Recordemos que un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por s\u00ed mismo la definici\u00f3n de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.<\/p>\n
\nSea \\(V\\) un espacio vectorial sobre \\(\\mathbb{K}\\), y \\(U\\subset V\\) no vac\u00edo, \\(U\\) es un subespacio vectorial de \\(V\\) si:<\/p>\n
\n
- \\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u} \\in U\\), \\(\\mathbf {v}+\\mathbf {u} \\in U\\)<\/li>\n
- \\(\\forall \\mathbf {u}\\in U\\), \\(\\forall a\\in \\mathbb{K}\\), \\(a\\mathbf {u}\\in U\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n
Un resultado pr\u00e1ctico que nos ayudar\u00e1 a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:<\/p>\n
\n\nSi \\(V\\) es un \\(\\mathbb{K}\\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vac\u00edo \\(S\\) de \\(V\\) es un subespacio vectorial si y s\u00f3lo si para cualesquiera dos vectores \\(\\vec{v}, \\vec{w}\\in S\\) y cualesquiera escalares \\(\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{K}\\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \\(\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{w}\\in S\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n
Operaciones con subespacios<\/h2>\n
Sea \\({\\displaystyle (V,+,\\mathbb{K},*)}\\) un espacio vectorial; \\({\\displaystyle (S,+,\\mathbb{K},*)}\\) y \\({\\displaystyle (W,+,\\mathbb{K},*)}\\) subespacios vectoriales de \\({\\displaystyle V}\\), se definen las siguientes operaciones:<\/p>\n
\\(\\bullet\\)Uni\u00f3n<\/strong><\/h3>\n
\\[{\\displaystyle S\\cup W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} \\in S\\ {\\text{o}}\\ \\mathbf {v} \\in W\\right\\}}\\]
\nEn general, la uni\u00f3n de subespacios no es un subespacio; solo lo ser\u00e1 si uno est\u00e1 contenido en el otro (\\(S\\subseteq W\\) \u00f3 \\(W\\subseteq S\\)).<\/p>\n\\(\\bullet\\)Intersecci\u00f3n<\/strong><\/h3>\n
\\[{\\displaystyle S\\cap W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} \\in S\\ {\\text{y}}\\ \\mathbf {v} \\in W\\right\\}}\\]
\nLa intersecci\u00f3n de dos subespacios es un subespacio.<\/p>\n\\(\\bullet\\)Suma<\/strong><\/h3>\n
\\[{\\displaystyle S+W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} =(\\mathbf {u_{1}} +\\mathbf {u_{2}} )\\wedge \\mathbf {u_{1}} \\in S\\wedge \\mathbf {u_{2}} \\in W\\right\\}}\\]
\nLa suma de dos subespacios es un subespacio de \\(V\\).<\/p>\n\\(\\bullet\\)Suma directa<\/strong><\/h3>\n
Si la intersecci\u00f3n entre \\(S\\) y \\(W\\) es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama \u00absuma directa\u00bb. Es decir que si
\n\\[{\\displaystyle S\\cap W=\\left\\{{\\vec {0}}\\right\\}\\Rightarrow S\\oplus W}\\]
\nEsto significa que todo vector de \\(S+W\\), se escribe de manera \u00fanica como la suma de un vector de \\(S\\) y otro de \\(W\\).<\/p>\n\\(\\bullet\\)Subespacios suplementarios<\/strong><\/h3>\n
Se dice que los subespacios \\(S\\) y \\(W\\) son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial \\(V\\):
\n\\[{\\displaystyle S\\oplus W=\\;V\\;\\leftrightarrow \\;{\\begin{cases}S+W=\\;V\\\\S\\cap W=\\left\\lbrace {\\overset {\\rightarrow }{0}}\\right\\rbrace \\end{cases}}}\\]<\/p>\nEjercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&2b\\\\a-b&a+b\\end{bmatrix};a,b\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\) y \\(T=\\left\\{\\begin{bmatrix}c+3d&2c+d\\\\ d&2c-d\\end{bmatrix};c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\), determinar una base del subespacio vectorial \\(S+T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n