{"id":392,"date":"2025-10-30T09:02:34","date_gmt":"2025-10-30T08:02:34","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=392"},"modified":"2025-10-24T19:03:36","modified_gmt":"2025-10-24T17:03:36","slug":"mathbio-funciones-de-varias-variables","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=392","title":{"rendered":"MathBio: Funciones de varias variables"},"content":{"rendered":"<p>Comenzamos tema nuevo donde nuestro cometido ser\u00e1 estudiar las funciones \\[f:D\\subset\\mathbb{R}^n\\longrightarrow\\mathbb{R}^m,\\] para \\(m,n\\geqslant 1\\). Si \\(m=n=1\\), tenemos las funciones reales de una variable real que conocemos habitualmente. Cuando \\(n=1\\) y \\(m&gt;1\\) la denominamos funci\u00f3n vectorial de una variable real.<\/p>\n<p>Sin embargo, trataremos con mayor asiduidad en el caso de que \\(n&gt;1\\). De este modo, las funciones del tipo \\[f:D\\subset\\mathbb{R}^n\\longrightarrow\\mathbb{R}\\] se denominan funciones reales varias variables, o campos escalares; y las \\[f:D\\subset\\mathbb{R}^n\\longrightarrow\\mathbb{R}^m,\\] con \\(m&gt;1\\), se denominan funci\u00f3n vectorial de varias variables, o campo vectorial.<\/p>\n<p>Vamos a introducirnos en los campos escalares, comenzando con los de dos variables:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Una funci\u00f3n \\(f\\) de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de n\u00fameros reales \\((x, y)\\) de un conjunto \\(D\\), un \u00fanico n\u00famero real que se denota con \\(f(x, y)\\).<\/p>\n<p>El conjunto \\(D\\) es el dominio de \\(f\\) y su rango es el conjunto de valores que toma \\(f\\), es decir, {\\(f(x,y);(x,y)\\in D\\)}.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>A menudo, escribimos \\(z=f (x, y)\\) para hacer expl\u00edcito el valor que toma \\(f\\) en el punto \\((x, y)\\). Las variables \\(x\\) y \\(y\\) son variables independientes y \\(z\\) es la variable dependiente. \\(z=f (x, y)\\) y \\(u=f (x, y,z)\\) son los campos escalares que trabajaremos. En matem\u00e1ticas y f\u00edsica, un campo escalar representa la distribuci\u00f3n espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matem\u00e1ticas, el valor es un n\u00famero; en f\u00edsica, una magnitud f\u00edsica.<\/p>\n<h2>Curvas de nivel<\/h2>\n<p>Si nosotros grafiamos los puntos \\((x,y,f(x,y))\\in\\mathbb{R}^3\\), tenemos la representaci\u00f3n de los valores de \\(z=f (x, y)\\) como una superficie en \\(\\mathbb{R}^3\\). Si hacemos fijo \\(z\\) nos define la curvas de nivel:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Las curvas de nivel de una funci\u00f3n \\(f\\) de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son \\(f (x, y)=k\\), donde \\(k\\) es una constante (en el rango de \\(f\\)).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Las curvas de nivel son justamente las curvas de la gr\u00e1fica de \\(f\\) en el plano horizontal \\(z=k\\) proyectadas en el plano \\(xy\\). Si dibuja las curvas de nivel de una funci\u00f3n y las imaginamos como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces puede formar mentalmente una imagen de la gr\u00e1fica. La superficie tiene pendiente abrupta donde las curvas de nivel est\u00e1n muy cercanas entre s\u00ed. Es algo m\u00e1s plana donde las curvas se separan.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Contour2D.svg#\/media\/File:Contour2D.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/f\/fa\/Contour2D.svg\" alt=\"Contour2D.svg\" height=\"533\" width=\"580\"><\/a><br \/>By &lt;a href=\u00bb\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:MHz%60as\u00bb title=\u00bbUser:MHz`as\u00bb&gt;MHz`as&lt;\/a&gt; &#8211; &lt;a href=\u00bb\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Contour2D.jpg\u00bb title=\u00bbFile:Contour2D.jpg\u00bb&gt;Contour2D.jpg&lt;\/a&gt;, <a href=\"https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0\" title=\"Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0\">CC BY-SA 3.0<\/a>, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=18563222\">Link<\/a><\/p>\n<p>El mismo proceder nos sirve para extender estas definiciones a tres o m\u00e1s variables.<\/p>\n<p>Las curvas de nivel nos son \u00fatiles para aproximar valores que desconocemos<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Un mapa de curvas de nivel de una funci\u00f3n \\(f\\) se ilustra abajo.<br \/>\n\u00daselo para estimar los valores de \\(f (1, 3) \\) y \\(f (4, 5) \\).<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-180\" title=\"incidencia\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/curvadenivel01.png\" alt=\"\" width=\"257\" height=\"243\" \/><\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a7u() {\n  var htmlShow1a7u = document.getElementById(\"html-show1a7u\");\n  if (htmlShow1a7u.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a7u.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a7u.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a7u()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a7u\" style=\"display: none;\">\nEl punto (1, 3) queda entre las curvas de nivel con valores de \\(z\\) de 70 y 80. Estimamos que \\(f (1, 3)\\approx 73 \\). En forma similar, estimamos que \\(f (4, 5)\\approx 56 \\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Dibujar las curvas de nivel para \\(f(x,y)=xy\\) con valores de \\(k=1,-1,2,2\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a3u() {\n  var htmlShow1a3u = document.getElementById(\"html-show1a3u\");\n  if (htmlShow1a3u.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a3u.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a3u.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a3u()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a3u\" style=\"display: none;\">\nLas curvas de nivel son:\\(xy=k\\) con \\(k\\in\\mathbb{R}\\) que son hip\u00e9rbolas equil\u00e1teras:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-180\" title=\"incidencia\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/curvadenivel02.png\" alt=\"\" width=\"518\" height=\"310\" \/><\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Propiedades<\/h3>\n<ul>\n<li>Las curvas de nivel de un campo escalar de dos variables son l\u00edneas que conectan puntos con el mismo valor de la funci\u00f3n.<\/li>\n<li>Las curvas de nivel pueden ser utilizadas para visualizar la topograf\u00eda de una funci\u00f3n.<\/li>\n<li>En un campo escalar radialmente sim\u00e9trico, las curvas de nivel son c\u00edrculos conc\u00e9ntricos.<\/li>\n<li>Las curvas de nivel cerradas pueden indicar la presencia de un m\u00e1ximo o m\u00ednimo local.<\/li>\n<li>El valor de la funci\u00f3n es constante a lo largo de una curva de nivel.<\/li>\n<li>Las curvas de nivel no pueden cruzarse entre s\u00ed.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>L\u00edmite y continuidad de un campo escalar<\/h2>\n<p>El siguiente paso, con el que concluiremos la sesi\u00f3n, es formular la definici\u00f3n de l\u00edmite y continuidad de un campo escalar.<\/p>\n<blockquote>\n<p>De manera gen\u00e9rica, si \\(f:D\\subset\\mathbb{R}^n\\longrightarrow\\mathbb{R}\\), considerando \\(\\mathbb{R}^n\\) como es \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial con el producto escalar eucl\u00eddeo conocido, decimos que el l\u00edmite de \\(f(x_1,&#8230;,x_n)\\) cuando \\(\\vec{x}=(x_1,&#8230;,x_n)\\) tiende a \\(\\vec{a}=(a_1,&#8230;,a_n)\\) es \\(L\\), y escribimos,<br \/>\n\\[\\lim_{\\vec{x}\\to\\vec{a}}f(\\vec{x})=L\\]<br \/>\nsi \\(\\vec{x}\\in D\\) y \\(||\\vec{x}-\\vec{a}||&lt;\\delta\\), entonces \\(|f(\\vec{x})-L|&lt;\\epsilon\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Y ser\u00e1 continua si<br \/>\n\\[\\lim_{\\vec{x}\\to\\vec{a}}f(\\vec{x})=f(\\vec{a}).\\]<\/p>\n<h2>Derivadas parciales<\/h2>\n<p>Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales est\u00e1n definidas como el l\u00edmite. Donde <em>U<\/em> es un subconjunto abierto de \\(\\mathbb{R}^n\\) y \\(f:U\\to\\mathbb{R}\\) una funci\u00f3n. Definimos derivada parcial de <em>f<\/em> en el punto \\(\\mathbf{{a}}=(a_1,a_2,\\ldots,a_n)\\) con respecto a la \\(i-\\)\u00e9sima variable <em>x<\/em><sub><em>i<\/em><\/sub> como:<\/p>\n<p>\\[\\frac{ \\partial }{\\partial x_i }f(\\mathbf{a}) = \\lim_{h \\rightarrow 0}{ f(a_1, \\dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \\dots ,a_n) \u2013 f(a_1, \\dots ,a_n) \\over h }\\]<\/p>\n<p>En realidad, las parciales es una particularizaci\u00f3n de las derivadas direccionales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(f(x,y)=x^2+xy+y^3\\), \u00bfcu\u00e1l es el valor de \\(\\frac{\\partial f}{\\partial y}(1,1)\\) ?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a1() {\n  var htmlShow1a1 = document.getElementById(\"html-show1a1\");\n  if (htmlShow1a1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a1\" style=\"display: none;\">\nRecordemos que la parcial se calcula considerando constantes el resto de variables, luego<br \/>\n\\[\\frac{\\partial f}{\\partial y}=x+3y^2\\]<br \/>\nAhora sustituimos en el punto (1,1)<br \/>\n\\[\\frac{\\partial f}{\\partial y}(1,1)=1+3\\cdot 1^2=4\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(f(x,y)=\\sin(x^2+y)-xy\\). \u00bfCu\u00e1nto vale \\(f_x(1,1)+f_y(1,1)\\)?<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4a3() {\n  var htmlShow4a3 = document.getElementById(\"html-show4a3\");\n  if (htmlShow4a3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4a3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4a3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4a3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4a3\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Aplicada - Derivadas parciales. Ej.2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uFKPZX9QPP0?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Propiedades<\/h3>\n<li>Las derivadas parciales de un campo escalar se utilizan para analizar c\u00f3mo cambia la funci\u00f3n con respecto a cada variable independiente. <\/li>\n<li>Las derivadas parciales son \u00fatiles para encontrar los puntos cr\u00edticos de una funci\u00f3n escalar. <\/li>\n<li>En un campo escalar de dos variables, las derivadas parciales se calculan manteniendo una variable constante mientras se deriva con respecto a la otra. <\/li>\n<li>Las derivadas parciales pueden ser utilizadas para aproximar el valor de una funci\u00f3n cerca de un punto dado. <\/li>\n<li>La segunda derivada parcial de una funci\u00f3n escalar con respecto a una variable puede proporcionar informaci\u00f3n sobre la concavidad de la funci\u00f3n. <\/li>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 13 del libro <em>C\u00e1lculo de varias variables<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(f(x,y)=\\frac{x}{(x+y)^2}\\). \u00bfCu\u00e1nto vale \\(f_x(1,1)+f_y(1,1)\\)?  <\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>1\/4<\/li>\n<li>-1\/4 <\/li>\n<li>3\/2<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<strong>B.)<\/strong><\/p>\n<p>Calculemos las parciales:\\[f_x=\\frac{\\partial f}{\\partial x}=\\frac{1}{{{\\left( y+x\\right) }^{2}}}-\\frac{2 x}{{{\\left( y+x\\right) }^{3}}}\\]<br \/>\nY nos queda \\[f_y=\\frac{\\partial f}{\\partial y}=-\\frac{2 x}{{{\\left( y+x\\right) }^{3}}}\\] Solo nos resta sustituir \\[f_x(1,1)+f_y(1,1)=0 -\\frac{1}{4}=-\\frac{1}{4}\\]\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Comenzamos tema nuevo donde nuestro cometido ser\u00e1 estudiar las funciones \\[f:D\\subset\\mathbb{R}^n\\longrightarrow\\mathbb{R}^m,\\] para \\(m,n\\geqslant 1\\). 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