{"id":317,"date":"2025-10-22T11:50:44","date_gmt":"2025-10-22T09:50:44","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=317"},"modified":"2025-10-15T19:20:53","modified_gmt":"2025-10-15T17:20:53","slug":"mathbio-derivabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=317","title":{"rendered":"MathBio: Derivabilidad"},"content":{"rendered":"<blockquote>\n<p>\nSea \\(f\\) una funci\u00f3n definida en un punto \\(x_0\\) de un intervalo \\((a,b)\\), denominaremos derivada de \\(f\\) en \\(x_0\\) al valor del l\u00edmite, cuando exista,<br \/>\n\\[\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}\\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>En ese caso lo notaremos mediante \\(f'(x_0)\\).<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n es equivalente a \\[\\displaystyle\\lim_{h\\to 0}\\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0),\\] y m\u00e1s apropiada para definir la funci\u00f3n derivada.<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nLlamamos funci\u00f3n derivada de la funci\u00f3n \\(f\\) en el intervalo \\([a,b]\\) a la funci\u00f3n<br \/>\n\\[f'(x)=\\lim_{h\\to 0}\\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},\\; \\forall x\\in[a,b]\\]<br \/>\ncuando este existe.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Una funci\u00f3n es derivable si existe su derivada en todos los puntos de su dominio. Recordemos que para esto debe exist\u00edr y coincidir los l\u00edmites laterales. Esto nos lleva a observar que una funci\u00f3n puede ser continua en un punto, pero no derivable; por ejemplo, la funci\u00f3n \\(f(x)=|x|\\) es continua en \\(x=0\\), pero no derivable. Sin embargo, toda funci\u00f3n derivable es continua.<\/p>\n<p>El paso siguientes es conocer las reglas de derivaci\u00f3n para poder derivar cualquier funci\u00f3n conocida. Recordemos que \\(\\forall \\;\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\) es\\[\\begin{array}{rl}\\textit{i)}&#038; (\\lambda f\\pm \\mu  g)&#8217; =\\lambda f&#8217;\\pm \\mu  g&#8217;   \\\\ \\textit{ii)}&#038;<br \/>\n  (f\\cdot g)&#8217; =f&#8217;g+fg&#8217;,  \\\\ \\textit{iii)}&#038;   \\left(\\dfrac{f}{g}\\right)&#8217;=\\dfrac{f&#8217;g-fg&#8217;}{g^2},  \\mbox{ si } g(x)\\neq 0 \\\\<br \/>\n  \\end{array}\\]<\/p>\n<p>Podemos ver m\u00e1s propiedades de las funciones continuas en la bibliograf\u00eda referenciada.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Regla de la cadena:<\/strong> Si \\(h(x)=f(g(x))\\) entonces \\[h^\\prime(x)=f(^\\prime g(x))g\\prime()\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=e^{\\sin \\left(x^2\\right)}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=2 x\\, {{e}^{\\sin{\\left( {{x}^{2}}\\right) }}} \\cos{\\left( {{x}^{2}}\\right) }\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=2.5067\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=\\sin \\left(x^2+\\frac{1}{x}\\right)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3a() {\n  var htmlShow3a = document.getElementById(\"html-show3a\");\n  if (htmlShow3a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3a\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=\\left( 2 x-\\frac{1}{{{x}^{2}}}\\right)  \\cos{\\left( {{x}^{2}}+\\frac{1}{x}\\right) }\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=-0.4161\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar el valor de \\(f^\\prime(1)\\) donde \\[f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b() {\n  var htmlShow3b = document.getElementById(\"html-show3b\");\n  if (htmlShow3b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b\" style=\"display: none;\">\n\\[f^\\prime(x)=\\frac{4 \\sqrt{x+2}+1}{4 x\\, \\sqrt{x+2}+2 x+4}\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=0.6132\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Recta tangente<\/h2>\n<p>Utilicemos esto para determinar la tangente a una funci\u00f3n en un punto.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular la tangente a la funci\u00f3n \\(f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\), en \\(x=1\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b8() {\n  var htmlShow3b8 = document.getElementById(\"html-show3b8\");\n  if (htmlShow3b8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b8\" style=\"display: none;\">\nComo hemos visto \\[f^\\prime(x)=\\frac{4 \\sqrt{x+2}+1}{4 x\\, \\sqrt{x+2}+2 x+4}\\]<br \/>\nLuego,  \\(f^\\prime(1)=0.6132\\)<\/p>\n<p>Ahora, la tangente viene dada por \\(y-f(x_0)=f^\\prime(x_0)(x-x_0)\\). Por tanto, sustituimos \\[y-1.3169=(0.6132)(x-1)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[T(x)=y(x)=0.6132x+0.7037\\]<br \/>\nSi dibujamos ambas:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-582\" title=\"int2\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/funcion_y_tangente01.png\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/>\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(T(x)\\) la tangente a la funci\u00f3n \\(f(x)=x\\ e^{-2x}+1\\), en \\(x=0\\), \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(T(0.2)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b9() {\n  var htmlShow3b9 = document.getElementById(\"html-show3b9\");\n  if (htmlShow3b9.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b9.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b9.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b9()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b9\" style=\"display: none;\">\nHagamos la derivada \\[f^\\prime(x)=(1-2x)e^{-2x}\\] Si calculamos: \\(f(0)=1\\)  \\(f^\\prime(0)=1\\). Luego la tangente viene dada por  \\[y-1=(x-0)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[T(x)=x+1\\]<br \/>\nAs\u00ed pues,  \\(T(0.2)=1.2\\). En principio, la tangente se utilizaba para aproximar \\(f(x_1)\\) cuando se conoc\u00eda \\(f(x_0)\\). Cuanto m\u00e1s peque\u00f1a fuese la diferencia \\(|x_1-x_0|\\) menos error hab\u00eda en la aproximaci\u00f3n. Observa en este caso cu\u00e1l es la diferencia.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Recta normal<\/h2>\n<p>Si hemos planteado la derivada para encontrar la recta tangente, esta nos permite determinar la normal.<\/p>\n<p>La recta tangente en un punto \\(x_0\\) a una curva \\(y=f(x)\\) vendr\u00e1 dada por \\[y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0),\\]<br \/>\ncon lo cual, (\\(-f'(x_0),1\\)) es el vector director de la recta como subespacio vectorial en el plano real.<\/p>\n<p>La normal es perpendicular a la recta tangente, por tanto \\((1\/f'(x_0),1)\\) ser\u00e1 su vector director, y la recta quedar\u00e1 definida mediante:<br \/>\n\\[y-f(x_0)= \\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0).\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Calcular la normal a la funci\u00f3n \\(f(x)=\\log \\left(\\sqrt{x+2}+2x\\right)\\), en \\(x=1\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b81() {\n  var htmlShow3b81 = document.getElementById(\"html-show3b81\");\n  if (htmlShow3b81.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b81.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b81.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b81()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b81\" style=\"display: none;\">\nTeniendo en cuenta lo visto anteriormente, la normal viene dada por \\(y-f(x_0)= \\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)\\). Por tanto, sustituimos \\[y-1.3169=(-1\/0.6132)(x-1)\\]<br \/>\nO lo que es lo mismo: \\[N(x)=y(x)=-1.6307x+2.9476\\]<br \/>\nDibuj\u00e9moslas:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-582\" title=\"int2\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/funcion_y_tangente02.png\" alt=\"\" width=\"552\" height=\"356\" \/>\n<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sea \\(N(x)\\) la recta normal a la funci\u00f3n \\(f(x)=x\\ e^{-2x}+1\\), en \\(x=0\\), \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(N(2)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3b91() {\n  var htmlShow3b91 = document.getElementById(\"html-show3b91\");\n  if (htmlShow3b91.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3b91.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3b91.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3b91()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3b91\" style=\"display: none;\">\nSabemos que la derivada es \\(f^\\prime(x)=(1-2x)e^{-2x}\\), y \\(f(0)=1\\) y \\(f^\\prime(0)=1\\). Luego la normal ser\u00e1: \\[y-1=(-1\/1)(x-0)\\] O lo que es lo mismo: \\[N(x)=-x+1\\] As\u00ed pues,  \\(N(2)=-1\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 3 del libro <em>Biocalculus: Calculus for Life Sciences<\/em>, de James Stewart.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es la recta tangente a la curva \\(y=\\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\\) en el punto (1,0)?<\/p>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>\\(y=\\frac{2}{3}x+\\frac{1}{3}\\) <\/li>\n<li>\\(y=\\frac{1}{3}x-\\frac{2}{3}\\) <\/li>\n<li>\\(y=\\frac{2}{3}x-\\frac{2}{3}\\) <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sea \\(f\\) una funci\u00f3n definida en un punto \\(x_0\\) de un intervalo \\((a,b)\\), denominaremos derivada de \\(f\\) en \\(x_0\\) al valor del l\u00edmite, cuando exista, \\[\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}\\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\] En ese caso lo notaremos&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-317","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/317","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=317"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/317\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":320,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/317\/revisions\/320"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=317"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=317"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=317"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}