En \u00e1lgebra lineal, un espacio vectorial (o tambi\u00e9n llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vac\u00edo, una operaci\u00f3n interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaci\u00f3n externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.<\/p>\n
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.<\/p>\n
Nosotros trabajaremos con el plano, \\(\\mathbb{R}^2=\\{(x,y)|x,y\\in\\mathbb{R}\\}\\), y el espacio eucl\u00eddeo, \\(\\mathbb{R}^3=\\{(x,y,z)|x,y,z\\in\\mathbb{R}\\}\\). En el plano podemos definir \\[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\\quad \\forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\\in\\mathbb{R}^2\\] y \\[\\lambda\\cdot(x_1,x_2)=(\\lambda x_1,\\lambda x_2)\\in\\mathbb{R}^2,\\quad \\forall \\lambda\\in\\mathbb{R},(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2.\\]<\/p>\n
Para abreviar la notaci\u00f3n, se suele poner \\(\\mathbf{x}=(x_1,x_2)\\in\\mathbb{R}^2\\).<\/p>\n
Como sabemos, esta definici\u00f3n es extensible a tres o m\u00e1s dimensiones.<\/p>\n
\\(\\mathbb{R}^2\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0),\\vec{e}_2=(0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^2\\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:<\/p>\n
Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial, entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in \\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n
De este modo, cualquier \\(\\vec{x}=(x_1,x_2)\\in S\\subset\\mathbb{R}^2\\) cumplir\u00e1 \\[\\begin{align*}x_1&=\\lambda v_1\\\\ x_2&=\\lambda v_2 \\end{align*}\\]<\/p>\n
A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones param\u00e9tricas de la recta en el plano.<\/p>\n
\nEjemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\vec{u}=(-1,-1)\\), \\(\\vec{v}=(-2,-1)\\), \u00bfgeneran el mismo subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n