\nTodo conjunto no vac\u00edo y acotado superiormente tiene un supremo.<\/p>\n<\/blockquote>\n
Con los n\u00fameros reales podemos crear sucesiones; es decir, una aplicaci\u00f3n, \\(\\phi:\\mathbb{N}\\to\\mathbb{R}\\), dada mediante \\(\\phi(i)=a_i\\) donde \\(a_i\\) es un n\u00famero real. Normalmente mostraremos esta sucesi\u00f3n ordenada y la notaremos por \\((a_n)_{n=0}^\\infty\\) o simplemente \\((a_n)\\).<\/p>\n
Las sucesiones pueden ser de diversas formas, pero a nosotros nos interesan aquellas que siguen un determinado patr\u00f3n.<\/p>\n
L\u00edmites<\/h1>\n
Decimos que una sucesi\u00f3n de n\u00fameros reales, \\((a_n)\\), tiene por l\u00edmite el n\u00famero real \\(a\\), y lo notaremos \\(\\displaystyle\\lim a_n=a\\), si para todo n\u00famero real positivo \\(\\epsilon\\) existe un n\u00famero natural, \\(\\eta\\), a partir del cual la diferencia entre \\(a\\) y el t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n es menor que \\(\\varepsilon\\); expresado de otro modo: \\[ \\forall\\: \\epsilon\\in\\mathbb{R}, \\epsilon>0\\;\\exists\\; \\eta\\in\\mathbb{N}; \\ \\eta\\leqslant n\\Longrightarrow |a-a_n|\\leqslant\\epsilon \\]<\/p>\n
L\u00edmite de una funci\u00f3n<\/h1>\n
Lo anterior se traslada f\u00e1cilmente a una funci\u00f3n:<\/p>\n
\nDiremos que \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\\) es el l\u00edmite de \\(f(x)\\) cuando \\(x\\) tiende a \\(x_0\\) en un intervalo \\(I\\), y lo notaremos mediante \\[\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\alpha,\\] si para todo \\(\\epsilon\\in\\mathbb{R}\\) existe \\(\\delta\\in\\mathbb{R}\\), tal que \\(|x-x_0|\\leqslant \\delta\\) con \\(x\\in I\\) y \\(x\\neq x_0\\), cumple que \\(|f(x)-\\alpha|\\leqslant\\epsilon\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n
Acabamos de introducir el concepto m\u00e1s importante del c\u00e1lculo. Como dice George Brinton Thomas, en su libro C\u00e1lculo una variable, \u00abEl concepto de l\u00edmite de una funci\u00f3n es una de las ideas fundamentales que distingue al c\u00e1lculo del \u00e1lgebra y la trigonometr\u00eda\u00bb. En s\u00edntesis, el c\u00e1lculo es el estudio de l\u00edmites.<\/p>\n
Tomemos ahora una funci\u00f3n de una variable \\({\\displaystyle f:D\\subseteq \\mathbb {R} \\longrightarrow \\mathbb {R} }\\) y un punto \\(x\\) del dominio \\(D\\) de esta funci\u00f3n, aproxim\u00e1ndose a \\(c\\), pero tomando solo valores m\u00e1s grandes que \u00e9l. Formalmente, estar\u00edamos tomando los \\(x\\) que verifican \\({\\displaystyle 0<x-c<\\delta }\\)para ciertos \\(\\delta\\). Si la funci\u00f3n tiende a un valor \\(L^+\\), se dice que \u00abexiste el l\u00edmite por derecha\u00bb y se denota as\u00ed: \\[\\lim _{{x\\to c^{+}}}f(x)=L^{+}\\]<\/p>\n
Tomando valores m\u00e1s peque\u00f1os, es decir, los \\(x\\) tales que \\(0<-(x-c)<\\delta \\), el l\u00edmite puede ser escrito como:\\[\\lim_{{x\\to c^{-}}}f(x)=L^{-}\\]<\/p>\n
Si los dos l\u00edmites anteriores son iguales: \\[\\lim_{{x\\to c^{-}}}f(x)=\\lim _{{x\\to c^{+}}}f(x)=L\\] entonces \\(L\\) se puede referir como el l\u00edmite de \\(f(x)\\) en \\(c\\). Dicho de otro modo, si los l\u00edmites laterales no son iguales, entonces el l\u00edmite no existe.<\/p>\n
\nEjemplo:<\/strong> Determinar \\(\\lim_{x\\to 0}\\frac{|x|}{x}\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n