{"id":383,"date":"2026-10-22T09:15:54","date_gmt":"2026-10-22T07:15:54","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=383"},"modified":"2026-10-20T17:49:42","modified_gmt":"2026-10-20T15:49:42","slug":"mathbio-derivabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=383","title":{"rendered":"MathBio: Derivabilidad"},"content":{"rendered":"<blockquote>\n<p>\nSea \\(f\\) una funci\u00f3n definida en un punto \\(x_0\\) de un intervalo \\((a,b)\\), denominaremos derivada de \\(f\\) en \\(x_0\\) al valor del l\u00edmite, cuando exista,<br \/>\n\\[\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}\\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>En ese caso lo notaremos mediante \\(f'(x_0)\\).<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n es equivalente a \\[\\displaystyle\\lim_{h\\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0),\\] y m\u00e1s apropiada para definir la funci\u00f3n derivada.<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nLlamamos funci\u00f3n derivada de la funci\u00f3n \\(f\\) en el intervalo \\([a,b]\\) a la funci\u00f3n<br \/>\n\\[f'(x)=\\lim_{h\\to 0}\\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},\\; \\forall x\\in[a,b]\\]<br \/>\ncuando este existe.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Una funci\u00f3n es derivable si existe su derivada en todos los puntos de su dominio. Recordemos que para esto debe exist\u00edr y coincidir los l\u00edmites laterales. Esto nos lleva a observar que una funci\u00f3n puede ser continua en un punto, pero no derivable; por ejemplo, la funci\u00f3n \\(f(x)=|x|\\) es continua en \\(x=0\\), pero no derivable. Sin embargo, toda funci\u00f3n derivable es continua.<\/p>\n<p>El paso siguientes es conocer las reglas de derivaci\u00f3n para poder derivar cualquier funci\u00f3n conocida. Recordemos que \\(\\forall \\;\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\) es\\[\\begin{array}{rl}\\textit{i)}&#038; (\\lambda f\\pm \\mu  g)&#8217; =\\lambda f&#8217;\\pm \\mu  g&#8217;   \\\\ \\textit{ii)}&#038;<br \/>\n  (f\\cdot g)&#8217; =f&#8217;g+fg&#8217;,  \\\\ \\textit{iii)}&#038;   \\left(\\dfrac{f}{g}\\right)&#8217;=\\dfrac{f&#8217;g-fg&#8217;}{g^2},  \\mbox{ si } g(x)\\neq 0 \\\\<br \/>\n  \\end{array}\\]<\/p>\n<p>Podemos ver m\u00e1s propiedades de las funciones continuas en la bibliograf\u00eda referenciada.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Regla de la cadena:<\/strong> Si \\(h(x)=f(g(x))\\) entonces \\[h^\\prime(x)=f(^\\prime g(x))g\\prime()\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=e^{\\sin \\left(x^2\\right)}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=2 x\\, {{e}^{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}} \\cos{\\left( {{x}^{2}}\\right) }\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=2.5067\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=\\sin \\left(x^2+\\frac{1}{x}\\right)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3a() {\n  var htmlShow3a = document.getElementById(\"html-show3a\");\n  if (htmlShow3a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3a\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=\\left( 2 x-\\frac{1}{{{x}^{2}}}\\right)  \\cos{\\left( {{x}^{2}}+\\frac{1}{x}\\right) }\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=-0.4161\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b() {\n  var htmlShow3b = document.getElementById(\"html-show3b\");\n  if (htmlShow3b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=\\frac{4 \\sqrt{x+2}+1}{4 x\\, \\sqrt{x+2}+2 x+4}\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=0.6132\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Recta tangente<\/h2>\n<p>Utilicemos esto para determinar la tangente a una funci\u00f3n en un punto.<\/p>\n<p>La recta tangente es aquella que toca a la curva en el punto de tangencia y comparte la misma direcci\u00f3n o pendiente que la funci\u00f3n en ese punto.<\/p>\n<blockquote><p>\nSea \\(y=f(x)\\) una funci\u00f3n continua y derivable en \\(P(x_0,y_0)\\) entonces la recta tangente en dicho punto ser\u00e1 \\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular la tangente a la funci\u00f3n \\(f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\), en \\(x=1\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b8() {\n  var htmlShow3b8 = document.getElementById(\"html-show3b8\");\n  if (htmlShow3b8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b8\" style=\"display: none;\">\nComo hemos visto, \\[f^\\prime(x)=\\frac{4 \\sqrt{x+2}+1}{4 x\\, \\sqrt{x+2}+2 x+4}\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=0.6132\\)<\/p>\n<p>Ahora, la tangente viene dada por \\(y-f(x_0)=f^\\prime(x_0)(x-x_0)\\). Por tanto, sustituimos \\[y-1.3169=(0.6132)(x-1)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[T(x)=y(x)=0.6132x+0.7037\\]<br \/>\nSi dibujamos ambas:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-582\" title=\"int2\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/funcion_y_tangente01.png\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/>\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(T(x)\\) la tangente a la funci\u00f3n \\(f(x)=x\\ e^{-2x}+1\\), en \\(x=0\\), \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(T(0.2)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b9() {\n  var htmlShow3b9 = document.getElementById(\"html-show3b9\");\n  if (htmlShow3b9.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b9.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b9.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b9()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b9\" style=\"display: none;\">\nHagamos la derivada \\[f^\\prime(x)=(1-2x)e^{-2x}\\] Si calculamos: \\(f(0)=1\\), \\(f^\\prime(0)=1\\). Luego la tangente viene dada por \\[y-1=(x-0)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[T(x)=x+1\\]<br \/>\nAs\u00ed pues, \\(T(0.2)=1.2\\). En principio, la tangente se utilizaba para aproximar \\(f(x_1)\\) cuando se conoc\u00eda \\(f(x_0)\\). Cuanto m\u00e1s peque\u00f1a fuese la diferencia \\(|x_1-x_0|\\), menos error hab\u00eda en la aproximaci\u00f3n. Observa en este caso cu\u00e1l es la diferencia.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Recta normal<\/h2>\n<p>Si hemos planteado la derivada para encontrar la recta tangente, esta nos permite determinar la normal.<\/p>\n<p>La recta tangente en un punto \\(x_0\\) a una curva \\(y=f(x)\\) vendr\u00e1 dada por \\[y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0),\\]<br \/>\nCon lo cual, (\\(-f'(x_0),1\\)) es el vector director de la recta como subespacio vectorial en el plano real.<\/p>\n<blockquote><p>\nLa recta normal es aquella que pasa por el mismo punto \\(P(x_0, y_0)\\) pero es perpendicular a la recta tangente; por tanto, \\((1\/f'(x_0),1)\\) ser\u00e1 su vector director, y la recta quedar\u00e1 definida mediante:<br \/>\n\\[y-f(x_0)= \\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0).\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular la normal a la funci\u00f3n \\(f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\), en \\(x=1\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b81() {\n  var htmlShow3b81 = document.getElementById(\"html-show3b81\");\n  if (htmlShow3b81.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b81.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b81.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b81()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b81\" style=\"display: none;\">\nTeniendo en cuenta lo visto anteriormente, la normal viene dada por \\(y-f(x_0)= \\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)\\). Por tanto, sustituimos \\[y-1.3169=(-1\/0.6132)(x-1)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[N(x)=y(x)=-1.6307x+2.9476\\]<br \/>\nDibuj\u00e9moslas:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-582\" title=\"int2\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/funcion_y_tangente02.png\" alt=\"\" width=\"552\" height=\"356\" \/>\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(N(x)\\) la recta normal a la funci\u00f3n \\(f(x)=x\\ e^{-2x}+1\\), en \\(x=0\\). \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(N(2)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b91() {\n  var htmlShow3b91 = document.getElementById(\"html-show3b91\");\n  if (htmlShow3b91.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b91.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b91.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b91()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b91\" style=\"display: none;\">\nSabemos que la derivada es \\(f^\\prime(x)=(1-2x)e^{-2x}\\), y \\(f(0)=1\\) y \\(f^\\prime(0)=1\\). Luego la normal ser\u00e1: \\[y-1=(-1\/1)(x-0)\\] o lo que es lo mismo: \\[N(x)=-x+1\\]. As\u00ed pues, \\(N(2)=-1\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Extremos de una funci\u00f3n<\/h2>\n<p>Si deseamos dibujar una funci\u00f3n en un eje coordenado, necesitamos saber su dominio, sus valores m\u00e1ximos y m\u00ednimos, el estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci\u00f3n, para que nos ayude a comprender mejor el comportamiento de la funci\u00f3n y su gr\u00e1fica. <\/p>\n<p>En principio, sabemos que toda funci\u00f3n continua en un intervalo cerrado verifica el <strong>Teorema de Weierstrass<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Teorema:<\/strong> Si una funci\u00f3n \\(\\displaystyle f:\\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} \\) es continua en un intervalo cerrado y acotado \\([a,b]\\), entonces \\(f\\) alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos \\(x_{1},x_{2}\\in [a,b]\\) tales que \\(f(x_{1})\\leq f(x)\\leq f(x_{2})\\) para cualquier \\(x\\in [a,b]\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Ahora necesitamos encontrar los m\u00e1ximos y m\u00ednimos de una funci\u00f3n, conocidos colectivamente como extremos de una funci\u00f3n; es decir, los valores m\u00e1s grandes (m\u00e1ximos) o m\u00e1s peque\u00f1os (m\u00ednimos), que toma una funci\u00f3n en un punto situado ya sea dentro de una regi\u00f3n en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la funci\u00f3n en su totalidad (extremo global o absoluto).<\/p>\n<h3>Extremos relativos o locales<\/h3>\n<p>\\( f:D\\subset \\mathbb {R}\\longrightarrow \\mathbb {R} \\), sea \\( x_{0}\\in D\\) y sea \\( P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) un punto perteneciente a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n. Se dice que \\(P\\) es un m\u00e1ximo local de \\(f\\) si existe un entorno reducido de centro \\( x_{0}\\), \\( [x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\), donde para todo elemento \\( x\\in[x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\subset D\\) se cumple \\( f(x)\\leq f(x_{0})\\). Para que esta propiedad posea sentido estricto, debe cumplirse \\( f(x)&lt;f(x_{0}).\\)<\/p>\n<p>An\u00e1logamente, se dice que el punto \\( P\\) es un m\u00ednimo local de \\( f\\) si existe un entorno reducido de centro \\( x_{0}\\), \\( [x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\), donde para todo elemento \\( x\\in[x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\subset D\\) se cumple \\( f(x)\\geq f(x_{0}).\\)<\/p>\n<h3>Extremos absolutos o globales<\/h3>\n<p>Sea \\(f:D\\subset \\mathbb {R} \\longmapsto \\mathbb {R} \\), sea \\(x_{0}\\in D\\) y sea \\(P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) un punto perteneciente a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n.<\/p>\n<p>Se dice que \\(P\\) es un m\u00e1ximo absoluto de \\(f\\) si, para todo \\(x\\) distinto de \\(x_{0}\\) perteneciente al subconjunto \\(D\\), su imagen es menor o igual que la de \\(x_{0}\\). Esto es: \\(P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) m\u00e1ximo absoluto de \\(f\\iff \\forall x\\neq x_{0},x\\in D,f(x_{0})\\geq f(x).\\)<\/p>\n<p>An\u00e1logamente, \\(P\\) es un m\u00ednimo absoluto de \\(f\\) si, para todo \\(x\\) distinto de \\(x_{0}\\) perteneciente al subconjunto \\(D\\), su imagen es mayor o igual que la de \\(x_{0}\\). Esto es: \\(P\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) m\u00ednimo absoluto de \\(f\\iff \\forall x\\neq x_{0},x\\in D,f(x_{0})\\leq f(x).\\)<\/p>\n<h3>Determinaci\u00f3n de puntos cr\u00edticos<\/h3>\n<p>Podemos considerar un punto cr\u00edtico de una funci\u00f3n continua, \\(f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}\\), como el valor \\(x=c\\) en el dominio de \\(f\\) donde \\(f'(c)=0\\) o \\(f'(c)\\) no existe. Este punto cr\u00edtico ser\u00e1 un punto donde<\/p>\n<ol>\n<li>\\(f\\) tiene un m\u00e1ximo si \\(f'(x)>0\\) para \\(x\\in(c-\\epsilon,c)\\), y \\(f'(x)<0\\) para \\(x\\in(c,c+\\epsilon)\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) tiene un m\u00ednimo si \\(f'(x)<0\\) para \\(x\\in(c-\\epsilon,c)\\), y \\(f'(x)>0\\) para \\(x\\in(c,c+\\epsilon)\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) tiene un punto de inflexi\u00f3n si \\(f'(c-\\epsilon)f'(c+\\epsilon)>0\\) <\/li>\n<\/ol>\n<p>Como la derivada es la pendiente de la tangente a la curva, vemos que su crecimiento o decrecimiento depender\u00e1 de esta:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(f\\) es creciente en \\(x_0\\) si \\(f'(x_0)>0\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) es decreciente en \\(x_0\\) si \\(f'(x_0)<0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=7x^2-3x + 5\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3a() {\n  var htmlShow3a = document.getElementById(\"html-show3a\");\n  if (htmlShow3a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3a\" style=\"display: none;\">\nComo \\(f^\\prime(x)=14x-3\\), el \u00fanico punto cr\u00edtico de \\(f\\) es \\(c=\\frac{3}{14}\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=x^{2\/3}\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b() {\n  var htmlShow3b = document.getElementById(\"html-show3b\");\n  if (htmlShow3b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b\" style=\"display: none;\">\nEn este caso \\(f^\\prime(x)=\\frac{2}{3}x^{-1\/3}\\). Como \\(f^\\prime(0)\\) no est\u00e1 definida, 0 es el \u00fanico punto cr\u00edtico de \\(f\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=e^{\\sin \\left(x^2\\right)}\\) en el intervalo [-2,2].<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nEl pasado d\u00eda vimos que \\[f^\\prime(x)=2 x\\, {{e}^{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}} \\cos{\\left( {{x}^{2}}\\right) }\\]<br \/>\nLuego, \\(f^\\prime(c)=0\\) se cumple en \\(c=0\\) y \\(c=\\pm\\sqrt{\\frac{\\pi}{2}}\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Concavidad y convexidad<\/h2>\n<p>Recordad que trabajamos con funciones continuas y que sean derivables al menos en intervalo de trabajo.<\/p>\n<p>Una funci\u00f3n es c\u00f3ncava en un intervalo (a, c) si, para todo punto b del intervalo, la recta tangente en ese punto queda por encima de la funci\u00f3n. Otra forma de comprobarlo es verificar para todo punto del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la funci\u00f3n; en consecuencia, su derivada es mon\u00f3tonamente decreciente en ese intervalo. A menudo tambi\u00e9n es llamada c\u00f3ncava hacia abajo.<\/p>\n<p style=\"font-size: 10px;\"><a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Derivada_cero_11g.svg#\/media\/Archivo:Derivada_cero_11g.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/f\/f4\/Derivada_cero_11g.svg\" alt=\"Derivada cero 11g.svg\" height=\"480\" width=\"600\"><\/a><br \/>De <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:Dnu72\" title=\"User:Dnu72\">Dnu72<\/a> &#8211; <span class=\"int-own-work\" lang=\"es\">Trabajo propio<\/span>, <a href=\"https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/4.0\" title=\"Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0\">CC BY-SA 4.0<\/a>, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=14578828\">Enlace<\/a><\/p>\n<p>Por otro lado, una funci\u00f3n es convexa en un intervalo si el segmento que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la funci\u00f3n queda por encima de la funci\u00f3n. Como se aprecia, la concavidad es lo opuesto a la convexidad. Motivo por el cual una funci\u00f3n ser\u00e1 convexa en un intervalo si y solo si su derivada es mon\u00f3tonamente creciente en ese intervalo. A una funci\u00f3n convexa tambi\u00e9n se le llama c\u00f3ncava hacia arriba.<\/p>\n<p style=\"font-size: 10px;\"><a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Convex_function.svg#\/media\/Archivo:Convex_function.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/d6\/Convex_function.svg\" alt=\"Funci\u00f3n convexa\" height=\"472\" width=\"640\"><\/a><br \/>De <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:NalesnikLD\" title=\"User:NalesnikLD\">NalesnikLD<\/a> &#8211; <span class=\"int-own-work\" lang=\"es\">Trabajo propio<\/span>, Dominio p\u00fablico, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=7525773\">Enlace<\/a><\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Propiedad: <\/strong> Una funci\u00f3n \\(f\\) es c\u00f3ncava si la funci\u00f3n \\(-f\\) es convexa.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Acabamos de establecer un criterio para conocer la concavidad que depende del crecimiento o decrecimiento de la derivada y, en consecuencia, de la derivada de la derivada; es decir, de la segunda derivada. As\u00ed, si \\(f\\) es una funci\u00f3n continua y dos veces derivable en un intervalo \\(I\\subset\\mathbb{R}\\) ser\u00e1<\/p>\n<ol>\n<li>c\u00f3ncava en \\(x_0\\), si \\(f&#8217;'(x_0)<0\\) <\/li>\n<li>convexa en \\(x_0\\), si \\(f&#8217;'(x_0)>0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> En qu\u00e9 intervalos la funci\u00f3n \\(f(x)=x^4-4x^3\\), es c\u00f3ncava.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4b() {\n  var htmlShow4b = document.getElementById(\"html-show4b\");\n  if (htmlShow4b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4b\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(f^\\prime(x)=4x^2(x-3)\\), luego  los \u00fanicos valores cr\u00edticos de \\(f\\) ocurren cuando \\(x=0\\) y \\(x=3\\). Como \\(f^{\\prime\\prime}(x)=12x(x-2)\\), \\(f^{\\prime\\prime}(x)<0\\) \\(\\forall \\ x\\in(0,2)\\). Por tanto, ser\u00e1 c\u00f3ncava en este intervalo.\n\n\n\n<p>As\u00ed pues, vemos que, analizando el signo de la segunda derivada, podemos ver que:<\/p>\n<ul>\n<li>Intervalo (-\u221e, 0): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = -1\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(-1) = 12(-1)^2 &#8211; 24(-1) = 36>0\\). Como la segunda derivada es positiva, la funci\u00f3n es convexa en este intervalo.<\/li>\n<li>Intervalo (0, 2): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = 1\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(1) = 12(1)^2 &#8211; 24(1) = -12 < 0\\). Como la segunda derivada es negativa, la funci\u00f3n es c\u00f3ncava en este intervalo.<\/li>\n<li>Intervalo (2, \u221e): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = 3\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(3) = 12(3)^2 &#8211; 24(3) = 36 > 0\\). Como la segunda derivada es positiva, la funci\u00f3n es convexa en este intervalo.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Esto nos ayuda a clarificar el comportamiento de la funci\u00f3n en los puntos cr\u00edticos: dadas las condiciones necesarias<\/p>\n<ol>\n<li>Si \\(f'(x_0)=0\\) y \\(f&#8217;'(x_0)>0\\), \\(f\\) tendr\u00e1 un m\u00ednimo local en \\(x_0\\) <\/li>\n<li>Si \\(f'(x_0)=0\\) y \\(f&#8217;'(x_0)<0\\), \\(f\\) tendr\u00e1 un m\u00e1ximo local en \\(x_0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Encuentre los valores absolutos m\u00e1ximo y m\u00ednimo de la funci\u00f3n \\(f(x)=x^3-3x^2+1\\), \\(\\frac{-1}{2}\\leq x\\leq 4\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4a() {\n  var htmlShow4a = document.getElementById(\"html-show4a\");\n  if (htmlShow4a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4a\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(f^\\prime(x)=3x(x-2)\\), luego los \u00fanicos valores cr\u00edticos de \\(f\\) ocurren cuando \\(x=0\\) y \\(x=2\\). Como \\(f^{\\prime\\prime}(x)=6x-6\\), de modo que \\(f^{\\prime\\prime}(0)=-6\\) y \\(f^{\\prime\\prime}(2)=6\\). Por tanto, tendr\u00e1 un m\u00e1ximo \\(x=0\\) en y un m\u00ednimo en \\(x=2\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<section class=\"al-aplicaciones\" aria-labelledby=\"al-titulo\">\n<div class=\"al-cierre\">\n<h2>Aplicaci\u00f3n<\/h2>\n<p>El an\u00e1lisis mediante c\u00e1lculo diferencial permite establecer la estrategia \u00f3ptima de operaci\u00f3n de un biorreactor.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/mathbio\/MathBio_derivada_de_funciones_reales.html\" style=\"color: #0066cc;\" target=\"_blank\">An\u00e1lisis de Tasa de Producci\u00f3n, Puntos Cr\u00edticos e Inflexi\u00f3n en la Fermentaci\u00f3n de Antibi\u00f3ticos<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote><\/div>\n<\/section>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 3 del libro <em>Biocalculus: Calculus for Life Sciences<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<li>Cap\u00edtulo 4 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(T(x)\\) la recta tangente a la curva \\(y=\\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\\) en el punto \\((1,0)\\). Determinar el valor de \\(T(2)\\).<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>\\(\\frac{5}{3}\\) <\/li>\n<li>\\(\\frac{1}{3}\\) <\/li>\n<li>\\(\\frac{2}{3}\\) <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><em>La soluci\u00f3n se mostrar\u00e1 m\u00e1s adelante.<\/em><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sea \\(f\\) una funci\u00f3n definida en un punto \\(x_0\\) de un intervalo \\((a,b)\\), denominaremos derivada de \\(f\\) en \\(x_0\\) al valor del l\u00edmite, cuando exista, \\[\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}\\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\] En ese caso lo notaremos&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_members_access_role":[],"_members_access_error":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-383","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=383"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":397,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383\/revisions\/397"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=383"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=383"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=383"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}