{"id":375,"date":"2025-10-29T08:15:15","date_gmt":"2025-10-29T07:15:15","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=375"},"modified":"2025-10-31T16:44:30","modified_gmt":"2025-10-31T15:44:30","slug":"alg-el-plano-afin-mathbbr2-y-el-espacio-afin-mathbbr3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=375","title":{"rendered":"ALG: El plano af\u00edn \\(\\mathbb{R}^2\\) y el espacio af\u00edn \\(\\mathbb{R}^3\\)"},"content":{"rendered":"<h2>El plano \\(\\mathbb{R}^2\\) y el espacio \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h2>\n<p>En \u00e1lgebra lineal, un espacio vectorial (o tambi\u00e9n llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac\u00edo, una operaci\u00f3n interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaci\u00f3n externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.<\/p>\n<p>A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.<\/p>\n<p>Nosotros trabajaremos con el plano, \\(\\mathbb{R}^2=\\{(x,y)|x,y\\in\\mathbb{R}\\}\\), y el espacio eucl\u00eddeo, \\(\\mathbb{R}^3=\\{(x,y,z)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\). En el plano podemos definir \\[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\\quad \\forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\\in\\mathbb{R}^2\\] y \\[\\lambda\\cdot(x_1,x_2)=(\\lambda x_1,\\lambda x_2)\\in\\mathbb{R}^2,\\quad \\forall \\lambda\\in\\mathbb{R},(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2.\\]<\/p>\n<p>Para abreviar la notaci\u00f3n se suele poner \\(\\mathbf{x}=(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2\\).<\/p>\n<p>Como sabemos esta definici\u00f3n es extensible a tres o m\u00e1s dimensiones<\/p>\n<p>\\(\\mathbb{R}^2\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0),\\vec{e}_2=(0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^2\\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:<\/p>\n<blockquote><p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in \\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<p>De este modo cualquier \\(\\vec{x}=(x_1,x_2)\\in S\\subset\\mathbb{R}^2\\) cumplir\u00e1 \\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2 \\end{align*}\\]<\/p>\n<p>A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones param\u00e9tricas de la recta en el plano.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\vec{u}=(-1,-1)\\), \\(\\vec{v}=(-2,-1)\\), \u00bfgeneran el mismo subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nNo, pues si generaran el mismo \\(\\vec{v}\\in\\mbox{Gen}\\{\\vec{u}\\}\\) y \\[\\begin{align*}-2&#038;=-\\lambda\\\\ -1&#038;=-\\lambda \\end{align*}\\] para un determinado \\(\\lambda\\in \\mathbb{R}\\). Pero este \\(\\lambda\\in \\mathbb{R}\\) no existe.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x+y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x+y=0\\), luego \\(y=-x\\). Consideremos \\(x=\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=\\lambda\\\\ y&#038;=-\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(1,-1)\\}\\).\n<\/div>\n<hr\/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina una base dada por un vector unitario de subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x-2y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv51() {\n  var htmlShow51 = document.getElementById(\"html-show51\");\n  if (htmlShow51.style.display === \"none\") {\n    htmlShow51.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow51.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv51()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show51\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x-2y=0\\), luego \\(x=2y\\). Consideremos \\(x=2\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=2\\lambda\\\\ y&#038;=\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,1)\\}\\). As\u00ed, \\(B=\\{(2,1)\\}\\) es una base, para hacer su vector unitario, lo dividimos por su norma:\\[\\frac{1}{\\sqrt{5}}(2,1).\\]\n<\/div>\n<hr\/>\n<h2>El espacio: \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h2>\n<p>\\(\\mathbb{R}^3\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0,0),\\vec{e}_2=(0,1,0),\\vec{e}_3=(0,0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^3\\) podemos encontrarnos con dos tipos de subespacios: las rectas y los planos.<\/p>\n<blockquote><p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n uno, entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\in \\mathbb{R}^3\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3 \\end{align*}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>Determinar el vector director unitario que deducimos de las ecuaciones param\u00e9tricas del subesapcio vectorial \\(r:\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;2x-y=0,\\, 3x-z=0\\}\\) <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2q2() {\n  var htmlShow2q2 = document.getElementById(\"html-show2q2\");\n  if (htmlShow2q2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2q2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2q2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2q2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2q2\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Ecuaci\u00f3n impl\u00edcita: EJ. 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/WOm_SaG6Xbo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\nHemos visto que \\(r:\\mathbf{Gen}\\{(1,2,3)\\}\\), luego el vector director unitario ser\u00e1 \\[\\frac{1}{\\|(1,2,3)\\|}(1,2,3)=\\frac{1}{\\sqrt{14}}(1,2,3)\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Los planos de \\(\\mathbb{R}^3\\) lo constituir\u00e1n los subespacios:<\/p>\n<blockquote><p>\\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v},\\vec{u}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3):\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<h2>El plano y el espacio afin<\/h2>\n<p>Intentamos definir un espacio donde podamos fijar los vectores de \\(\\mathbb{R}^2\\) o \\(\\mathbb{R}^3\\) de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguir\u00e1 en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>Podemos definir el plano af\u00edn \\(\\mathbb{R}^2\\) como el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), como \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial, m\u00e1s una aplicaci\u00f3n especial \\(\\phi\\). Para notar los elementos de \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos \\(P=(x,y)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\) escribimos como habitualmente hacemos, \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos vectores del plano. La aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) ir\u00e1 del producto cartesiano \\(\\mathbb{R}^2\\times\\mathbb{R}^2\\) de los puntos en el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\); es decir, relacionar\u00e1 dos puntos con un vector.<\/p>\n<p>Con estos dos conjuntos, la aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) debe verificar:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\phi(P,Q)+\\phi(Q,R)=\\phi(P,R)\\) para todo \\(P,Q,R\\in\\mathbb{R}^2\\)<\/li>\n<li>Dado cualquier punto \\(P\\in\\mathbb{R}^2\\), y cualquier vector \\(\\vec{v}\\in\\mathbb{R}^2\\), existe un \u00fanico punto \\(Q\\in\\mathbb{R}^2\\) tal que \\(\\phi(P,Q)=\\vec{v}\\).<\/li>\n<\/ol>\n<p>Estas propiedades nos definen a \\(\\mathbb{R}^2\\) como un espacio af\u00edn sobre el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\), que denominamos el <em>plano af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n podemos trasladarla sin problemas al \\(\\mathbb{R}^3\\) definiendo el <em>espacio af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<h3>Recta afin en \\(\\mathbb{R}^2\\)<\/h3>\n<p>Con esta definici\u00f3n podemos abordad las variedades afines dadas por la recta en el plano af\u00edn, y, la recta y el plano, en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>As\u00ed veremos que las ecuaciones param\u00e9tricas de una recta en el plano af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\\lambda(v_1,v_2),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Ecuaci\u00f3n Impl\u00edcita de la Recta en R2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ljxtYtbRb1Q?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Probar que la ecuaci\u00f3n de la recta del plano, \\(\\mathbb{R}^2\\), que pasa por los puntos \\(A(a_1,a_2)\\) y \\(B(b_1,b_2)\\), viene dada por la ecuaic\u00f3n \\[\\begin{vmatrix}1 &#038; x &#038; y\\\\ 1 &#038; a_1 &#038; a_2 \\\\ 1 &#038; b_1 &#038; b_2 \\end{vmatrix}=0\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2q() {\n  var htmlShow2q = document.getElementById(\"html-show2q\");\n  if (htmlShow2q.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2q.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2q.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2q()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2q\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Ecuaci\u00f3n Impl\u00edcita de la Recta en R2 - Ej. 1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/i2Ia2gDhM5c?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Recta afin en \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h3>\n<p>Trasladar lo anterior al espacio af\u00edn resulta sencillo. Una recta en el espacio af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2,p_3)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>Determinar el vector director unitario que deducimos de las ecuaciones param\u00e9tricas del subesapcio vectorial \\(r:\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;x=1-2y+3z,\\, y=2+2z\\}\\) <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2q21() {\n  var htmlShow2q21 = document.getElementById(\"html-show2q21\");\n  if (htmlShow2q21.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2q21.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2q21.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2q21()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2q21\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Paso de Ecuaci\u00f3n Impl\u00edcita a Param\u00e9trica Ej. 5 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PJ4zPGWUu0Q?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\nHemos visto que \\(r:\\mathbf{Gen}\\{(-1,2,1)\\}\\), luego el vector director unitario ser\u00e1 \\[\\frac{1}{\\|(-1,2,1)\\|}(-1,2,1)=\\frac{1}{\\sqrt{6}}(-1,2,1)\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Plano afin en \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h3>\n<p>Si lo que deseamos es determinar un plano af\u00edn necesitamos un punto y un subespacio director formado por dos vectores. \\[\\pi=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3),\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Sus ecuaciones param\u00e9tricas ser\u00e1n \\[\\begin{align*}x_1&#038;=p_1+\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=p_2+\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=p_3+\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que pasa por el punto \\(P(1,0,1)\\) y tiene por vectores directores \\(\\vec{u}=(-1,-1,0)\\), \\(\\vec{v}=(-2,0,-1)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-\\lambda-2\\mu\\\\ y&#038;=-\\lambda\\\\ z&#038;=1-\\mu \\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que verifica que los puntos \\(P(1,0,1)\\), \\(Q(-1,2,1)\\) y  \\(R(1,2,-1)\\). El punto  \\(S(-1,3,2)\\) es coplanario con los tres puntos anteriores.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nComo necesitamos un punto y dos vectores directores, elegido \\(P(1,0,1)\\), tomamos \\(\\vec{v}=\\overrightarrow{PQ}=(-1,2,1)-(1,0,1)=(-2,2,0)\\), \\(\\vec{u}=\\overrightarrow{PR}=(1,2,-1)-(1,0,1)=(0,2,-2)\\). As\u00ed ser\u00e1<br \/>\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-2\\lambda\\\\ y&#038;=2\\lambda+2\\mu\\\\ z&#038;=1-2\\mu \\end{align*}\\]<\/p>\n<p>Para ver si los cuatro puntos son coplanarios es suficiente con determinar la rango de la matriz<br \/>\n\\[\\mathbf{rank}<br \/>\n\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\overrightarrow{PQ} \\\\<br \/>\n\\overrightarrow{PR} \\\\<br \/>\n\\overrightarrow{PS}<br \/>\n\\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<br \/>\nSi el rango es 2 los puntos son coplanarios.\n<\/p><\/div>\n<hr>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina un vector en la direcci\u00f3n del subespacio \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\) de longitud 6.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv52() {\n  var htmlShow52 = document.getElementById(\"html-show52\");\n  if (htmlShow52.style.display === \"none\") {\n    htmlShow52.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow52.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv52()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show52\" style=\"display: none;\">\nQue un vector, \\(\\vec{v}\\), est\u00e9 en la direcci\u00f3n del subespacio significa que \\(\\vec{v}\\in\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\); es decir, existe un n\u00famero real, \\(\\lambda\\), tal que \\(\\vec{v}=\\lambda(2,0,1)\\). Que su longitud sea 6, nos dice que \\(\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=6\\). Luego \\[\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\parallel(2\\lambda,0,\\lambda)\\parallel=\\sqrt{\\lambda^2(2^2+1^2)}=\\lambda\\sqrt{5}=6\\]<br \/>\nLuego \\[\\vec{v}=\\frac{6}{\\sqrt{5}}(2,0,1).\\]<\/p>\n<p>Observar que esto que hemos realizado es equivalente a considerar el vector unitario de la base y multiplicarlo por 6. Es decir, el vector que buscamos es \\[\\vec{v}=6\\frac{(2,0,1)}{\\parallel(2,0,1)\\parallel}.\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>  Sea la aplicaci\u00f3n lineal \\(f:\\mathbb{R}^3\\to\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\) dada por \\[f(x,y,z)=<br \/>\n\\begin{bmatrix}x-y&#038;y-z\\\\ z-x&#038;x-y\\end{bmatrix}.\\] \u00bf\\(\\mathbf{dim}\\,\\mathbf{Ker}(f)+3\\,\\mathbf{dim}\\,\\mathbf{Im}(f)\\)?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>4<\/li>\n<li>6<\/li>\n<li>7<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El plano \\(\\mathbb{R}^2\\) y el espacio \\(\\mathbb{R}^3\\) En \u00e1lgebra lineal, un espacio vectorial (o tambi\u00e9n llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac\u00edo, una operaci\u00f3n&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-375","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=375"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":416,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375\/revisions\/416"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=375"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=375"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=375"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}