{"id":321,"date":"2025-10-23T09:15:17","date_gmt":"2025-10-23T07:15:17","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=321"},"modified":"2025-10-29T18:15:58","modified_gmt":"2025-10-29T17:15:58","slug":"mathbio-extremos-de-una-funcion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=321","title":{"rendered":"MathBio: Extremos de una funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p>Si deseamos dibujar una funci\u00f3n en un eje coordenado, necesitamos saber su dominio, sus valores m\u00e1ximos y m\u00ednimos, el estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci\u00f3n, para que nos ayude a comprender mejor el comportamiento de la funci\u00f3n y su gr\u00e1fica. <\/p>\n<p>En principio sabemos que toda funci\u00f3n continua en un intervalo cerrado verifica el <strong>Teorema de Weierstrass<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Teorema:<\/strong> Si una funci\u00f3n \\(\\displaystyle f:\\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} \\) es continua en un intervalo cerrado y acotado \\([a,b]\\), entonces \\(f\\) alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos \\(x_{1},x_{2}\\in [a,b]\\) tales que \\(f(x_{1})\\leq f(x)\\leq f(x_{2})\\) para cualquier \\(x\\in [a,b]\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Ahora necesitamos encontrar los m\u00e1ximos y m\u00ednimos de una funci\u00f3n, conocidos colectivamente como extremos de una funci\u00f3n; es decir, los valores m\u00e1s grandes (m\u00e1ximos) o m\u00e1s peque\u00f1os (m\u00ednimos), que toma una funci\u00f3n en un punto situado ya sea dentro de una regi\u00f3n en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la funci\u00f3n en su totalidad (extremo global o absoluto).<\/p>\n<h2>Extremos relativos o locales<\/h2>\n<p>\\( f:D\\subset \\mathbb {R}\\longrightarrow \\mathbb {R} \\), sea \\( x_{0}\\in D\\) y sea \\( P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) un punto perteneciente a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n. Se dice que  \\( P\\) es un m\u00e1ximo local de \\( f\\) si existe un entorno reducido de centro \\( x_{0}\\), \\( [x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\), donde para todo elemento \\( x\\in[x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\subset D\\) se cumple \\( f(x)\\leq f(x_{0})\\). Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse \\( f(x)&lt;f(x_{0}).\\)<\/p>\n<p>An\u00e1logamente se dice que el punto \\( P\\) es un m\u00ednimo local de \\( f\\) si existe un entorno reducido de centro \\( x_{0}\\), \\( [x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\), donde para todo elemento \\( x\\in[x_{0}-\\epsilon,x_{0}+\\epsilon ]\\subset D\\) se cumple \\( f(x)\\geq f(x_{0}).\\)<\/p>\n<h3>Extremos absolutos o globales<\/h3>\n<p>Sea \\(f:D\\subset \\mathbb {R} \\longmapsto \\mathbb {R} \\), sea \\(x_{0}\\in D\\) y sea \\(P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) un punto perteneciente a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n.<\/p>\n<p>Se dice que P es un m\u00e1ximo absoluto de \\(f\\) si, para todo \\(x\\) distinto de \\(x_{0}\\) perteneciente al subconjunto \\(D\\), su imagen es menor o igual que la de \\(x_{0}\\). Esto es: \\(P=\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) m\u00e1ximo absoluto de \\(f\\iff \\forall x\\neq x_{0},x\\in D,f(x_{0})\\geq f(x).\\)<\/p>\n<p>An\u00e1logamente, \\(P\\) es un m\u00ednimo absoluto de \\(f\\) si, para todo \\(x\\) distinto de \\(x_{0}\\) perteneciente al subconjunto \\(D\\), su imagen es mayor o igual que la de \\(x_{0}\\). Esto es: \\(P\\,(x_{0},f(x_{0}))\\) m\u00ednimo absoluto de \\(f\\iff \\forall x\\neq x_{0},x\\in D,f(x_{0})\\leq f(x).\\)<\/p>\n<h2>Determinaci\u00f3n de puntos cr\u00edticos<\/h2>\n<p>Podemos considerar un punto cr\u00edtico de una funci\u00f3n continua, \\(f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}\\), como el valor \\(x=c\\) en el dominio de \\(f\\) donde \\(f'(c)=0\\) o \\(f'(c)\\) no existe. Este punto cr\u00edtico ser\u00e1 un punto donde<\/p>\n<ol>\n<li>\\(f\\) tiene un m\u00e1ximo, s\u00ed \\(f'(x)>0\\) para \\(x\\in(c-\\epsilon,c)\\), y \\(f'(x)<0\\) para \\(x\\in(c,c+\\epsilon)\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) tiene un m\u00ednimo, s\u00ed \\(f'(x)<0\\) para \\(x\\in(c-\\epsilon,c)\\), y \\(f'(x)>0\\) para \\(x\\in(c,c+\\epsilon)\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) tiene un punto de inflexi\u00f3n, s\u00ed \\(f'(c-\\epsilon)f'(c+\\epsilon)>0\\) <\/li>\n<\/ol>\n<p>Como la derivada es la pendiente de la tangente a la curva, vemos que su crecimiento o decrecimiento depender\u00e1 de esta:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(f\\) es creciente en \\(x_0\\), s\u00ed \\(f'(x_0)>0\\) <\/li>\n<li>\\(f\\) es decreciente en \\(x_0\\), s\u00ed \\(f'(x_0)<0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=7x^2-3x + 5\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3a() {\n  var htmlShow3a = document.getElementById(\"html-show3a\");\n  if (htmlShow3a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3a\" style=\"display: none;\">\nComo \\(f^\\prime(x)=14x-3\\), el \u00fanico punto cr\u00edtico de \\(f\\) es \\(c=\\frac{3}{14}\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=x^{2\/3}\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b() {\n  var htmlShow3b = document.getElementById(\"html-show3b\");\n  if (htmlShow3b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b\" style=\"display: none;\">\nEn este caso \\(f^\\prime(x)=\\frac{2}{3}x^{-1\/3}\\). Como \\(f^\\prime(0)\\) no est\u00e1 definida, 0 es el \u00fanico punto cr\u00edtico de \\(f\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los puntos cr\u00edticos de \\(f(x)=e^{\\sin \\left(x^2\\right)}\\) en el intervalo [-2,2].<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nEl pasado d\u00eda vimos que \\[f^\\prime(x)=2 x\\, {{e}^{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}} \\cos{\\left( {{x}^{2}}\\right) }\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(c)=0\\) se cumple en \\(c=0\\) y \\(c=\\pm\\sqrt{\\frac{\\pi}{2}}\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Ceros de una funci\u00f3n real<\/h2>\n<h3>M\u00e9todo de bisecci\u00f3n<\/h3>\n<p>Uno de los problemas a la hora de determinar los puntos cr\u00edticos es resolver la ecuaci\u00f3n \\(f^{\\prime}(x)=0\\), para ello, podemos utilizar el Teorema de Bolzano.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema de Bolzano:<\/strong> Si una funci\u00f3n continua, \\(f(x)\\), toma valores con signos opuestos en dos puntos \\(a\\) y \\(b\\) (es decir, \\(f(a)\u00b7f(b)&lt; 0\\), entonces existe al menos un punto \\(c\\) en el intervalo \\((a, b)\\) donde \\(f(c) = 0\\)\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Este teorema lo podemos utilizar para encontrar una aproximaci\u00f3n a un cero de una funci\u00f3n.<\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>M\u00e9todo de bisecci\u00f3n<\/strong>: El m\u00e9todo consiste en lo siguiente:<\/p>\n<ul>\n<li>Debe existir seguridad sobre la continuidad de la funci\u00f3n \\( f\\) en el intervalo \\( [a,b]\\)<\/li>\n<li>A continuaci\u00f3n se verifica que \\( f(a)\\cdot f(b)&lt;0\\)<\/li>\n<li>Se calcula el punto medio \\( m\\) del intervalo \\( [a,b]\\) y se eval\u00faa \\( f(m)\\) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la ra\u00edz buscada<\/li>\n<li>En caso de que no lo sea, verificamos si \\( f(m)\\) tiene signo opuesto con \\( f(a)\\) o con \\( f(b)\\)<\/li>\n<li>Se redefine el intervalo \\( [a,b]\\) como \\( [a,m]\\) o \\( [m,b]\\) seg\u00fan se haya determinado en cu\u00e1l de estos intervalos ocurre un cambio de signo<\/li>\n<li>Con este nuevo intervalo se contin\u00faa sucesivamente encerrando la soluci\u00f3n en un intervalo cada vez m\u00e1s peque\u00f1o, hasta alcanzar la precisi\u00f3n deseada<\/li>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar los ceros de la ecuaci\u00f3n \\(x^4 + 2 x^3 &#8211; 3 x^2 + 2 x &#8211; 3=0\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3q1() {\n  var htmlShow3q1 = document.getElementById(\"html-show3q1\");\n  if (htmlShow3q1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3q1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3q1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3q1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3q1\" style=\"display: none;\">\nTomemos la  \\(f(x)=x^4 + 2 x^3 &#8211; 3 x^2 + 2 x &#8211; 3\\). La funci\u00f3n es continua en toda la recta real. Sea \\(x_0=-5\\) y \\(x_n=x_0+n\\), con \\(1\\leq n\\leq 10\\), calculemos \\(f(x_i)\\), para  \\(0\\leq i\\leq 10\\): [287, 69, -9, -19, -9, -3, -1, 21, 111, 341, 807]. <\/p>\n<p>Esto nos dice que \\(f(-4)f(-3)&lt;0\\) y \\(f(1)f(2)&lt;0\\); es decir, sabemos que hay un cero, al menos, en los intervalos (-4,-3) y (1,2). Veamos una aproximaci\u00f3n al cero de (-4,-3).<\/p>\n<p>Sea \\(m=\\frac{(-4)+(-3)}{2}=-3.5\\), calcumemos \\(f\\left(\\frac{(-4)+(-3)}{2}\\right)\\approx 17.56\\), luego el cero estar\u00e1 en (-3.5,-3). Repitamos el proceso: \\(m=\\frac{(-3.5)+(-3)}{2}=-3.25\\), calcumemos \\(f(-3.25)\\approx 1.72\\), luego el cero estar\u00e1 en (-3.25,-3). Volvamos a repetir el proceso: \\(m=\\frac{(-3.25)+(-3)}{2}=-3.125\\) y \\(f(m)\\approx -4.21\\). Ahora  \\( f(-3.25)\\cdot f(-3.125)&lt;0\\), luego el cero est\u00e1 en (-3.25,-3.125). <\/p>\n<p>Repitamos el proceso:  \\(m=\\frac{(-3.25)+(-3.125)}{2}=-3.1875\\) y \\(f(m)\\approx -1.39\\), por tanto debemos continuar con el intervalo (-3.25,-3.1875).<\/p>\n<p>Repitamos el proceso:  \\(m=\\frac{(-3.25)+(-3.1875)}{2}=-3.21875\\) y \\(f(m)\\approx 0.123\\). Acabamos de encontrar que \\(m\\) est\u00e1 a menos de una unidad del cero que buscamos, y en el intervalo (-3.25,-3.21875).<\/p>\n<p>Repitamos el proceso:  \\(m=\\frac{(-3.25)+(-3.21875)}{2}=-3.234375\\) y \\(f(m)\\approx 0.913\\). Aunque se distancia respecto del anterior, podemos decir que estamos m\u00e1s cerca, pues el cero que buscamos est\u00e1 en el intervalo (-3.234375,-3.21875), y casi podemos afirmar que \\(-3.2\\) es una aproximaci\u00f3n a un cero de la ecuaci\u00f3n con una cifra decimal exacta.<\/p>\n<p>Ahora toca calcular el cero en el intervalo (1,2).\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h3>M\u00e9todo de Newton<\/h3>\n<blockquote><p>\nSea \\({\\displaystyle f:[a,b]\\to \\mathbb {R} }\\) una funci\u00f3n derivable definida en el intervalo real \\({\\displaystyle [a,b]}\\). Si \\(f({\\displaystyle x_{0}})\\) es un valor cercano al cero, entonces el proceso \\[{\\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\\frac {f(x_{n})}{f^{\\prime}(x_{n})}}} \\] genera una sucesi\u00f3n \\(x_n\\) que verifica \\({\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty} f(x_n)=0}\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Este m\u00e9todo nos garantiza, que en determinadas condiciones, la sucesi\u00f3n converge r\u00e1pidamente a una soluci\u00f3n con la precisi\u00f3n que deseemos.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar \\(\\sqrt{2}\\) con al menos 5 cifras decimales exactas.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3q13e() {\n  var htmlShow3q13e = document.getElementById(\"html-show3q13e\");\n  if (htmlShow3q13e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3q13e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3q13e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3q13e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3q13e\" style=\"display: none;\">\nConsideremos \\(f(x)=x^2-2\\), donde vemos que \\(\\sqrt{2}\\) es una soluci\u00f3n. Luego, \\(f^\\prime(x)=2x\\). Planteemos la iteraci\u00f3n<br \/>\n\\[x_{n+1}=g(x_n)=x_n-\\frac{x^2-2}{2x}\\]<br \/>\nSea \\(x_0=1.1\\) entonces<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n x_1&#038;=g(x_0)=1.459090909090909\\\\<br \/>\n x_2&#038;=g(x_1)=1.414903709997168\\\\<br \/>\n x_3&#038;=g(x_2)=1.414213730689758\\\\<br \/>\n x_4&#038;=g(x_3)=1.414213562373105\\\\<br \/>\n x_5&#038;=g(x_4)=1.414213562373095<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\\]<br \/>\nClaramente observamos que \\(\\sqrt{2}\\approx 1.414213562373095\\) es una aproximaci\u00f3n de al menos 5 cifras decimales exactas.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el cero de la ecuaci\u00f3n \\(x^4 + 2 x^3 &#8211; 3 x^2 + 2 x &#8211; 3=0\\) en el intervalo (1,2).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3q1e() {\n  var htmlShow3q1e = document.getElementById(\"html-show3q1e\");\n  if (htmlShow3q1e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3q1e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3q1e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3q1e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3q1e\" style=\"display: none;\">\nConsideremos \\(f(x)=x^4 + 2 x^3 &#8211; 3 x^2 + 2 x &#8211; 3\\), entonces \\(f^\\prime(x)=4 {{x}^{3}}+6 {{x}^{2}}-6 x+2\\). Planteemos la iteraci\u00f3n<br \/>\n\\[x_{n+1}=g(x_n)=x_n-\\frac{{{x_n}^{4}}+2 {{x_n}^{3}}-3 {{x_n}^{2}}+2 x_n-3}{4 {{x_n}^{3}}+6 {{x_n}^{2}}-6 x_n+2}\\]<br \/>\nSea \\(x_0=1.5\\) entonces<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{align*}<br \/>\n x_1&#038;=g(x_0)=1.246875\\\\<br \/>\n x_2&#038;=g(x_1)=1.15000667544043\\\\<br \/>\n x_3&#038;=g(x_2)=1.136483071373337\\\\<br \/>\n x_4&#038;=g(x_3)=1.136239016372587\\\\<br \/>\n x_5&#038;=g(x_4)=1.136238938051211\\\\<br \/>\n x_6&#038;=g(x_5)=1.136238938051203<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Concavidad y convexidad<\/h2>\n<p>Recordad que trabajamos con funciones continuas y que sean derivables al menos en intervalo de trabajo.<\/p>\n<p>Una funci\u00f3n es c\u00f3ncava en un intervalo (a,c), si para todo punto b del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la funci\u00f3n. Otra forma de comprobarlo es verificar para todo punto del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la funci\u00f3n; en consecuencia, su derivada es mon\u00f3tonamente decreciente en ese intervalo. A menudo tambi\u00e9n es llamada c\u00f3ncava hacia abajo.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Derivada_cero_11g.svg#\/media\/Archivo:Derivada_cero_11g.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/f\/f4\/Derivada_cero_11g.svg\" alt=\"Derivada cero 11g.svg\" height=\"480\" width=\"600\"><\/a><br \/>De <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:Dnu72\" title=\"User:Dnu72\">Dnu72<\/a> &#8211; <span class=\"int-own-work\" lang=\"es\">Trabajo propio<\/span>, <a href=\"https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/4.0\" title=\"Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0\">CC BY-SA 4.0<\/a>, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=14578828\">Enlace<\/a><\/p>\n<p>Por otro lado, una funci\u00f3n es convexa en un intervalo, si segmento que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la funci\u00f3n queda por encima de la funci\u00f3n. Como se aprecia concavidad es lo opuesto a la convexidad. Motivo por el cual una funci\u00f3n ser\u00e1 convexa en un intervalo si y solo si su derivada es mon\u00f3tonamente creciente en ese intervalo. A una funci\u00f3n convexa tambi\u00e9n se le llama c\u00f3ncava hacia arriba.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Convex_function.svg#\/media\/Archivo:Convex_function.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/d6\/Convex_function.svg\" alt=\"Funci\u00f3n convexa\" height=\"472\" width=\"640\"><\/a><br \/>De <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:NalesnikLD\" title=\"User:NalesnikLD\">NalesnikLD<\/a> &#8211; <span class=\"int-own-work\" lang=\"es\">Trabajo propio<\/span>, Dominio p\u00fablico, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=7525773\">Enlace<\/a><\/p>\n<blockquote><p>\n<strong>Propiedad: <\/strong> Una funci\u00f3n \\(f\\) es c\u00f3ncava si la funci\u00f3n \\(-f\\) es convexa.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Acabamos de establecer un criterio para conocer la concavidad que depende del crecimiento o decrecimiento de la derivada y, en consecuencia, de la derivada de la derivada; es decir, de la segunda derivada. As\u00ed, si \\(f\\) es una funci\u00f3n continua y dos veces derivable en un intervalo \\(I\\subset\\mathbb{R}\\) ser\u00e1<\/p>\n<ol>\n<li>c\u00f3ncava en \\(x_0\\), si \\(f&#8217;'(x_0)<0\\) <\/li>\n<li>convexa en \\(x_0\\), si \\(f&#8217;'(x_0)>0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> En qu\u00e9 intervalos la funci\u00f3n \\(f(x)=x^4-4x^3\\), es c\u00f3ncava.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4b() {\n  var htmlShow4b = document.getElementById(\"html-show4b\");\n  if (htmlShow4b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4b\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(f^\\prime(x)=4x^2(x-3)\\), luego  los \u00fanicos valores cr\u00edticos de \\(f\\) ocurren cuando \\(x=0\\) y \\(x=3\\). Como \\(f^{\\prime\\prime}(x)=12x(x-2)\\), \\(f^{\\prime\\prime}(x)<0\\) \\(\\forall \\ x\\in(0,2)\\). Por tanto, ser\u00e1 c\u00f3ncava en este intervalo.\n\n\n\n<p>As\u00ed pues, vemos que analizando el signo de la segunda derivada podemos ver que:<\/p>\n<ul>\n<li>Intervalo (-\u221e, 0): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = -1\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(-1) = 12(-1)^2 &#8211; 24(-1) = 36>0\\). Como la segunda derivada es positiva, la funci\u00f3n es convexa en este intervalo.<\/li>\n<li>Intervalo (0, 2): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = 1\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(1) = 12(1)^2 &#8211; 24(1) = -12 < 0\\). Como la segunda derivada es negativa, la funci\u00f3n es c\u00f3ncava en este intervalo.<\/li>\n<li>Intervalo (2, \u221e): Tomamos un valor de este intervalo, por ejemplo, \\(x = 3\\). Evaluamos \\(f^{\\prime\\prime}(3) = 12(3)^2 &#8211; 24(3) = 36 > 0\\). Como la segunda derivada es positiva, la funci\u00f3n es convexa en este intervalo.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Esto nos ayuda a clarificar el comportamiento de la funci\u00f3n en los puntos cr\u00edticos: dadas las condiciones necesarias<\/p>\n<ol>\n<li>Si \\(f'(x_0)=0\\) y \\(f&#8217;'(x_0)>0\\), \\(f\\) tendr\u00e1 un m\u00ednimo local en \\(x_0\\) <\/li>\n<li>Si \\(f'(x_0)=0\\) y \\(f&#8217;'(x_0)<0\\), \\(f\\) tendr\u00e1 un m\u00e1ximo local en \\(x_0\\)<\/li>\n<\/ol>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Encuentre los valores absolutos m\u00e1ximo y m\u00ednimo de la funci\u00f3n \\(f(x)=x^3-3x^2+1\\), \\(\\frac{-1}{2}\\leq x\\leq 4\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4a() {\n  var htmlShow4a = document.getElementById(\"html-show4a\");\n  if (htmlShow4a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4a\" style=\"display: none;\">\nSabemos que \\(f^\\prime(x)=3x(x-2)\\), luego  los \u00fanicos valores cr\u00edticos de \\(f\\) ocurren cuando \\(x=0\\) y \\(x=2\\). Como \\(f^{\\prime\\prime}(x)=6x-6\\), de modo que \\(f^{\\prime\\prime}(0)=-6\\) y \\(f^{\\prime\\prime}(2)=6\\). Por tanto, tendr\u00e1 un m\u00e1ximo \\(x=0\\) en y un m\u00ednimo en \\(x=2\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 4 del libro <em>C\u00e1lculo de una variable<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea la funci\u00f3n \\(f(x)=-3 + 4 x + 2 x^2 &#8211; 4 x^3 + x^4\\), \u00bfcu\u00e1ntos puntos cr\u00edticos tiene? <\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>1<\/li>\n<li>2<\/li>\n<li>3<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Si deseamos dibujar una funci\u00f3n en un eje coordenado, necesitamos saber su dominio, sus valores m\u00e1ximos y m\u00ednimos, el estudio del crecimiento y decrecimiento de la funci\u00f3n, para que nos ayude a&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-321","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/321","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=321"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/321\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":407,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/321\/revisions\/407"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=321"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=321"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=321"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}