{"id":260,"date":"2025-10-15T08:12:05","date_gmt":"2025-10-15T06:12:05","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=260"},"modified":"2025-10-13T20:01:58","modified_gmt":"2025-10-13T18:01:58","slug":"alg-espacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=260","title":{"rendered":"ALG: Espacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de<a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Espacio_vectorial\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> Espacio Vectorial<\/a> sobre un cuerpo.<\/p>\n<p>Un espacio vectorial,  \\(V\\), sobre un cuerpo \\(\\mathbb{K}\\), ser\u00e1 una terna, \\((V,+,\\cdot)\\), que verifica:<\/p>\n<ol>\n<li>\\((V,+)\\) es un grupo conmutativo:<\/li>\n<ol>\n<li>\\(+\\) es asociativa:\\(\\forall a,b,c\\in V;\\ (a+b)+c=a+(b+c)\\)<\/li>\n<li>Exite \\(e\\in V\\), tal que para todo \\(a\\in V\\), es \\(e+ a=a+ e=a\\)<\/li>\n<li>Para todo \\(a\\in V\\), existe \\(b\\in V\\) tal que  \\(b+a=a+ b=e\\)<\/li>\n<\/ol>\n<li>Existe una aplicaci\u00f3n, \\(\\cdot\\,:\\mathbb{K}\\times V\\to V\\),(denominada producto por escalar) que cumple<\/li>\n<ol>\n<li>\\( a\\cdot (b\\cdot \\mathbf {v} )=(ab)\\cdot \\mathbf {v} \\quad \\forall a,b\\in \\mathbb{K}\\;\\forall \\mathbf {v} \\in V\\)<\/li>\n<li>Si 1 es el elemento neutro para la multiplicaci\u00f3n en \\(\\mathbb{K}\\), entonces, \\(1\\cdot \\mathbf {v} =\\mathbf {v} \\quad \\forall \\mathbf {v} \\in V\\)<\/li>\n<li>\\(a\\cdot (\\mathbf {v} +\\mathbf {w} )=(a\\cdot \\mathbf {v} )+(a\\cdot \\mathbf {w} )\\quad \\forall a\\in \\mathbb{K}\\;\\forall \\mathbf {v} ,\\mathbf {w} \\in V\\)<\/li>\n<li>\\((a+b)\\cdot \\mathbf {v} =(a\\cdot \\mathbf {v} )+(b\\cdot \\mathbf {v} )\\quad \\forall a,b\\in \\mathbb{K}\\;\\forall \\mathbf {v} \\in V\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/ol>\n<p>Como ejemplo de los espacios vectoriales con los que trabajaremos ser\u00e1n los  \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial(\\(\\mathbb{R}\\)-e.v.):<\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathbb{R}^n\\), el espacio vectorial de los vectores de \\(n\\) componentes.<\/li>\n<li>\\(\\mathcal{M}_{n\\times m}(\\mathbb{R})\\), el espacio vectorial de las matrices reales de orden \\(n\\times m\\).<\/li>\n<li>\\(\\mathbb{R}[X]\\), el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y variable \\(X\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Nos manejaremos con m\u00e1s asiduidad con los subespacios vectoriales.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Sea \\(V\\) un espacio vectorial sobre \\(\\mathbb{K}\\), y \\(U\\subset V\\) no vac\u00edo, \\(U\\) es un subespacio vectorial de \\(V\\) si:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u} \\in U\\), \\(\\mathbf {v}+\\mathbf {u} \\in U\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {u}\\in U\\), \\(\\forall a\\in \\mathbb{K}\\), \\(a\\mathbf {u}\\in U\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p>Como ejemplo de subespacios vectoriales con los que trabajaremos ser\u00e1n los \\(\\mathbb{R}\\)-sube.v.:<\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R})\\), el subespacio vectorial de las matrices reales cuadradas de orden \\(n\\).<\/li>\n<li>\\(\\mathbb{R}_n[X]\\), el subespacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y variable \\(X\\) de grado menor o igual a \\(n\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Tambi\u00e9n haremos hincapi\u00e9 en:<\/p>\n<ul>\n<li>Sistema generador<\/li>\n<li>Combinaci\u00f3n lineal<\/li>\n<li>Dependencia lineal<\/li>\n<li>Base<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Subespacio generador<\/h2>\n<p>El conjunto \\[\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}=\\{\\lambda_1\\vec{v}_1+\\ldots+\\lambda_n \\vec{v}_n;\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n\\in\\mathbb{K}\\},\\] lo denominamos <strong>sistema generador<\/strong> y es un subespacio vectorial.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\) el conjunto de las matrices de orden 2, determinar un sistema generador.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1c45() {\n  var htmlShow1c45 = document.getElementById(\"html-show1c45\");\n  if (htmlShow1c45.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1c45.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1c45.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1c45()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1c45\" style=\"display: none;\">\n<p>Si \\(A\\in \\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\), entonces \\[A=\\begin{bmatrix}a&#038;b\\\\ c&#038;d\\end{bmatrix}=a\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix}+b\\begin{bmatrix}0&#038;1\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix}+c\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 1&#038;0\\end{bmatrix}+d\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 0&#038;1\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n<p>Por tanto, \\[\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;1\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 1&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 0&#038;1\\end{bmatrix}\\right\\}\\] constituye un sistema generador de \\(\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\); es decir,\\[\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})=\\mbox{Gen}\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;1\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 1&#038;0\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 0&#038;1\\end{bmatrix}\\right\\}\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&#038;2b\\\\a-b&#038;a+b\\end{bmatrix};a,b\\in\\mathbb{R}\\right\\}\\), determinar un sistema generador.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a34() {\n  var htmlShow1a34 = document.getElementById(\"html-show1a34\");\n  if (htmlShow1a34.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a34.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a34.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a34()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a34\" style=\"display: none;\">\n\\[\\begin{bmatrix}a&#038;2b\\\\a-b&#038;a+b\\end{bmatrix}=a\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\1&#038;1\\end{bmatrix}+b\\begin{bmatrix}0&#038;2\\\\-1&#038;1\\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nLuego \\(\\left\\{\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\1&#038;1\\end{bmatrix},\\begin{bmatrix}0&#038;2\\\\-1&#038;1\\end{bmatrix}\\right\\}\\) es un sistema generador.\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(S=\\left\\{\\begin{bmatrix}a&#038;b\\\\c&#038;d\\end{bmatrix}\\in\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R});a=b,\\ c=d\\right\\}\\), determinar un sistema generador.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a34() {\n  var htmlShow2a34 = document.getElementById(\"html-show2a34\");\n  if (htmlShow2a34.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a34.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a34.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a34()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a34\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Subespacio Vectorial. Ej. 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vLQQ1pIFkRQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr>\n<h2>Combinaci\u00f3n lineal<\/h2>\n<p>Nos planteamos si un vector cualesquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjunto de vectores del sistema. <\/p>\n<p>Cualquier vector perteneciente a un sistema generador,\\(\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>\\) decimos que es <strong>combinaci\u00f3n lineal<\/strong> de los vectores del sistema. En general, un vector \\(\\vec{v}\\) decimos que es combinaci\u00f3n lineal de un conjunto de vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\), si \\[\\vec{v}\\in \\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}\\]<\/p>\n<p>Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V\\), decimos que es <strong>libre<\/strong> si ning\u00fan vector es combinaci\u00f3n vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los \u00fanicos escalares, \\(k_1,k_2,&#8230;,k_n\\in\\mathbb{K}\\), tales que justifican,<br \/>\n\\[k_1\\vec{v}_1+\\cdots +k_n \\vec{v}_n=\\vec{0},\\]<br \/>\nson \\(k_1=k_2=\\ldots=k_n=0\\).<\/p>\n<p>Indistintamente decimos sistema libre o vectores <strong>linealmente independientes<\/strong>. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos <strong>linealmente dependiente<\/strong>(l.i.); es decir, alg\u00fan vector es combinaci\u00f3n lineal de los otros.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar si las matrices \\(\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\-2&#038;1\\end{bmatrix}\\), \\(\\begin{bmatrix}0&#038;-3\\\\ 1&#038;1\\end{bmatrix}\\) y \\(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ -1&#038;2\\end{bmatrix}\\), son l.i.\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2a3g4() {\n  var htmlShow2a3g4 = document.getElementById(\"html-show2a3g4\");\n  if (htmlShow2a3g4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2a3g4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2a3g4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2a3g4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2a3g4\" style=\"display: none;\">\nLas tres matrices son l.i. si para que se verifique \\[\\lambda_1\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\-2&#038;1\\end{bmatrix}+\\lambda_2\\begin{bmatrix}0&#038;-3\\\\ 1&#038;1\\end{bmatrix}+\\lambda_3\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ -1&#038;2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\ 0&#038;0\\end{bmatrix},\\] es indispensable que \\(\\lambda_1=\\lambda_2=\\lambda_3=0\\).<\/p>\n<p>Veamoslo: \\[\\lambda_1\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\-2&#038;1\\end{bmatrix}+\\lambda_2\\begin{bmatrix}0&#038;-3\\\\ 1&#038;1\\end{bmatrix}+\\lambda_3\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ -1&#038;2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}<br \/>\n\\lambda_1+\\lambda_3&#038;2\\lambda_1-3\\lambda_2\\\\<br \/>\n-2\\lambda_1+\\lambda_2-\\lambda_3&#038;\\lambda_1+\\lambda_2+2\\lambda_3\\end{bmatrix}\\]<br \/>\nY por tanto, se nos plantea el sistema<br \/>\n\\[\\left\\{\\begin{matrix}<br \/>\n\\lambda_1+\\lambda_3=0\\\\ 2\\lambda_1-3\\lambda_2=0\\\\ -2\\lambda_1+\\lambda_2-\\lambda_3=0\\\\ \\lambda_1+\\lambda_2+2\\lambda_3=0\\end{matrix}\\right.\\]<\/p>\n<p>Observemos que si  \\(\\lambda_1+\\lambda_3=0\\), entonce \\(\\lambda_1+\\lambda_2+2\\lambda_3=(\\lambda_1+\\lambda_3)+\\lambda_2+\\lambda_3=\\lambda_2+\\lambda_3=0\\). Luego \\(\\lambda_2=-\\lambda_3\\). <\/p>\n<p>De la segunda ecuaci\u00f3n, vemos \\(2\\lambda_1-3\\lambda_2=0\\), por tanto, \\(\\lambda_1=\\frac{3}{2}\\lambda_2\\). Ahora sustituimos con lo anterior<br \/>\n\\[\\begin{align*}\\lambda_1&#038;=\\frac{3}{2}\\lambda_2\\\\ &#038;=-\\frac{3}{2}\\lambda_3\\end{align*}\\]<\/p>\n<p>Pero de la primera ecuaci\u00f3n obtenemos que \\(\\lambda_3=-\\lambda_1\\), luego<br \/>\n\\[\\begin{align*}\\lambda_1&#038;=\\frac{3}{2}\\lambda_2\\\\ &#038;=-\\frac{3}{2}\\lambda_3\\\\ &#038;=\\frac{3}{2}\\lambda_1\\end{align*}\\]<br \/>\nComo vemos, esto solo puede ocurrir si \\(\\lambda_1=0\\), y, en consecuencia, \\(\\lambda_2=\\lambda_3=0\\).\n<\/p><\/div>\n<hr>\n<h2>Bases<\/h2>\n<p>Dentro de los espacio vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos, los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que adem\u00e1s son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos <strong>base de un espacio vectorial<\/strong>: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es<\/p>\n<ul>\n<li>sistema generador, y<\/li>\n<li>linealmente independiente<\/li>\n<\/ul>\n<p>Al n\u00famero de vectores de una base de denominamos <strong>dimensi\u00f3n del espacio vectorial<\/strong>. Recordemos que siempre estamos tratando con \\(\\mathbb{K}\\)-e.v finitamente generados.<\/p>\n<p>Uno de los principales resultados es que en todo \\(\\mathbb{K}\\)-e.v finitamente generados podemos encontrar una base. As\u00ed, pues, en un \\(\\mathbb{K}\\)-e.v finitamente generado de dimensi\u00f3n \\(n\\) un conjunto de \\(n\\) vectores linealmente independiente siempre son base. Adem\u00e1s la base no tiene por qu\u00e9 ser \u00fanica.<\/p>\n<p>Como ejemplo pondremos las bases can\u00f3nicas de los sube.v. con lo que trabajaremos.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathbb{R}_3[X]\\) el conjunto de los polinomios reales de grado 3 o menos, determinar una base de este espacio vectorial.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b() {\n  var htmlShow1b = document.getElementById(\"html-show1b\");\n  if (htmlShow1b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b\" style=\"display: none;\">\n<p>Si \\(p\\in \\mathbb{R}_3[X]\\) es de la forma \\(p=p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3\\), luego el conjunto \\(\\{1,X,X^2,X^3\\}\\subseteq \\mathbb{R}_3[X]\\) es un sistema generador. Adem\u00e1s es linealmente independiente. Por tanto, una base de \\(\\mathbb{R}_3[X]\\).<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<h2>Coordenadas de un vector<\/h2>\n<p>En adelante, trabajaremos con espacios vectoriales finitamente generados; es decir, tienen una base con un n\u00famero de vectores finito.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Si \\(B\\) es una base de \\(\\mathcal{V}\\) e.v.f.g. diremos \\(\\mathbf{dim}(\\mathcal{V})=|B|\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Como base, cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar como combinaci\u00f3n lineal de manera \u00fanica respecto de los vectores de la base.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Si \\(B=\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_n\\}\\) es una base de \\(\\mathcal{V}\\) e.v.f.g., para cualquier vector \\(\\vec{v}\\in\\mathcal{V}\\), \\(\\vec{v}\\) se puede poner como combinaci\u00f3n lineal de manera \u00fanica respecto de los vectores de \\[\\vec{v}=\\lambda_1\\vec{v}_1+\\lambda_2\\vec{v}_2+\\ldots+\\lambda_n\\vec{v}_n.\\] A los escalares \\(\\lambda_1,\\ \\lambda_2,\\ldots,\\ \\lambda_n\\) se les denomina coordenadas de \\(\\vec{v}\\) respecto de la base \\(B\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong> Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V\\), el n\u00famero de vectores linealmente independientes son el mismo que el rango de la matriz formada por las coordenadas de dichos vectores respecto de una base del espacio vectorial.<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sean \\(p(X)=1-X-X^2\\), \\( q(X)=3-2X+5X^3\\), \\( r(X)=X^2-3X^3\\in\\mathbb{R}_3[X]\\) determinar si \\(r(X)\\) es combinaci\u00f3n lineal de \\(p(X)\\) y \\(q(X)\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b34() {\n  var htmlShow1b34 = document.getElementById(\"html-show1b34\");\n  if (htmlShow1b34.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b34.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b34.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b34()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b34\" style=\"display: none;\">\n<p>Recordemos que antes viemos el conjunto \\(B=\\{1,X,X^2,X^3\\}\\subseteq \\mathbb{R}_3[X]\\) como una base de \\(\\mathbb{R}_3[X]\\). As\u00ed la matriz formada por las coordenadas de  \\(p(X),q(X),r(X)\\in\\mathbb{R}_3[X]\\) respecto de la base \\(B\\) ser\u00e1 \\[M=\\begin{bmatrix}1&#038;-1&#038;-1&#038;0\\\\ 3&#038; -2 &#038; 0&#038; 5 \\\\ 0&#038; 0&#038; 1 &#038;-3\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n<p>Escalonemos la matriz<\/p>\n<p>\\[\\begin{bmatrix}1&#038;-1&#038;-1&#038;0\\\\ 3&#038; -2 &#038; 0&#038; 5 \\\\ 0&#038; 0&#038; 1 &#038;-3\\end{bmatrix}\\overset{f_2-3f_1}{\\sim }\\begin{bmatrix}1&#038;-1&#038;-1&#038;0\\\\ 0&#038; 1 &#038; 3&#038; 5 \\\\ 0&#038; 0&#038; 1 &#038;-3\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n<p>Como \\(\\mathbf{rang}M=3\\), entonces los tres polinimios son l.i.<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote><p><strong>Corolario:<\/strong> Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V\\), y \\(M\\), la matriz que tiene por filas los vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\), y sea \\(E\\) la matriz escalonada mediante operaciuones elementales, \\(M\\sim E\\), entonces los vectores correspondientes a las filas no nulas de \\(E\\) son linealmente independientes, y las filas nulas de \\(E\\) se corresponden con los vectores linealmente dependientes.<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sean las matrices \\(\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\-2&#038;1\\end{bmatrix}\\), \\(\\begin{bmatrix}0&#038;-3\\\\ 1&#038;1\\end{bmatrix}\\) y \\(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ -1&#038;2\\end{bmatrix}\\). \u00bfCu\u00e1l de las siguientes matrices es combinaci\u00f3n lineal de ellas?<br \/>\n\\[A:\\begin{bmatrix}5&#038;-7\\\\ 8&#038;7\\end{bmatrix}\\ B:\\begin{bmatrix}5&#038;7\\\\ -8&#038;7\\end{bmatrix}\\ C:\\begin{bmatrix}5&#038;7\\\\ 8&#038;-7\\end{bmatrix}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1a() {\n  var htmlShow1a = document.getElementById(\"html-show1a\");\n  if (htmlShow1a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1a\" style=\"display: none;\">\n<p>Observemos que las coordenadas de cualquier matriz \\(\\begin{bmatrix}a&#038;b\\\\ c&#038;d\\end{bmatrix}\\), respecto de la base can\u00f3nica, las podemos poner como \\([a,b,c,d]\\). Luego, una matriz cualquiera, como la anterior, ser\u00e1 combinaci\u00f3n lineal de las matrices \\(\\begin{bmatrix}1&#038;2\\\\-2&#038;1\\end{bmatrix}\\), \\(\\begin{bmatrix}0&#038;-3\\\\ 1&#038;1\\end{bmatrix}\\) y \\(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\ -1&#038;2\\end{bmatrix}\\) si \\[\\mathbf{rank}\\begin{bmatrix}1&#038;2&#038;-2&#038;1\\\\ 0&#038;-3&#038;1&#038;1\\\\ 1&#038;0&#038;-1&#038;2\\\\ a&#038;b&#038;c&#038;d\\end{bmatrix}=3\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sean los vectores  \\(\\mathbb{R}_3[X]\\), \\(4+x-x^2+x^3\\), \\(-1+x-x^2+2x^3\\) y \\(x-x^3\\), \u00bfson linealmente independientes?\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2b() {\n  var htmlShow2b = document.getElementById(\"html-show2b\");\n  if (htmlShow2b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2b\" style=\"display: none;\">\n<p>Por lo que acabamos de ver, con los vectores \\(4+x-x^2+x^3\\), \\(-1+x-x^2+2x^3\\) y \\(x-x^3\\), podemos construir la matriz \\[\\begin{bmatrix}4&#038;1&#038;-1&#038;1\\\\ -1&#038;1&#038;-1&#038;2\\\\ 0&#038;1&#038;0&#038;-1\\end{bmatrix}.\\] Los vectores ser\u00e1n l.i. si el rango de la matriz es 3.<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>\u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l de las siguientes afirmaciones son falsas?(<strong>Nota<\/strong>, pueden haber varias) Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden dos, \\(\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\).<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>La aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\to\\mathbb{R}\\), dada por  \\(f(A)=|A|\\) es suprayectiva.<\/li>\n<li>Se puede establecer un homomorfimo de grupos entre \\(\\left(\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R}), +\\right)\\) y \\((\\mathbb{R}, +)\\), dado por \\(f\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22}\\end{bmatrix}=\\max\\{(|a_{11}|+|a_{21}|),(|a_{12}|+|a_{22}|)\\}\\)<\/li>\n<li>La aplicaci\u00f3n \\(f:\\left(\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R}),+\\right)\\to\\left(\\mathbb{R}^4,+\\right)\\), dada por  \\(f\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\a_{21}&#038;a_{22}\\end{bmatrix}=[a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}]\\) es un homomorfismo de grupos.\n<li>Existe una aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathbb{R}\\to\\mathcal{M}_2(\\mathbb{R})\\), biyectiva.<\/li>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>B.)<\/strong> y <strong>D.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-260","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/260","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=260"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/260\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":300,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/260\/revisions\/300"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=260"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=260"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=260"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}