{"id":217,"date":"2025-10-08T08:15:35","date_gmt":"2025-10-08T06:15:35","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=217"},"modified":"2025-10-03T20:01:00","modified_gmt":"2025-10-03T18:01:00","slug":"alg-factorizacion-lu","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=217","title":{"rendered":"ALG: Factorizaci\u00f3n LU"},"content":{"rendered":"

La factorizaci\u00f3n LU <\/strong>es una forma de factorizaci\u00f3n de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.<\/p>\n

El prop\u00f3sito es dada una matriz \\(A\\) conseguir descomponer esta en un producto \\[\\textbf{A}=\\textbf{L}\\textbf{U}\\] de manera \\(\\textbf{L}\\) sea triangular inferior y \\(\\textbf{U}\\) triangular superior.<\/p>\n

Recordad que una operaci\u00f3n elemental entre filas se puede considerar como una matriz. De esta manera Podemos realizar una serie de operaciones elementales entre filas para transformar la matriz de partida \\(A\\), en una matriz escalonada (triangular superior). Es decir;
\n\\[E_k\\,E_{k-1}\\cdots E_1\\, \\textbf{A}= \\textbf{U}.\\]
\nComo cada matriz \\(E_i\\) es regular (por sus propiedades), entonces:
\n\\[\\textbf{A}= E_1^{-1}\\, E_2^{-1}\\cdots E_k^{-1}\\, \\textbf{U}\\]
\nAs\u00ed ser\u00e1 \\[\\textbf{L}=E_1^{-1}\\, E_2^{-1}\\cdots E_k^{-1}.\\]
\nEs f\u00e1cil comprobar que \\(L\\) es triangular inferior. El prop\u00f3sito es que la diagonal principal de \\(L\\) ser\u00e1n todo unos; as\u00ed
\n\\[|\\textbf{A}|=|\\textbf{L}\\textbf{U}|=|\\textbf{L}|\\cdot|\\textbf{U}|=\\prod_{i=1}^nu_{ii}\\]<\/p>\n

\n

Ejercicio:<\/strong> Dada la matriz \\[A=\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 & 3\\\\
\n-3 & -4 & 13 \\\\
\n 2 & 1 & -5
\n\\end{bmatrix}\\in\\mathcal{M}_3(\\mathbb{R}),\\] \u00bfcu\u00e1l es la traza de la matriz \\(\\textbf{U}\\) resultado de su factorizaci\u00f3n \\(\\textbf{LU}\\)? <\/p>\n<\/blockquote>\n