{"id":315,"date":"2026-10-16T10:15:49","date_gmt":"2026-10-16T08:15:49","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=315"},"modified":"2026-10-17T17:44:16","modified_gmt":"2026-10-17T15:44:16","slug":"alg-subespacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=315","title":{"rendered":"ALG: Subespacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>Recordemos que un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial que satisface por s\u00ed mismo la definici\u00f3n de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Sea \\(V\\) un espacio vectorial sobre \\(\\mathbb{K}\\), y \\(U\\subset V\\) no vac\u00edo; \\(U\\) es un subespacio vectorial de \\(V\\) si:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u} \\in U\\), \\(\\mathbf {v}+\\mathbf {u} \\in U\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {u}\\in U\\), \\(\\forall a\\in \\mathbb{K}\\), \\(a\\mathbf {u}\\in U\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p>Un resultado pr\u00e1ctico que nos ayudar\u00e1 a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nSi \\(V\\) es un \\(\\mathbb{K}\\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vac\u00edo \\(S\\) de \\(V\\) es un subespacio vectorial si y solo si para cualesquiera dos vectores \\(\\vec{v}, \\vec{w}\\in S\\) y cualesquiera escalares \\(\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{K}\\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \\(\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{w}\\in S\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<h2>Bases de subespacios<\/h2>\n<p>Igual en que los espacios vectoriales finitamente generados exist\u00edan conjuntos de vectores que formaban una base del espacio, los subespacios se pueden definir mediante la base del subespacio. <\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(T=\\left\\{\\begin{bmatrix}c+3d&#038;2c+d\\\\ d&#038;2c-d\\end{bmatrix};a,b\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\), determinar una base del subespacio vectorial \\(T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1ct() {\n  var htmlShow1ct = document.getElementById(\"html-show1ct\");\n  if (htmlShow1ct.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1ct.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1ct.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1ct()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1ct\" style=\"display: none;\">\nObservemos que \\[\\begin{bmatrix}c+3d&#038;2c+d\\\\ d&#038;2c-d\\end{bmatrix}= c\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\0&#038;2\\end{bmatrix}+d\\begin{bmatrix}3&#038;1\\\\1&#038;-1\\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nLuego \\(\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\0&#038;2\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}3&#038;1\\\\1&#038;-1\\end{bmatrix}\\right\\}\\) es un sistema generador de \\(T\\). Solo necesitamos ver si los vectores son l.i.<\/p>\n<p>\\[\\begin{bmatrix}1&#038;2 &#038;0&#038;2\\\\ 3&#038;1&#038;1&#038;-1\\end{bmatrix}\\underset{\\sim }{f_2-3f_1}\\begin{bmatrix}1&#038;2 &#038;0&#038;2\\\\ 0&#038;-5 &#038;1&#038;-7\\end{bmatrix}\\]<br \/>\nLuego \\[\\textbf{rank}\\begin{bmatrix}1&#038;2 &#038;0&#038;2\\\\ 3&#038;1&#038;1&#038;-1\\end{bmatrix}=2\\] y son l.i.\n<\/p><\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\{p\\in\\mathbb{R}_4[X];p(-X)=p(X)\\}\\), determinar una base de este subespacio vectorial.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1ct2() {\n  var htmlShow1ct2 = document.getElementById(\"html-show1ct2\");\n  if (htmlShow1ct2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1ct2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1ct2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1ct2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1ct2\" style=\"display: none;\">\n<strong>Paso 1: Expresar un polinomio gen\u00e9rico.<\/strong> Un polinomio cualquiera de $\\mathbb{R}_4[X]$ se escribe<br \/>\n\\[<br \/>\np(X)=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4,\\qquad a,b,c,d,e\\in\\mathbb{R}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 2: Calcular $p(-X)$.<\/strong><br \/>\n\\[<br \/>\np(-X)=a-bX+cX^2-dX^3+eX^4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 3: Imponer la condici\u00f3n $p(-X)=p(X)$.<\/strong> Igualamos coeficientes de ambos polinomios:<br \/>\n\\[<br \/>\na+bX+cX^2+dX^3+eX^4=a-bX+cX^2-dX^3+eX^4 .<br \/>\n\\]<br \/>\nComparando t\u00e9rmino a t\u00e9rmino:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\nb=-b\\\\<br \/>\nd=-d<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\;\\Longrightarrow\\;<br \/>\n\\begin{cases}<br \/>\n2b=0\\\\<br \/>\n2d=0<br \/>\n\\end{cases}<br \/>\n\\;\\Longrightarrow\\; b=0,\\quad d=0 .<br \/>\n\\]<br \/>\nLos coeficientes $a$, $c$ y $e$ no quedan restringidos (las igualdades $a=a$, $c=c$, $e=e$ se cumplen siempre).<\/p>\n<p><strong>Paso 4: Describir el subespacio con par\u00e1metros.<\/strong><br \/>\n\\[<br \/>\nS=\\{a+cX^2+eX^4;\\ a,c,e\\in\\mathbb{R}\\}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 5: Obtener un sistema generador.<\/strong> Sacando factor com\u00fan a cada par\u00e1metro:<br \/>\n\\[<br \/>\na+cX^2+eX^4=a\\cdot 1+c\\cdot X^2+e\\cdot X^4 ,<br \/>\n\\]<br \/>\nluego<br \/>\n\\[<br \/>\nS=\\langle 1,\\ X^2,\\ X^4\\rangle .<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 6: comprobar la independencia lineal.<\/strong> Sean $\\alpha,\\beta,\\gamma\\in\\mathbb{R}$ tales que<br \/>\n\\[<br \/>\n\\alpha\\cdot 1+\\beta X^2+\\gamma X^4=0 .<br \/>\n\\]<br \/>\nUn polinomio es nulo si y solo si todos sus coeficientes son nulos, as\u00ed que $\\alpha=\\beta=\\gamma=0$. Por tanto $\\{1,X^2,X^4\\}$ es linealmente independiente.<\/p>\n<p><strong>Conclusi\u00f3n.<\/strong> Como $\\{1,X^2,X^4\\}$ es sistema generador de $S$ y es linealmente independiente, es una base de $S$:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\boxed{\\mathcal{B}=\\{1,\\ X^2,\\ X^4\\}},\\qquad \\dim S=3 .<br \/>\n\\]\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\{p\\in\\mathbb{R}_4[X];p(2)=0\\}\\), determinar una base de este subespacio vectorial.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1ct23() {\n  var htmlShow1ct23 = document.getElementById(\"html-show1ct23\");\n  if (htmlShow1ct23.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1ct23.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1ct23.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1ct23()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1ct23\" style=\"display: none;\">\n<strong>Paso 1: Expresar un polinomio gen\u00e9rico.<\/strong> Un polinomio cualquiera de $\\mathbb{R}_4[X]$ se escribe<br \/>\n\\[<br \/>\np(X)=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4,\\qquad a,b,c,d,e\\in\\mathbb{R}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 2: imponer la condici\u00f3n $p(2)=0$.<\/strong><br \/>\n\\[<br \/>\np(2)=a+2b+4c+8d+16e=0 .<br \/>\n\\]<br \/>\nEs una \u00fanica ecuaci\u00f3n lineal, por lo que despejamos $a$:<br \/>\n\\[<br \/>\na=-2b-4c-8d-16e .<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 3: Describir el subespacio con par\u00e1metros.<\/strong> Sustituyendo en $p(X)$:<br \/>\n\\[<br \/>\np(X)=(-2b-4c-8d-16e)+bX+cX^2+dX^3+eX^4,<br \/>\n\\]<br \/>\ncon $b,c,d,e\\in\\mathbb{R}$ libres.<\/p>\n<p><strong>Paso 4: Obtener un sistema generador.<\/strong> Sacando factor com\u00fan a cada par\u00e1metro:<br \/>\n\\[<br \/>\np(X)=b\\,(X-2)+c\\,(X^2-4)+d\\,(X^3-8)+e\\,(X^4-16).<br \/>\n\\]<br \/>\nLuego<br \/>\n\\[<br \/>\nS=\\langle X-2,\\ X^2-4,\\ X^3-8,\\ X^4-16\\rangle .<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Paso 5: Comprobar la independencia lineal.<\/strong> Esta vez lo haremos con el rango de la matriz de coordenadas:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\textbf{rank}\\begin{bmatrix}-2&#038;1 &#038;0&#038;0&#038;0 \\\\ -4&#038;0&#038;1&#038;0&#038;0\\\\ -8&#038;0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n-16&#038;0&#038;0&#038;0&#038;1\\end{bmatrix}=4<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto, el sistema generador es linealmente independiente.<\/p>\n<p><strong>Conclusi\u00f3n.<\/strong> Como $\\{X-2,\\ X^2-4,\\ X^3-8,\\ X^4-16\\}$ es sistema generador de $S$ y es linealmente independiente, es una base de $S$:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\boxed{\\mathcal{B}=\\{X-2,\\ X^2-4,\\ X^3-8,\\ X^4-16\\}},\\qquad \\dim S=4 .<br \/>\n\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<h2>Operaciones con subespacios<\/h2>\n<p>Sea \\({\\displaystyle (V,+,\\mathbb{K},*)}\\) un espacio vectorial; \\({\\displaystyle (S,+,\\mathbb{K},*)}\\) y \\({\\displaystyle (W,+,\\mathbb{K},*)}\\) subespacios vectoriales de \\({\\displaystyle V}\\). Se definen las siguientes operaciones:<\/p>\n<h3>\\(\\bullet\\)<strong>Uni\u00f3n<\/strong><\/h3>\n<p>\\[{\\displaystyle S\\cup W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} \\in S\\ {\\text{o}}\\ \\mathbf {v} \\in W\\right\\}}\\]<br \/>\nEn general, la uni\u00f3n de subespacios no es un subespacio; solo lo ser\u00e1 si uno est\u00e1 contenido en el otro (\\(S\\subseteq W\\) \u00f3 \\(W\\subseteq S\\)).<\/p>\n<h3>\\(\\bullet\\)<strong>Intersecci\u00f3n<\/strong><\/h3>\n<p>\\[{\\displaystyle S\\cap W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} \\in S\\ {\\text{y}}\\ \\mathbf {v} \\in W\\right\\}}\\]<br \/>\nLa intersecci\u00f3n de dos subespacios es un subespacio.<\/p>\n<h3>\\(\\bullet\\)<strong>Suma<\/strong><\/h3>\n<p>\\[{\\displaystyle S+W=\\left\\{\\mathbf {v} \\in V| \\mathbf {v} =(\\mathbf {u_{1}} +\\mathbf {u_{2}} )\\wedge \\mathbf {u_{1}} \\in S\\wedge \\mathbf {u_{2}} \\in W\\right\\}}\\]<br \/>\nLa suma de dos subespacios es un subespacio de \\(V\\).<\/p>\n<h3>\\(\\bullet\\)<strong>Suma directa<\/strong><\/h3>\n<p>Si la intersecci\u00f3n entre \\(S\\) y \\(W\\) es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama \u00absuma directa\u00bb. Es decir que si<br \/>\n\\[{\\displaystyle S\\cap W=\\left\\{{\\vec {0}}\\right\\}\\Rightarrow S\\oplus W}\\]<br \/>\nEsto significa que todo vector de \\(S+W\\), se escribe de manera \u00fanica como la suma de un vector de \\(S\\) y otro de \\(W\\).<\/p>\n<h3>\\(\\bullet\\)<strong>Subespacios suplementarios<\/strong><\/h3>\n<p>Se dice que los subespacios \\(S\\) y \\(W\\) son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial \\(V\\):<br \/>\n\\[{\\displaystyle S\\oplus W=\\;V\\;\\leftrightarrow \\;{\\begin{cases}S+W=\\;V\\\\S\\cap W=\\left\\lbrace {\\overset {\\rightarrow }{0}}\\right\\rbrace \\end{cases}}}\\]<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&#038;2b\\\\a-b&#038;a+b\\end{bmatrix};a,b\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\) y \\(T=\\left\\{\\begin{bmatrix}c+3d&#038;2c+d\\\\ d&#038;2c-d\\end{bmatrix};c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\), determinar una base del subespacio vectorial \\(S+T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c() {\n  var htmlShow1c = document.getElementById(\"html-show1c\");\n  if (htmlShow1c.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c\" style=\"display: none;\">\nPor ejercicios anteriores sabemos un sistema generador de \\(S\\) y de \\(T\\). Luego<br \/>\n\\[S+T=\\mathbf{Gen}\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\1&#038;1\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;2\\\\-1&#038;1\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\0&#038;2\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}3&#038;1\\\\1&#038;-1\\end{bmatrix}\\right\\}\\] Ahora solo necesitamos quitar los vectores l.d.\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Dado el ejercicio anterior, deducir qui\u00e9n es \\(S\\cap T\\)\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1d() {\n  var htmlShow1d = document.getElementById(\"html-show1d\");\n  if (htmlShow1d.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1d.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1d.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1d()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1d\" style=\"display: none;\">\nEn este caso es sencillo, pues hemos visto en el ejemplo anterior que el vector \\(\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\0&#038;2\\end{bmatrix}\\in S\\). Asi,<br \/>\n\\[S\\cap T=\\mathbf{Gen}\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\0&#038;2\\end{bmatrix}\\right\\}\\]\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\mathbf{Gen}\\left\\{(1,1,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\\right\\}\\), y \\(T=\\mathbf{Gen}\\left\\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\\right\\}\\) determinar una base del subespacio vectorial \\(S+T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a2() {\n  var htmlShow2a2 = document.getElementById(\"html-show2a2\");\n  if (htmlShow2a2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a2\" style=\"display: none;\">\n<h3>1. Construcci\u00f3n de la matriz y escalonamiento<\/h3>\n<p>Colocamos los vectores de las dos bases como filas de una matriz:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nA=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1&#038;1&#038;0&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n1&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;1&#038;0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Aplicamos operaciones elementales por filas para obtener una matriz escalonada.<\/p>\n<h4>Paso 1<\/h4>\n<p>Eliminamos el primer elemento de la cuarta fila:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_4\\leftarrow F_4-F_1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1&#038;1&#038;0&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;-1&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;1&#038;0<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h4>Paso 2<\/h4>\n<p>Eliminamos los elementos de la segunda columna situados debajo del pivote:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nF_4&#038;\\leftarrow F_4+F_2,\\\\<br \/>\nF_5&#038;\\leftarrow F_5-F_2.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1&#038;1&#038;0&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;-1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h4>Paso 3<\/h4>\n<p>Eliminamos los elementos situados debajo del pivote de la tercera columna:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nF_4&#038;\\leftarrow F_4-F_3,\\\\<br \/>\nF_5&#038;\\leftarrow F_5-F_3.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1&#038;1&#038;0&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;-1<br \/>\n\\end{pmatrix}.<br \/>\n\\]<\/p>\n<h4>Paso 4<\/h4>\n<p>Anulamos la \u00faltima fila:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_5\\leftarrow F_5+F_4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Obtenemos la matriz escalonada:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\nE=<br \/>\n\\begin{pmatrix}<br \/>\n1&#038;1&#038;0&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;1&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;1&#038;0\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;1\\\\<br \/>\n0&#038;0&#038;0&#038;0<br \/>\n\\end{pmatrix}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<h3>2. C\u00e1lculo de una base de la suma<\/h3>\n<p>Las operaciones elementales por filas conservan el espacio generado por los vectores fila de la matriz.<\/p>\n<p>Por tanto, las filas no nulas de la matriz escalonada constituyen una base de \\(S+T\\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\nB_{S+T}=<br \/>\n\\left\\{<br \/>\n(1,1,0,0),<br \/>\n(0,1,0,1),<br \/>\n(0,0,1,0),<br \/>\n(0,0,0,1)<br \/>\n\\right\\}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Como tenemos cuatro vectores linealmente independientes de \\(\\mathbb{R}^4\\), concluimos que:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{\\dim(S+T)=4}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Y, en consecuencia:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{S+T=\\mathbb{R}^4}<br \/>\n\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\mathbf{Gen}\\left\\{(1,1,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\\right\\}\\), y \\(T=\\mathbf{Gen}\\left\\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\\right\\}\\) determinar una base del subespacio vectorial \\(S\\cap T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a2b() {\n  var htmlShow2a2b = document.getElementById(\"html-show2a2b\");\n  if (htmlShow2a2b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a2b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a2b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a2b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a2b\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>Observaci\u00f3n:<\/strong> en el proceso de escalonamiento del ejercicio anterior ha aparecido exactamente una fila nula. Esto coincide con la dimensi\u00f3n de la intersecci\u00f3n, ya que partimos de bases de los dos subespacios.<\/p>\n<p>Sin embargo, la fila nula no constituye un vector de la base de la intersecci\u00f3n. Podemos ver que ning\u00fan vector de la base de S puede ponerse como combinaci\u00f3n lineal de la base T, y viceversa. Para obtenerlo, debemos estudiar la relaci\u00f3n de dependencia lineal que ha producido dicha fila nula.<\/p>\n<h3>C\u00e1lculo de una base de la intersecci\u00f3n<\/h3>\n<p>Para simplificar la notaci\u00f3n, denotamos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\ns_1&#038;=(1,1,0,0),\\\\<br \/>\ns_2&#038;=(0,1,0,1),\\\\<br \/>\ns_3&#038;=(0,0,1,0),\\\\<br \/>\nt_1&#038;=(1,0,1,0),\\\\<br \/>\nt_2&#038;=(0,1,1,0).<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Vamos a reconstruir las operaciones elementales que han provocado que la \u00faltima fila se anule.<\/p>\n<p>Recordemos que las filas originales representan los vectores:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_1=s_1,\\quad<br \/>\nF_2=s_2,\\quad<br \/>\nF_3=s_3,\\quad<br \/>\nF_4=t_1,\\quad<br \/>\nF_5=t_2.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Durante el escalonamiento, la cuarta fila se ha transformado mediante las operaciones:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nF_4&#038;\\leftarrow F_4-F_1,\\\\<br \/>\nF_4&#038;\\leftarrow F_4+F_2,\\\\<br \/>\nF_4&#038;\\leftarrow F_4-F_3.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto, antes de la \u00faltima operaci\u00f3n, la cuarta fila representa:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_4=t_1-s_1+s_2-s_3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por otra parte, sobre la quinta fila hemos aplicado:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nF_5&#038;\\leftarrow F_5-F_2,\\\\<br \/>\nF_5&#038;\\leftarrow F_5-F_3.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_5=t_2-s_2-s_3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Finalmente, la operaci\u00f3n que produce la fila nula es:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nF_5\\leftarrow F_5+F_4.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Esto significa que:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0=(t_2-s_2-s_3)+(t_1-s_1+s_2-s_3).<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Agrupando y simplificando:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0=t_1+t_2-s_1-2s_3.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{t_1+t_2=s_1+2s_3}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Esta igualdad expresa un mismo vector como combinaci\u00f3n lineal de los vectores de la base de \\(S\\) y de los vectores de la base de \\(T\\).<\/p>\n<p>Calculamos ese vector utilizando la base de \\(T\\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nv&#038;=t_1+t_2\\\\<br \/>\n&#038;=(1,0,1,0)+(0,1,1,0)\\\\<br \/>\n&#038;=(1,1,2,0).<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Comprobamos que tambi\u00e9n pertenece a \\(S\\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\nv&#038;=s_1+2s_3\\\\<br \/>\n&#038;=(1,1,0,0)+2(0,0,1,0)\\\\<br \/>\n&#038;=(1,1,2,0).<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por consiguiente:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nv\\in S<br \/>\n\\quad\\text{y}\\quad<br \/>\nv\\in T.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>As\u00ed pues, \\(v\\in S\\cap T\\).<\/p>\n<p>Como \\(v\\neq 0\\) y sabemos que la intersecci\u00f3n tiene dimensi\u00f3n uno, concluimos que:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\nB_{S\\cap T}=\\{(1,1,2,0)\\}<br \/>\n}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{(x,y,z,t)\\in\\mathbb{R}^4;\\ x-y+t=0\\right\\}\\), y \\(T=\\mathbf{Gen}\\left\\{(1,0,-1,0),(0,1,1,0)\\right\\}\\) determinar una base de los subespacios vectoriales \\(S+T\\) y \\(S\\cap T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a21() {\n  var htmlShow2a21 = document.getElementById(\"html-show2a21\");\n  if (htmlShow2a21.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a21.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a21.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a21()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a21\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Suma de Subespacios Ejemplo 1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Kgo0bWhWdx4?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<strong>Observar<\/strong> que, en este caso, no necesitamos realizar el proceso del ejercicio anterior para determinar la intersecci\u00f3n de ambos subespacios, ya que en el proceso de escalonado la columna 1 la hemos transformado en ceros con las columnas 4 y 5 que conforman la base de \\(T\\).\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&#038;a\\\\ b&#038;c\\end{bmatrix}\\in\\mathbb{C}\\right\\}\\), y \\(T=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&#038;-a\\\\ b&#038; 0\\end{bmatrix}\\in\\mathbb{C}\\right\\}\\) determinar una base de los subespacios vectoriales \\(S+T\\) y \\(S\\cap T\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a211() {\n  var htmlShow2a211 = document.getElementById(\"html-show2a211\");\n  if (htmlShow2a211.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a211.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a211.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a211()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a211\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Suma de Subespacios Vectoriales. Ej. 3 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/oa1mXyDYEdw?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr>\n<h2>F\u00f3rmula de Grassmann<\/h2>\n<p>Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean \\(S\\) y \\(W\\) dos conjuntos que determinan subespacios. La f\u00f3rmula de Grassmann relaciona las dimensiones de \\(S\\) y \\(W\\) de la siguiente manera<\/p>\n<p>\\[\\mathbf{dim}(S)\\, +\\, \\mathbf{dim}(W)=\\mathbf{dim}(S+W)\\,+\\, \\mathbf{dim}(S\\cap W).\\]<\/p>\n<h2>Conclusiones<\/h2>\n<p>Los ejemplos que hemos visto nos proporcionan un procedimiento por el que nos permite obtener informaci\u00f3n sobre la suma y la intersecci\u00f3n de dos subespacios vectoriales a partir del escalonamiento de una \u00fanica matriz.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Las filas no nulas<\/strong> de la matriz escalonada constituyen una base de la suma.<\/li>\n<li><strong>El n\u00famero de filas no nulas<\/strong> determina la dimensi\u00f3n de la suma.<\/li>\n<li><strong>El n\u00famero de filas nulas<\/strong> coincide con la dimensi\u00f3n de la intersecci\u00f3n, siempre que la matriz inicial est\u00e9 formada por las bases de los subespacios.<\/li>\n<li><strong>Las relaciones de dependencia lineal<\/strong> que originan las filas nulas permiten construir una base de la intersecci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n<p>En general, para dos subespacios \\(S,T\\) con bases de \\(r\\) y \\(s\\) vectores, respectivamente, si la matriz formada por todos ellos tiene rango \\(k\\), se cumple:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\n\\dim(S+T)&#038;=k,\\\\<br \/>\n\\dim(S\\cap T)&#038;=r+s-k.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<hr>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>\u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong>  Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a+2 c-b &#038; a-b+c\\\\<br \/>\nb-a+3 c &#038; a+b-c\\end{bmatrix}|\\ a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\). \u00bfCu\u00e1l de las siguientes matrices pertenece a \\(S\\)?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>\\(\\begin{bmatrix}7 &#038; 6\\\\ -2 &#038; 0\\end{bmatrix}\\)<\/li>\n<li>\\(\\begin{bmatrix}-7 &#038; 6\\\\ 2 &#038; 0\\end{bmatrix}\\)<\/li>\n<li>\\(\\begin{bmatrix}7 &#038; 6\\\\ 0 &#038; 2\\end{bmatrix}\\)<\/li>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv('html-show-1')\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p><div id=\"html-show-1\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<p><strong>A.)<\/strong><\/p>\n<p><\/div><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Recordemos que un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial que satisface por s\u00ed mismo la definici\u00f3n de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original&#8230;.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-315","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/315","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=315"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/315\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":333,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/315\/revisions\/333"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=315"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=315"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=315"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}