poblaci\u00f3n, calculamos la derivada de \\(P(t)\\) respecto a \\(t\\):<br \/>\n\\[<br \/>\nP'(t) = \\frac{2(t-a)}{(1+(t-a)^2)^2}<br \/>\n\\]<br \/>\nAnalizando el signo de \\(P'(t)\\), podemos concluir que:<\/p>\n<ul>\n<li>La poblaci\u00f3n decrece cuando \\(0 \\leq t < \\alpha\\).<\/li>\n<li>La poblaci\u00f3n crece cuando \\(t > \\alpha\\).<\/li>\n<li>Por lo tanto, en \\(t = \\alpha\\) la poblaci\u00f3n alcanza un m\u00ednimo.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>(c) <\/strong>Para determinar el comportamiento a largo plazo, calculamos el l\u00edmite de \\(P(t)\\) cuando \\(t\\) tiende a infinito:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\lim_{t \\to +\\infty} P(t) = 1 + \\lim_{t \\to +\\infty} \\frac{(t-\\alpha)^2}{1+(t-\\alpha)^2} = 1 + 1 = 2<br \/>\n\\]<br \/>\nEsto significa que la poblaci\u00f3n se estabiliza en 1000 individuos a largo plazo.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Divida el n\u00famero 120 en dos partes, tales que el producto \\(P\\) de una parte y el cuadrado de la otra constituya un m\u00e1ximo.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a() {\n  var htmlShow2a = document.getElementById(\"html-show2a\");\n  if (htmlShow2a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a\" style=\"display: none;\">\nSea \\(x\\) una parte y \\(120-x\\) la otra. Entonces, \\(P = (120-x)x^2\\) y \\(0&lt;x&lt;120\\). Como \\(dP\/dx = 3x(80-x)\\), los puntos cr\u00edticos son 0 y 80. \\(P(0) = 0\\), \\(P(80) = 256000\\) y \\(P(120) = 0\\). Por tanto, el valor m\u00e1ximo ocurre cuando \\(x = 80\\), y las partes requeridas son 80 y 40.\n<\/div>\n<hr>\n<h2>Regla de L\u2019H\u00f4pital<br \/>\n<\/h2>\n<p>Terminamos con una \u00faltima aplicaci\u00f3n de las derivadas al c\u00e1lculo de l\u00edmites:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Regla de L\u2019H\u00f4pital:<\/strong> Sean \\(f(x)\\) y \\(g(x)\\) continuas en un intervalo de \\(x_0\\) salvo en el mismo, donde \\(\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\lim_{x\\to x_0}g(x)=0\\), y \\(g'(x)\\neq 0\\) para \\(x\\) suficientemente pr\u00f3ximo a \\(x_0\\), entonces \\[\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f^\\prime(x)}{g^\\prime(x)}\\] <\/p>\n<p>Del mismo modo, si \\(\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\lim_{x\\to x_0}g(x)=\\pm\\infty\\) \\[\\lim_{x\\to \\pm\\infty}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim_{x\\to \\pm\\infty}\\frac{f^\\prime(x)}{g^\\prime(x)}\\] <\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\[\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{\\ln\\ x}{x}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7a() {\n  var htmlShow7a = document.getElementById(\"html-show7a\");\n  if (htmlShow7a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script>  <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7a\" style=\"display: none;\">\n\\[\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{\\ln\\ x}{x}=\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{1\/x}{1}=0\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\[\\lim_{x\\to 0^+}x\\ln\\ x\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7b() {\n  var htmlShow7b = document.getElementById(\"html-show7b\");\n  if (htmlShow7b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7b\" style=\"display: none;\">\n\\[\\lim_{x\\to 0^+}x\\ln\\ x=\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{\\ln\\ x}{1\/x}=\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{1\/x}{-1\/x^2}=0\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \\[\\lim_{x\\to 0}\\frac{x+\\sin(2x)}{x-\\sin(2x)}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7c() {\n  var htmlShow7c = document.getElementById(\"html-show7c\");\n  if (htmlShow7c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7c\" style=\"display: none;\">\n\\[\\lim_{x\\to 0}\\frac{x+\\sin(2x)}{x-\\sin(2x)}=\\lim_{x\\to 0}\\frac{1+2\\cos(2x)}{1-2\\cos(2x)}=-3\\]\n<\/div>\n<section class=\"al-aplicaciones\" aria-labelledby=\"al-titulo\">\n<div class=\"al-cierre\">\n<h2>Aplicaci\u00f3n<\/h2>\n<p>Veamos c\u00f3mo podemos determinar anal\u00edticamente la concentraci\u00f3n \u00f3ptima de sustrato que maximiza la tasa espec\u00edfica de crecimiento celular.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/mathbio\/MathBio_optimizacion_de_funciones_reales.html\" style=\"color: #0066cc;\" target=\"_blank\">Modelado Cin\u00e9tico de Haldane y Maximizaci\u00f3n de la Tasa de Crecimiento Celular en Biorreactores<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote><\/div>\n<\/section>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 4 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> El costo total de producir \\(x\\) compuestos omega-3 por d\u00eda es \\((\\frac{1}{4} x^2 + 35x + 25)\\)\u20ac y el precio por unidad para la venta es \\((80-2x)\\)\u20ac. \u00bfCu\u00e1l deber\u00eda ser la producci\u00f3n diaria para obtener una rentabilidad total m\u00e1xima? <\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>10<\/li>\n<li>12<\/li>\n<li>15.5<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv('html-show-1')\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p><div id=\"html-show-1\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h3>1. Planteamiento del problema<\/h3>\n<p>Dado un proceso de producci\u00f3n diaria de \\(x\\) unidades de omega-3:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Costo total:<\/strong> \\(C(x) = \\frac{1}{4}x^2 + 35x + 25\\) \u20ac<\/li>\n<li><strong>Precio unitario de venta:<\/strong> \\(p(x) = 80-2x\\) \u20ac<\/li>\n<\/ul>\n<h3>2. Funci\u00f3n de Ingreso Total<\/h3>\n<p>El ingreso total \\(I(x)\\) obtenido al vender \\(x\\) unidades es:<\/p>\n<p>\\[ I(x) = x \\cdot p(x) = x(80-2x) = 80x &#8211; 2x^2 \\]<\/p>\n<h3>3. Funci\u00f3n de Rentabilidad (Beneficio Total)<\/h3>\n<p>La rentabilidad total \\(B(x)\\) es la diferencia entre ingresos y costos:<\/p>\n<p>\\[ B(x) = I(x) &#8211; C(x) \\]<br \/>\n\\[ B(x) = (80x &#8211; 2x^2) &#8211; \\left(\\frac{1}{4}x^2 + 35x + 25\\right) \\]<br \/>\n\\[ B(x) = -\\frac{9}{4}x^2 -45x +25 \\]<\/p>\n<h3>4. B\u00fasqueda del M\u00e1ximo (Derivada Primera y Segunda)<\/h3>\n<p>Derivamos la funci\u00f3n de rentabilidad respecto a \\(x\\) e igualamos a cero para hallar el punto cr\u00edtico:<\/p>\n<p>\\[ B'(x) = -\\frac{9x-90}{2} = 0 \\implies x = 10 \\]<\/p>\n<p>Comprobamos que se trata de un m\u00e1ximo mediante la segunda derivada:<\/p>\n<p>\\[ B&#8217;'(x) = -\\frac{9}{2} < 0 \\]\n\n\n<p>Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en \\(x = 10\\) existe un m\u00e1ximo absoluto.<\/p>\n<p style=\"background-color: #f4f4f4; padding: 10px; border-left: 4px solid #2196F3;\">\n    <strong>Conclusi\u00f3n:<\/strong> La producci\u00f3n diaria que maximiza la rentabilidad es de <strong>\\(x = 10\\) unidades\/d\u00eda<\/strong>.\n<\/p>\n<p><\/div><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Optimizaci\u00f3n El objetivo fundamental de la optimizaci\u00f3n matem\u00e1tica es hallar los extremos absolutos y relativos (m\u00e1ximos o m\u00ednimos) de una funci\u00f3n real $f(x)$ definida sobre un dominio determinado. 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