{"id":254,"date":"2025-10-13T08:15:11","date_gmt":"2025-10-13T06:15:11","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=254"},"modified":"2025-10-17T19:20:16","modified_gmt":"2025-10-17T17:20:16","slug":"alg-conjuntos-y-aplicaciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=254","title":{"rendered":"ALG: Conjuntos y Aplicaciones"},"content":{"rendered":"<p>Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones, dando la definici\u00f3n de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como<\/p>\n<ul>\n<li>Conjuntos:\n<ul>\n<li>Subconjunto,<\/li>\n<li>Partes de un conjunto,<\/li>\n<li>Cardinalidad<\/li>\n<li>Uni\u00f3n e Intersecci\u00f3n de conjuntos<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Aplicaciones:\n<ul>\n<li>Relaci\u00f3n.<\/li>\n<li>Dominio. \u2063<\/li>\n<li>rango e imagen.<\/li>\n<li>Aplicaci\u00f3n inyectiva.<\/li>\n<li>Aplicaci\u00f3n suprayectiva.<\/li>\n<li>Aplicaci\u00f3n biyectiva.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Uno de los conjuntos que trabajaremos ser\u00e1 el producto cartesiano. Dados dos conjuntos \\(A\\) y \\(B{,}\\) llamaremos producto cartesiano de \\(A\\) por \\(B\\), y lo notaremos como \\(A\\times B,\\) a \\[A\\times B=\\{(a,b);\\ a\\in A,\\ b\\in B\\}.\\]<\/p>\n<p>El producto cartesiano de dos conjuntos nos permite definir una aplicaci\u00f3n entre ellos:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(f\\) es una aplicaci\u00f3n entre \\(A\\) y \\(B\\), entonces \\(f\\) es un subconjunto, \\(f\\subseteq A\\times B,\\) que verifica \\[\\forall a\\in A\\ \\exists^\\bullet\\ b\\in B;\\ (a,b)\\in f \\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A=\\{2,4,6,8\\}\\) y \\(B=\\{1,3,5,7,9\\}\\). \u00bfCu\u00e1l de los siguientes subconjuntos es una aplicaci\u00f3n?<\/p>\n<ul>\n<li>\\(f=\\{(1,2),(4,3),(6,7),(8,9)\\}\\)<\/li>\n<li>\\(g=\\{(2,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)\\}\\)<\/li>\n<li>\\(h=\\{(2,3),(8,1),(6,3),(4,1)\\}\\)<\/li>\n<li>\\(i=\\{(8,1),(6,3),(4,5)\\}\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv141() {\n  var htmlShow141 = document.getElementById(\"html-show141\");\n  if (htmlShow141.style.display === \"none\") {\n    htmlShow141.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow141.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv141()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show141\" style=\"display: none;\">\nLa respuesta es \\(h\\). \\(f\\) no es una aplicaci\u00f3n pues \\((1,2)\\not\\in A\\times B\\). \\(g\\) no es una aplicaci\u00f3n, pues  para el elemento 2 existen dos elementos de \\(B\\) que pertenecen a \\(g\\). \\(i\\) no es una aplicaci\u00f3n, pues para el elemento 2 no existe ning\u00fan elemento de \\(B\\) tal que dicho par ordenado pertenezca a \\(i\\).\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas<\/h2>\n<blockquote><p> Una aplicaci\u00f3n \\(f:X\\to Y\\) es <strong>inyectiva<\/strong> si cada elemento del rango es aplicado por a lo sumo un elemento del dominio. Es decir, \\[{\\displaystyle \\forall x,x&#8217;\\in X,f(x)=f(x&#8217;)\\Rightarrow x=x&#8217;.}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> La aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathbb{Z}\\to \\mathbb{R}\\), dada por \\(f(n)=e^n\\) es inyectiva.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4qy() {\n  var htmlShow4qy = document.getElementById(\"html-show4qy\");\n  if (htmlShow4qy.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4qy.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4qy.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4qy()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4qy\" style=\"display: none;\">\nEn efecto, si \\(f(n)=f(m)\\) ser\u00e1 \\(e^n=e^m\\) y aplicando logaritmos a ambos lados \\[\\ln e^n=\\ln e^m \\Rightarrow  n\\ln e=m\\ln e\\Rightarrow  n=m.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p> Una aplicaci\u00f3n \\(f:X\\to Y\\) es <strong>sobreyectiva<\/strong> si cada elemento del rango es aplicado por al menos un elemento del dominio. Es decir, \\[{\\displaystyle \\forall y\\in Y,\\exists x\\in X{\\text{ tal que }}y=f(x).}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> La aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathbb{R}\\to \\mathbb{Z}\\), dada por \\(f(x)=\\lfloor x \\rfloor\\) (parte entera), siendo<br \/>\n\\(\\lfloor x\\rfloor =\\max\\{k\\in \\mathbb {Z} \\mid k\\leq x\\}\\), es sobreyectiva.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4qy3() {\n  var htmlShow4qy3 = document.getElementById(\"html-show4qy3\");\n  if (htmlShow4qy3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4qy3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4qy3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4qy3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4qy3\" style=\"display: none;\">\nEn efecto, cualquier entero es la parte entera de s\u00ed mismo,  \\({\\displaystyle x\\in \\mathbb {Z} \\Leftrightarrow \\lfloor x\\rfloor =x}\\), y como \\(\\mathbb {Z}\\subset \\mathbb {R}\\), cada elemento del rango es aplicado por al menos un elemento del dominio.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n<\/strong> Una aplicaci\u00f3n \\(f:X\\to Y\\) es <strong>sobreyectiva<\/strong> si \\(\\mathbf{Im}f=Y\\).\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p> Una aplicaci\u00f3n \\(f:X\\to Y\\) es <strong>biyectiva<\/strong> si inyectiva y suprayectiva.\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> La aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathbb{Z}\\to \\mathbb{N}\\), dada por \\[f(n)=\\left\\{\\begin{matrix}<br \/>\n2n, &#038; n\\geq 0 \\\\<br \/>\n-(2n+1) &#038; n&lt; 0 \\\\<br \/>\n\\end{matrix}\\right.\\] es biyectiva.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4q() {\n  var htmlShow4q = document.getElementById(\"html-show4q\");\n  if (htmlShow4q.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4q.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4q.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4q()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4q\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Aplicaciones. Ejercicio 3 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/z8Ojz1j_hL8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> La aplicaci\u00f3n \\(f:\\mathcal{M}_ 2(\\mathbb{R})\\to \\mathbb{R}\\), dada por \\(f(A)=\\mathbf{det}(A)\\) , \u00bfes biyectiva?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4qy3q() {\n  var htmlShow4qy3q = document.getElementById(\"html-show4qy3q\");\n  if (htmlShow4qy3q.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4qy3q.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4qy3q.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4qy3q()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4qy3q\" style=\"display: none;\">\nPiensa un poco m\u00e1s.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>Estructuras algebraicas<\/h2>\n<p>Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar caracter\u00edsticas que puedan equiparar unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composici\u00f3n interna, u operaci\u00f3n interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:<\/p>\n<ul>\n<li>Relaciones de equivalencia\n<ul>\n<li>Llamamos relaci\u00f3n de equivalencia en un conjunto, \\(K\\), a una relaci\u00f3n \\(\\mathcal{R}\\) que cumplen los elementos del conjunto entre ellos y que verifican las siguientes propiedades:\n<ul>\n<li>Reflexividad: Todo elemento de \\(K\\) est\u00e1 relacionado consigo mismo. Es decir, \\[\\forall x\\in K \\; : \\quad x \\mathcal{R} x.\\]<\/li>\n<li>Simetr\u00eda: Si un elemento de \\(K\\) est\u00e1 relacionado con otro, entonces ese otro elemento tambi\u00e9n se relaciona con el primero. Es decir, \\[ \\forall x,y\\in K \\; : \\quad x \\mathcal{R} y \\; \\Rightarrow \\; y \\mathcal{R} x\\]<\/li>\n<li>Transitividad: Si un elemento de \\(K\\) est\u00e1 relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estar\u00e1 relacionado tambi\u00e9n con este \u00faltimo. Es decir,<br \/>\n\\[{\\displaystyle \\forall x,y,z\\in K\\;:\\quad x{\\mathcal {R}}y\\land y{\\mathcal {R}}z\\quad \\Rightarrow \\quad x{\\mathcal {R}}z}<br \/>\n\\forall x,y,z\\in K<br \/>\n\\; : x \\mathcal{R} y \\land y \\mathcal{R} z<br \/>\n\\, \\Rightarrow \\,<br \/>\nx \\mathcal{R} z.\\]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Por ejemplo, \u00abTener el mismo resto al dividir por 5\u00bb es una relaci\u00f3n de equivalencia entre los n\u00fameros enteros.<\/li>\n<li>Existe otra relaci\u00f3n interesante, pero que no es necesaria para una relaci\u00f3n de equivalencia; es la <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Relaci%C3%B3n_antisim%C3%A9trica\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">relaci\u00f3n antisim\u00e9trica<\/a> y se cumple cuando se da que si dos elementos de \\(K\\) se relacionan entre s\u00ed mediante \\(\\mathcal{R}\\), entonces estos elementos son iguales. Es decir,<br \/>\n\\[ \\forall a,b\\in K\\;:\\; aRb\\; \\land \\, bRa\\, \\Rightarrow \\, a=b\\]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Leyes de composici\u00f3n internas(operaci\u00f3n interna), elemento neutro, elemento sim\u00e9trico\n<ul>\n<li>Un ejemplo ser\u00eda el conjunto de los n\u00fameros reales con la operaci\u00f3n interna, *, dada por a*b=a+b-ab, pregunt\u00e1ndonos si es una ley de composici\u00f3n interna; si tiene elemento neutro, sim\u00e9trico,&#8230;<\/li>\n<li>Otros ejemplos pod\u00e9is verlos en <a href=\"http:\/\/youtu.be\/9-93J8Ox3ws\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ley de Composicion Interna<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Grupo<\/h3>\n<p>Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras b\u00e1sicas con las que trabajaremos: Grupo<\/p>\n<p>As\u00ed definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vac\u00edo dotado de una operaci\u00f3n interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y sim\u00e9trico. Es decir, \\(G\\) con la operaci\u00f3n interna \\(\\circ\\), \\((G,\\circ)\\), es un grupo s\u00ed<\/p>\n<ul>\n<li>\\(\\circ\\) es asociativa<\/li>\n<li>Exite \\(e\\in G\\), tal que para todo \\(a\\in G\\), es \\(e\\circ a=a\\circ e=a\\)<\/li>\n<li>Para todo \\(a\\in G\\), existe \\(b\\in G\\) tal que \\(b\\circ a=a\\circ b=e\\)<\/li>\n<\/ul>\n<p>Si existe un elemento \\(b\\in G\\), tal que \\(b\\circ a=a\\circ b=e\\), donde \\(e\\in G\\) es el elemento neutro de \\(G\\), se dice que \\(b\\) es el sim\u00e9trico de \\(a\\). En caso de que utilicemos la notaci\u00f3n aditiva, al sim\u00e9trico se le designa por opuesto y se escribe como \\(-a\\). Y si utilizamos la notaci\u00f3n multiplicativa, al sim\u00e9trico se le dice inverso y se escribe como \\(a^{-1}\\).<\/p>\n<p>Igual que hemos definido un grupo, podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong><em>Proposici\u00f3n:<\/em><\/strong> Sea \\(S\\subseteq G\\), donde \\((G,\\circ)\\) es un grupo, entonces \\((S,\\circ)\\) es un subgrupo de \\((G,\\circ)\\) sii \\(a,b\\in S\\Rightarrow a\\circ b^{-1}\\in S\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>La de grupo es la estructura m\u00e1s b\u00e1sica con la que trabajaremos, pero esta estructura se amplia a anillo y cuerpo.<\/p>\n<h4>Homomorfismo de grupos<\/h4>\n<blockquote>\n<p><strong><em>Definici\u00f3n:<\/em><\/strong> Dados dos grupos \\((G,\\circ)\\) y \\((H,\\ast)\\), en el que cada grupo est\u00e1 compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composici\u00f3n interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una funci\u00f3n que asigne a cada elemento \\(g\\) de \\(G\\) un elemento \\(h\\) de \\(H\\):\\[\\quad \\varphi : G \\longrightarrow H\\] <\/p>\n<p>Dicha funci\u00f3n es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos \\(a, b \\in G\\) \\[\\varphi(a \\circ b) =  \\varphi(a) \\ast \\varphi(b)\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> La aplicaci\u00f3n \\(f:(\\mathbb{Z},+)\\to(\\mathbb{R}^+,\\cdot)\\) dada por \\(f(n)=e^n\\) es un homomorfismo de grupos.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv4() {\n  var htmlShow4 = document.getElementById(\"html-show4\");\n  if (htmlShow4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show4\" style=\"display: none;\">\nEn efecto, dados \\(n,m\\in\\mathbb{Z}\\) \\[f(n+m)=e^{n+m}=e^{n}\\ e^{m}=f(n)\\cdot f(m)\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathcal{M}_n^*(\\mathbb{R})\\) el conjunto de las matrices regulares de orden \\(n\\). La aplicaci\u00f3n \\(\\phi:(\\mathcal{M}_n^*(\\mathbb{R}),.)\\to(\\mathbb{R}_0,\\cdot)\\) dada por \\(\\phi(A)=\\mathbf{det}(A)\\) es un homomorfismo de grupos.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv41e() {\n  var htmlShow41e = document.getElementById(\"html-show41e\");\n  if (htmlShow41e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow41e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow41e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv41e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show41e\" style=\"display: none;\">\nEn efecto, dadas \\(A,B\\in\\mathcal{M}_n^*(\\mathbb{R})\\) \\[\\phi(A.B)=\\mathbf{det}(A.B)=\\mathbf{det}(A)\\cdot \\mathbf{det}(B)=\\phi(A)\\cdot \\phi(B)\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathcal{M}_n(\\mathbb{R})\\) el conjunto de las matrices regulares de orden \\(n\\). La aplicaci\u00f3n \\(\\phi:(\\mathcal{M}_n(\\mathbb{R}),+)\\to(\\mathbb{R},+)\\) dada por \\(\\phi(A)=\\mathbf{tr}(A)\\) es un homomorfismo de grupos.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv41e8() {\n  var htmlShow41e8 = document.getElementById(\"html-show41e8\");\n  if (htmlShow41e8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow41e8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow41e8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv41e8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show41e8\" style=\"display: none;\">\nEn efecto, dadas \\(A,B\\in\\mathcal{M}_n(\\mathbb{R})\\) \\[\\phi(A+B)=\\mathbf{tr}(A+B)=\\mathbf{tr}(A)+\\mathbf{tr}(B)=\\phi(A)+\\phi(B)\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Anillo<\/h3>\n<p>Un anillo es una terna (A, +, \u2022), donde A es un conjunto no vac\u00edo y + y \u2022 son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y \u2022 es una operaci\u00f3n asociativa y distributiva bil\u00e1teral respecto de +. Suele denominarse \u00absuma\u00bb y \u00abproducto\u00bb a las operaciones + y \u2022, respectivamente. En esta convenci\u00f3n, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como \u2013a.<\/p>\n<p>El producto en un anillo no necesariamente tiene una operaci\u00f3n inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina \u00abanillo conmutativo\u00bb. Adem\u00e1s, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario, ya que, en este caso, se emplea el n\u00famero 1 para designar al elemento neutro del producto.<\/p>\n<p>Un ejemplo de anillo es el conjunto de las matrices de \\(n\\times m\\) con las operaciones entre matrices que conocemos. Este es un ejemplo de un anillo no conmutativo.<\/p>\n<p>Otro ejemplo de anillo es \\(\\mathbb{Z}[X]\\), que representa los polinomios de enteros sobre la variable \\(X\\), con las operaciones de suma y producto de polinomios que conocemos. Veremos que para cualquier cuerpo \\(\\mathbb{K}\\), \\(\\mathbb{K}[X]\\) ser\u00e1 un anillo conmutativo con unidad.<\/p>\n<h4>Homomorfismo de anillos<\/h4>\n<p>Un <strong>homomorfismo de anillos<\/strong> es una aplicaci\u00f3n entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos. Formulemoslo matem\u00e1ticamente:<\/p>\n<blockquote><p>Sean \\((\\mathcal{R},+,\\cdot )\\) y \\( (\\mathcal{S},+,\\cdot )\\) dos anillos. Se dir\u00e1 que la aplicaci\u00f3n \\({\\displaystyle f:\\mathcal{R}\\to \\mathcal{S}}\\) es un <strong>homomorfismo de anillos<\/strong> si se cumplen las siguientes dos condiciones:<\/p>\n<ol>\n<li>\\({\\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}\\), cualesquiera que sean \\({\\displaystyle a,b\\in \\mathcal{R}}\\).<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle f(a\\cdot b)=f(a)\\cdot f(b)}\\), cualesquiera que sean \\({\\displaystyle a,b\\in \\mathcal{R}}\\).<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p>La primera condici\u00f3n, descrita anteriormente, nos dice que \\({\\displaystyle f}\\) es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos \\({\\displaystyle (\\mathcal{R},+)}\\) y \\({\\displaystyle (\\mathcal{S},+)}\\). Con esta definici\u00f3n se ve que la imagen de \\({\\displaystyle f}\\), \\({\\displaystyle \\mathbf{im} (f)=f(\\mathcal{R})}\\), es un subanillo de \\({\\displaystyle (\\mathcal{S},+,\\cdot )}\\).<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sean \\((\\mathbb{R}, +, \\cdot)\\) el anillo de los n\u00fameros reales y \\((M_2(\\mathbb{R}), +, \\cdot)\\) el anillo de las matrices \\(2 \\times 2\\) con entradas reales. Definimos la aplicaci\u00f3n \\(\\phi: \\mathbb{R} \\to M_2(\\mathbb{R})\\) de la siguiente manera:\\[ \\phi(r) = \\begin{bmatrix} r &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r \\end{bmatrix} = r I_2 \\] donde \\(r \\in \\mathbb{R}\\) e \\(I_2\\) es la matriz identidad de orden 2. \\(\\phi\\) es un homomorfismo de grupos.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv34r() {\n  var htmlShow34r = document.getElementById(\"html-show34r\");\n  if (htmlShow34r.style.display === \"none\") {\n    htmlShow34r.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow34r.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv34r()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show34r\" style=\"display: none;\">\nPara que \\(\\phi\\) sea un homomorfismo de anillos, debe cumplir las propiedades anteriores.<\/p>\n<p>Para cualesquiera \\(r, s \\in \\mathbb{R}\\), se debe cumplir que \\(\\phi(r+s) = \\phi(r) + \\phi(s)\\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(r+s) = \\begin{bmatrix} r+s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r+s \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Mientras que,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(r) + \\phi(s) = \\begin{bmatrix} r &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; s \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} r+s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r+s \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por lo tanto, se verifica \\(\\phi(r+s) = \\phi(r) + \\phi(s)\\).<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, para cualesquiera \\(r, s \\in \\mathbb{R}\\), se debe cumplir que \\(\\phi(r \\cdot s) = \\phi(r) \\cdot \\phi(s)\\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(r \\cdot s) = \\begin{bmatrix} r s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r s \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Mientras que,<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(r) \\cdot \\phi(s) = \\begin{bmatrix} r &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; s \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} r s &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r s \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por lo tanto, se verifica \\(\\phi(r \\cdot s) = \\phi(r) \\cdot \\phi(s)\\).<\/p>\n<p>En este caso, ambos son anillos unitarios, luego se debe cumplir que \\(\\phi(1_{\\mathbb{R}}) = 1_{M_2(\\mathbb{R})}\\), donde \\(1_{\\mathbb{R}} = 1\\) y \\(1_{M_2(\\mathbb{R})} = I_2\\).<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(1) = \\begin{bmatrix} 1 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 1 \\end{bmatrix} = I_2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por lo tanto, se verifica \\(\\phi(1) = I_2\\).<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Considere el anillo \\(R = (\\mathbb{Z}_2[x], +, \\cdot)\\) de los polinomios con coeficientes enteros y de grado menor o igual a dos.<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nR = \\{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \\mid a_0, a_1, a_2 \\in \\mathbb{Z} \\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Se define la aplicaci\u00f3n \\(\\phi: R \\to R\\) que asocia a cada polinomio \\(P(x)\\) su derivada formal \\(P'(x)\\):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = a_1 + 2 a_2 x<br \/>\n\\]<br \/>\nDemuestre si la aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) es o no un homomorfismo de anillos.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv34r2t() {\n  var htmlShow34r2t = document.getElementById(\"html-show34r2t\");\n  if (htmlShow34r2t.style.display === \"none\") {\n    htmlShow34r2t.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow34r2t.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv34r2t()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show34r2t\" style=\"display: none;\">\nRecordemos que tenemos que comprobar si se cumplen las siguientes propiedades para cualesquiera polinomios \\(P(x), Q(x) \\in R\\):<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Preservaci\u00f3n de la Suma<\/strong>: \\(\\phi(P(x) + Q(x)) = \\phi(P(x)) + \\phi(Q(x))\\)<\/li>\n<li><strong>Preservaci\u00f3n del Producto<\/strong>: \\(\\phi(P(x) \\cdot Q(x)) = \\phi(P(x)) \\cdot \\phi(Q(x))\\)<\/li>\n<\/ol>\n<p>La derivada de una suma es la suma de las derivadas (propiedad de linealidad):<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\phi(P(x) + Q(x)) = (P(x) + Q(x))&#8217; = P'(x) + Q'(x) = \\phi(P(x)) + \\phi(Q(x))<br \/>\n\\]<br \/>\nEsta propiedad se cumple.<\/p>\n<p>La derivada de un producto sigue la <strong>Regla del Producto<\/strong> (o Regla de Leibniz): \\((P \\cdot Q)&#8217; = P&#8217; \\cdot Q + P \\cdot Q&#8217;\\).<\/p>\n<p>Para que \\(\\phi\\) fuera un homomorfismo de anillos, se requerir\u00eda:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\phi(P(x) \\cdot Q(x)) = \\phi(P(x)) \\cdot \\phi(Q(x))<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Sin embargo, si tomamos \\(P(x) = x\\) y \\(Q(x) = x\\).<\/p>\n<ul>\n<li>Lado izquierdo, \\(\\phi(P \\cdot Q)\\):     \\[ P(x) \\cdot Q(x) = x \\cdot x = x^2 \\]<br \/>\n    \\[ \\phi(x^2) = (x^2)&#8217; = 2x \\]\n<\/li>\n<li>Lado derecho, \\(\\phi(P) \\cdot \\phi(Q)\\):<\/li>\n<p>    \\[ \\phi(x) = x&#8217; = 1 \\]<br \/>\n    \\[ \\phi(P(x)) \\cdot \\phi(Q(x)) = \\phi(x) \\cdot \\phi(x) = 1 \\cdot 1 = 1 \\]\n<\/ul>\n<p>Como \\(2x \\neq 1\\), se tiene que:<br \/>\n\\[<br \/>\n\\phi(x^2) \\neq \\phi(x) \\cdot \\phi(x)<br \/>\n\\]<br \/>\nLa propiedad de preservaci\u00f3n del producto <strong>NO se cumple<\/strong>.<\/p>\n<p>As\u00ed pues, la aplicaci\u00f3n que a un polinomio le hace corresponder su derivada <strong>NO es un homomorfismo de anillos<\/strong> porque no preserva el producto ni la identidad multiplicativa.<\/p>\n<p>Sin embargo, como s\u00ed preserva la suma y la multiplicaci\u00f3n por escalares (que en este contexto ser\u00eda la multiplicaci\u00f3n por constantes enteras, ya que \\(\\phi(c \\cdot P) = c \\cdot \\phi(P)\\)), s\u00ed es una <strong>aplicaci\u00f3n lineal<\/strong> (u homomorfismo de m\u00f3dulos\/espacios vectoriales, si consideramos \\(\\mathbb{R}\\) en lugar de \\(\\mathbb{Z}\\) para los coeficientes), pero esto lo veremos m\u00e1s adelante.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p>Se define el <strong>n\u00facleo<\/strong> del homomorfismo de anillos \\({\\displaystyle f:\\mathcal{R}\\to \\mathcal{S}}\\),  como el conjunto \\({\\displaystyle \\mathbf{ker}(f)=\\{r\\in \\mathcal{R}:f(r)=0\\}}\\), es decir, \\({\\displaystyle \\mathbf{ker}(f)=f^{-1}(\\{0\\})}\\)<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sean \\((\\mathbb{R}, +, \\cdot)\\) el anillo de los n\u00fameros reales y \\((M_2(\\mathbb{R}), +, \\cdot)\\) el anillo de las matrices \\(2 \\times 2\\) con entradas reales. Definimos la aplicaci\u00f3n \\(\\phi: \\mathbb{R} \\to M_2(\\mathbb{R})\\) de la siguiente manera:\\[ \\phi(r) = \\begin{bmatrix} r &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r \\end{bmatrix} = r I_2 \\] donde \\(r \\in \\mathbb{R}\\) e \\(I_2\\) es la matriz identidad de orden 2. Determinar el n\u00facleo de \\(\\phi\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv34r2() {\n  var htmlShow34r2 = document.getElementById(\"html-show34r2\");\n  if (htmlShow34r2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow34r2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow34r2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv34r2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show34r2\" style=\"display: none;\">\n\\[<br \/>\n\\mathbf{ker}(\\phi) = \\{ r \\in \\mathbb{R} \\mid \\phi(r) = 0_{M_2(\\mathbb{R})} \\} = \\left\\{ r \\in \\mathbb{R} \\mid \\begin{bmatrix} r &#038; 0 \\\\ 0 &#038; r \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; 0 \\end{bmatrix} \\right\\} = \\{0\\}<br \/>\n\\]<br \/>\nEsto significa que \\(\\mathbb{R}\\) es isomorfo a un subanillo de \\(M_2(\\mathbb{R})\\), concretamente al anillo de matrices escalares.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Cuerpo<\/h3>\n<p>Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.<\/p>\n<p>Como hemos comentado, \\(\\mathbb{R}[X]\\) es el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos c\u00f3mo podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorizaci\u00f3n de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.<\/p>\n<p>Viendo el anillo \\(\\mathbb{C}[X]\\), enunciamos el teorema fundamental del \u00e1lgebra.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema fundamental del \u00e1lgebra<\/strong>. Todo polinomio complejo de grado \\(1\\leq n\\) se puede expresar como un producto de \\(n\\) polinomios lineales, es decir \\[{\\displaystyle P(z)=\\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}\\,z^{n-k}=a_{n}\\,\\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k}).}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p>Este resultado nos pone de manifiesto que todo polinomio real tendr\u00e1 tener ra\u00edces reales y\/o complejas, apareciendo las complejas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una ra\u00edz real.<\/p>\n<p>Por \u00faltimo terminaremos con dos de los ejemplos que usaremos:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong><em>Proposici\u00f3n:<\/em><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>(\\(\\mathbb{Z}_n\\), +, \u2022) tiene estructura de anillo conmutativo.<\/li>\n<li>\\(\\mathbb{Z}_p\\) es un cuerpo si, y solo si, \\(p\\) es un n\u00famero primo.<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\">\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Dada la matriz \\(A\\)=[1,3,2;2,5,6;-3,-2,7], si consideramos su factorizaci\u00f3n \\(LU\\), \u00bfcu\u00e1nto suman todos los elementos de la matriz \\(L\\)? <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>6<\/li>\n<li>34<\/li>\n<li>-5<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<p>Puede verse que<br \/>\n\\[\\begin{bmatrix}1 &#038; 3 &#038; 2\\\\<br \/>\n2 &#038; 5 &#038; 6\\\\<br \/>\n-3 &#038; -2 &#038; 7\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1 &#038; 0 &#038; 0\\\\<br \/>\n2 &#038; 1 &#038; 0\\\\<br \/>\n-3 &#038; -7 &#038; 1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}1 &#038; 3 &#038; 2\\\\<br \/>\n0 &#038; -1 &#038; 2\\\\<br \/>\n0 &#038; 0 &#038; 27\\end{bmatrix}\\]\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones, dando la definici\u00f3n de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, Partes de un conjunto, Cardinalidad Uni\u00f3n e Intersecci\u00f3n&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-254","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/254","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=254"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/254\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":345,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/254\/revisions\/345"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=254"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=254"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=254"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}