{"id":225,"date":"2025-10-09T09:15:41","date_gmt":"2025-10-09T07:15:41","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=225"},"modified":"2025-10-05T21:07:56","modified_gmt":"2025-10-05T19:07:56","slug":"biomath-sistemas-de-ecuaciones-y-minimos-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=225","title":{"rendered":"MathBio: Sistemas de ecuaciones y m\u00ednimos cuadrados"},"content":{"rendered":"

Recordad que aprendimos c\u00f3mo deducir las ecuaciones impl\u00edcitas de una variedad af\u00edn, en concreto de una recta y de un plano. Determinar los puntos que pertenece a una variedad es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones lineales que definen la variedad. Para resolverlas utilizamos las matrices. As\u00ed todo sistema de ecuaciones lineales lo podemos plantear como un sistema matricial de la forma Ax<\/strong>=b<\/strong>, donde A<\/strong> es la matriz de coeficientes del sistema, x<\/strong> es la matriz columna de inc\u00f3gnitas y b<\/strong> es la matriz columna de t\u00e9rminos independientes:<\/p>\n

\\[{\\displaystyle {\\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&a_{22}&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{m1}&a_{m2}&\\cdots &a_{mn}\\end{bmatrix}}{\\begin{bmatrix}x_{1}\\\\x_{2}\\\\\\vdots \\\\x_{n}\\end{bmatrix}}={\\begin{bmatrix}b_{1}\\\\b_{2}\\\\\\vdots \\\\b_{m}\\end{bmatrix}}}\\]<\/p>\n

Para tratarlos mejor podemos intentar transformalos en sistemas escalonados, que es resultado de transformar la matriz ampliada [A b]<\/strong>, mediante operaciones elementales de fila, en una matriz escalonada. Es te el m\u00e9todo que conocemos como m\u00e9todo de Gauss<\/a>.<\/p>\n

Los sistemas de ecuaciones m\u00e1s sencillos resultan aquellos que podemos emplear la regla de Cramer<\/a>.<\/p>\n

La importancia de Teorema de Rouch\u00e9-Frobenius <\/a>estriba en que determina cuando un sistema tiene soluci\u00f3n o no. Este resultado junto con el anterior nos permiten resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones como los ejercicios que hemos realizado.<\/p>\n

El Teorema de Rouch\u00e9-Fr\u00f6benius nos afirma que Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.<\/p>\n

As\u00ed un sistema ser\u00e1:<\/p>\n

\\[\\left\\{\\begin{array}{l} \\begin{array}{c} Compatible \\\\ rang(A)=rang(A|\\textbf{b}) \\end{array}\\left\\{\\begin{array}{l} \\begin{array}{c} Determinado \\\\ rang(A)=\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}
\\end{array} \\\\ \\begin{array}{c} Indeterminado \\\\ rang(A)<\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}\\end{array} \\\\\\end{array}\\right.\\\\\\begin{array}{c} Incompatible \\\\ rang(A)\\neq rang(A|\\textbf{b}) \\end{array}\\\\ \\end{array}\\right.\\]<\/p>\n

Para resolver un sistema compatible s\u00f3lo tenemos que encontrar un menor de \\(A\\) distinto de cero y del mismo orden que en rango de \\(A\\). Supongamos que \\(\\bar{A}\\) es la submatriz de \\(A\\) cuyo menor es el que buscamos. Entonces \\([A|\\textbf{b}]\\) se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz<\/p>\n

\\[[A|\\textbf{b}]\\sim\\left[\\begin{array}{c}
\n\\bar{A}\\,\\bar{P}\\\\
\n0\\end{array}\\left|\\begin{array}{c}
\n\\bar{\\textbf{b}}\\\\
\n0\\end{array}\\right.\\right]\\]
\nDonde \\(\\bar{P}\\) son o \\(0\\) o las columnas de la martiz \\(A\\) tales que \\[rang(A)+\\mbox{n\u00bacolumnas}(\\bar{P})=\\mbox{N\u00famero de inc\u00f3gnitas}.\\]
\nDe este modo el sistema tendr\u00e1 por soluci\u00f3n
\n\\[\\bar{X}=\\bar{A}^{-1}\\cdot [\\bar{\\textbf{b}}-\\bar{P}K],\\]
\ndonde \\(K\\) son las variables, en forma de par\u00e1metros, que faltan en el menor de \\(\\bar{A}\\), y tales que \\(X^t=\\bar{X}^t K^t\\).<\/p>\n

\n

Ejercicio:<\/strong> Determinar las ecuaciones param\u00e9tricas de la recta dada por la intersecci\u00f3n de los planos \\(\\pi_1:2x+3y-z=0\\) y \\(\\pi_2:-x-2y+z=0.\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n