{"id":157,"date":"2026-10-07T11:50:46","date_gmt":"2026-10-07T09:50:46","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=157"},"modified":"2026-10-07T20:07:40","modified_gmt":"2026-10-07T18:07:40","slug":"157","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=157","title":{"rendered":"MathBio: Aplicaciones lineales"},"content":{"rendered":"<p>En matem\u00e1ticas una aplicaci\u00f3n lineal, es una aplicaci\u00f3n entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adici\u00f3n de vectores y multiplicaci\u00f3n por un escalar.<\/p>\n<p>Sean \\({\\displaystyle V}\\) y \\({\\displaystyle W}\\) espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo \\({\\displaystyle K}\\), aunque en nuestro caso este cuerpo ser\u00e1 \\(\\mathbb{R}\\). Una aplicaci\u00f3n \\({\\displaystyle f}\\) de \\({\\displaystyle V}\\) en \\({\\displaystyle W}\\), es decir, \\({\\displaystyle f:V\\to W}\\), es una transformaci\u00f3n lineal si para todo par de vectores \\({\\displaystyle u,v\\in V}\\) y para todo escalar \\({\\displaystyle k\\in \\mathbb{R}}\\), se satisface que:<\/p>\n<ul>\n<li>\\({\\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)\\,}\\)<\/li>\n<li>\\({\\displaystyle f(ku)=kf(u)\\,}\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>As\u00ed, por ejemplo, podemos definir la aplicaci\u00f3n \\(\\Phi:\\mathbb{R}^2\\to \\mathbb{R}^3\\), dada por \\(\\Phi(x,y)=(x,y,0)\\), que es lineal. Las propiedades que cumple \\(\\Phi\\) implican que \\(\\mathbf{Im}\\Phi\\) es un subespacio vectorial isomorfo a \\(\\mathbb{R}^2\\) y contenido en \\(\\mathbb{R}^3\\); es decir, \\(|\\mathbb{R}^2|<|\\mathbb{R}^3|\\). <\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathbf{det}:\\mathcal{M}_n\\to\\mathbb{R}\\) que a cada matriz \\(A\\in\\mathcal{M}_n\\) le hace corresponder su determinante, \\(\\mathbf{det}(A)=|A|\\). Probar si es lineal. <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv162() {\n  var htmlShow162 = document.getElementById(\"html-show162\");\n  if (htmlShow162.style.display === \"none\") {\n    htmlShow162.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow162.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv162()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show162\" style=\"display: none;\">\nConsideremos las dos matrices \\(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{bmatrix}\\) y \\(\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\). Por la aplicaci\u00f3n \\(\\mathbf{det}()\\), es<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\right)=\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\right)=\\begin{vmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{vmatrix}=1.<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Ahora,<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{bmatrix}\\right)+\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\right)=\\begin{vmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{vmatrix}+\\begin{vmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{vmatrix}=0.<br \/>\n\\]<br \/>\nPor tanto,<br \/>\n\\[<br \/>\n\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\right)\\neq\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}1&#038;0\\\\0&#038;0 \\end{bmatrix}\\right)+\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}0&#038;0\\\\0&#038;1 \\end{bmatrix}\\right).<br \/>\n\\]<br \/>\nAs\u00ed pues, la aplicaci\u00f3n no puede ser lineal.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(\\mathbf{tr}:\\mathcal{M}_n\\to\\mathbb{R}\\) que a cada matriz \\([a_{ij}]\\in\\mathcal{M}_n\\) le hace corresponder su traza, \\(\\mathbf{tr}([a_{ij}])=\\sum_{i=1}^na_{ii}\\). Probar si es lineal. <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1632() {\n  var htmlShow1632 = document.getElementById(\"html-show1632\");\n  if (htmlShow1632.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1632.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1632.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script> <\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1632()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1632\" style=\"display: none;\">\nConsideremos las dos matrices \\(\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22} \\end{bmatrix}\\) y \\(\\begin{bmatrix}b_{11}&#038;b_{12}\\\\ b_{21}&#038;b_{22} \\end{bmatrix}\\). Por la aplicaci\u00f3n \\(\\mathbf{tr}()\\), es<br \/>\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n\\mathbf{tr}\\left(\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22} \\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}b_{11}&#038;b_{12}\\\\ b_{21}&#038;b_{22} \\end{bmatrix}\\right)&#038;=\\mathbf{det}\\left(\\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&#038;a_{12}+b_{12}\\\\ a_{21}+b_{21}&#038;a_{22}+b_{22}\\end{bmatrix}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=(a_{11}+b_{11})+(a_{22}+b_{22})\\\\<br \/>\n&#038;=(a_{11}+a_{22})+(b_{11}+b_{22})\\\\<br \/>\n&#038;=\\mathbf{tr}\\left(\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22} \\end{bmatrix}\\right)+\\mathbf{tr}\\left(\\begin{bmatrix}b_{11}&#038;b_{12}\\\\ b_{21}&#038;b_{22} \\end{bmatrix}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Adem\u00e1s,<br \/>\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n\\mathbf{tr}\\left(\\lambda\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22} \\end{bmatrix}\\right)&#038;=<br \/>\n\\mathbf{tr}\\left(\\begin{bmatrix}\\lambda a_{11}&#038;\\lambda a_{12}\\\\ \\lambda a_{21}&#038;\\lambda a_{22} \\end{bmatrix}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\lambda a_{11}+\\lambda a_{22} \\\\<br \/>\n&#038;=\\lambda(a_{11}+ a_{22}) \\\\<br \/>\n&#038;= \\lambda\\mathbf{tr}\\left(\\begin{bmatrix}a_{11}&#038;a_{12}\\\\ a_{21}&#038;a_{22} \\end{bmatrix}\\right)<br \/>\n\\end{align*}<br \/>\n\\]<br \/>\nPor tanto, se satisfacen las propiedades necesarias para ser lineal.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<p>Otra aplicaci\u00f3n lineal muy interesante es la que nos relaciona el conjunto de las matrices con las n-tuplas reales. As\u00ed la aplicaci\u00f3n de \\(\\Phi:\\mathcal{M}_{n\\times m}(\\mathbb{R})\\to \\mathbb{R}^{n}\\times \\overset{m}{\\cdots}\\times\\mathbb{R}^{n}\\), ofrece la posibilidad de trabajar las columnas de una matriz como vectores reales.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, toda aplicaci\u00f3n lineal tiene asociada una matriz, de modo que si \\(f:\\mathbb{R}^n\\to \\mathbb{R}^m\\), tal que \\[f(x_1,x_2,\\ldots,x_n)=(y_1,y_2,\\ldots,y_m),\\] ser\u00e1<br \/>\n\\[\\mathbf{M}_f \\begin{bmatrix}x_1\\\\ x_2\\\\ \\vdots\\\\ x_n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}y_1\\\\ y_2\\\\ \\vdots\\\\ y_m\\end{bmatrix}.\\]<\/p>\n<p>De este modo vemos que la imagen de un vector por una aplicaci\u00f3n es el producto de una matriz por el vector. As\u00ed se facilita el c\u00e1lculo de operaciones.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong> Sea \\(f:\\mathbb{R}^n\\to \\mathbb{R}^m\\) una aplicaci\u00f3n lineal y \\(B=\\{\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_n\\}\\) una base de \\(\\mathbb{R}^n\\). Entonces, la columna \\(i\\) de \\(\\mathbf{M}_f\\) ser\u00e1 \\(f(\\mathbf{v}_i)\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es la matriz asociada a la aplicaci\u00f3n lineal: \\(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,y+2z)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv63() {\n  var htmlShow63 = document.getElementById(\"html-show63\");\n  if (htmlShow63.style.display === \"none\") {\n    htmlShow63.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow63.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv63()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show63\" style=\"display: none;\">\nSi consideramos la base can\u00f3nica de \\(\\mathbb{R}^3\\) y sustituimos en \\(f\\), tendremos \\(f(1,0,0)=(2,1,0)\\), \\(f(0,1,0)=(-1,0,1)\\) y \\(f(0,0,1)=(0,-1,2)\\). Luego \\[M_f=\\begin{bmatrix}2 &#038; -1 &#038; 0\\\\1 &#038; 0 &#038; -1\\\\0 &#038; 1 &#038; 2\\end{bmatrix}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>La matriz asociada a una aplicaci\u00f3n lineal depender\u00e1 de la base que elijamos del espacio vectorial. Salvo que digamos lo contrario, siempre nos referiremos con matriz asociada, o matriz can\u00f3nica, a la matriz asociada respecto de la base can\u00f3nica del espacio vectorial.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el determinante de la matriz can\u00f3nica de la aplicaci\u00f3n lineal: \\(f(x,y,z)=(x-2z,y-3z,2z)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv64() {\n  var htmlShow64 = document.getElementById(\"html-show64\");\n  if (htmlShow64.style.display === \"none\") {\n    htmlShow64.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow64.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv64()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show64\" style=\"display: none;\">\nSi consideramos la base can\u00f3nica de \\(\\mathbb{R}^3\\) y sustituimos en \\(f\\), tendremos \\(f(1,0,0)=(1,0,0)\\), \\(f(0,1,0)=(0,1,0)\\) y \\(f(0,0,1)=(-2,-3,2)\\). Luego \\[\\begin{vmatrix}1 &#038; 0 &#038; -2\\\\0 &#038; 1 &#038; -3\\\\0 &#038; 0 &#038; 2\\end{vmatrix}=2\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Dada una aplicaci\u00f3n lineal, \\(f\\), se define el <b>n\u00facleo<\/b> (ker) y la <b>imagen<\/b> (Im) de \\(f:V\\to W\\) como:<\/p>\n<blockquote>\n<dl>\n<dd>\\(\\mathbf{ker}(f)=\\{\\,v\\in V:f(v)=0_W\\,\\}\\)<\/dd>\n<dd>\\(\\mathbf{Im}(f)=\\{\\,w\\in W: \\exists v\\in V:f(v)=w\\,\\}\\)<\/dd>\n<\/dl>\n<\/blockquote>\n<p>Estas definiciones son muy importantes; por ejemplo, porque son la base de los sistemas de ecuaciones.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,y+2z)\\), determinar \\(\\mathbf{ker}(f)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv63a() {\n  var htmlShow63a = document.getElementById(\"html-show63a\");\n  if (htmlShow63a.style.display === \"none\") {\n    htmlShow63a.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow63a.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv63a()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show63a\" style=\"display: none;\">\nPor el ejercicio anterior sabemos que  \\[M_f=\\begin{bmatrix}2 &#038; -1 &#038; 0\\\\1 &#038; 0 &#038; -1\\\\0 &#038; 1 &#038; 2\\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nLuego el n\u00facleo vendr\u00e1 determinado por \\[\\mathbf{ker}(f)=\\left\\{[x,y,z];\\begin{bmatrix}2 &#038; -1 &#038; 0\\\\1 &#038; 0 &#038; -1\\\\0 &#038; 1 &#038; 2\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\ y\\\\ z\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\ 0\\\\ 0\\end{bmatrix}\\right\\}.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Dos resultados muy \u00fatiles:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong> \\(dim(\\mathbf{Im}(f))=\\mathbf{rank}(\\mathbf{M}_f)\\)\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Es decir, para obtener \\(\\mathbf{Im}(f)\\), basta con determinar el rango de la matriz asociada y elegir un n\u00famero igual al rango, de vectores columna de la matriz, linealmente independientes. Dicho subconjunto formar\u00e1 una base de \\(\\mathbf{Im}(f)\\)<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(f(x,y)=(2x-y,x-y,y)\\), determinar una base de  \\(\\mathbf{Im}(f)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv63b1() {\n  var htmlShow63b1 = document.getElementById(\"html-show63b1\");\n  if (htmlShow63b1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow63b1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow63b1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv63b1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show63b1\" style=\"display: none;\">\nSabemos que  \\[M_f^t=\\begin{bmatrix}2 &#038; 1 &#038; 0\\\\ -1 &#038; -1 &#038; 1\\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nComo \\[\\mathbf{rank}\\begin{bmatrix}2 &#038; 1 &#038; 0\\\\ -1 &#038; -1 &#038; 1\\end{bmatrix}=2,\\]<br \/>\n\\(\\mathbf{Im}(f)=\\mathbf{Gen}\\{[2,1,0],[-1,-1,1]\\}\\), y, por tanto, base.\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Corolario:<\/strong> Sea \\(\\mathbf{Im}(f)=\\mathbf{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_r\\}\\), vectores linealmente independientes. Entonces \\(\\vec{u}\\in\\mathbf{Im}(f)\\Leftrightarrow \\mathbf{rank}(\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_r,\\vec{u})=r \\)\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Esto nos permite deducir si un vector pertenece a la imagen.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(f(x,y,z,t)=(2x-y+t,x-z-t,x+y+2z-2t)\\), determinar si \\([1,0,3]\\in\\mathbf{Im}(f)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv63a1() {\n  var htmlShow63a1 = document.getElementById(\"html-show63a1\");\n  if (htmlShow63a1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow63a1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow63a1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv63a1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show63a1\" style=\"display: none;\">\nSabemos que  \\[M_f=\\begin{bmatrix}2 &#038; -1 &#038; 0 &#038; 1\\\\ 1 &#038; 0 &#038; -1 &#038; -1\\\\1 &#038; 1 &#038; 2 &#038; -2\\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nComo \\[\\begin{vmatrix}-1 &#038; 0 &#038; 1\\\\ 0 &#038; -1 &#038; -1\\\\ 1 &#038; 2 &#038; -2\\end{vmatrix}\\neq 0,\\] podemos considerar los vectores columna como base de \\(\\mathbf{Im}(f)\\). Luego \\([1,0,3]\\in\\mathbf{Im}(f)\\) si \\[\\mathbf{rank}\\begin{bmatrix}-1 &#038; 0 &#038; 1 &#038; 1\\\\ 0 &#038; -1 &#038; -1 &#038; 0\\\\  1 &#038; 2 &#038; -2 &#038; 3\\end{bmatrix}=3\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,x+y+2z,2y-z)\\), determinar si \\([1,0,3,-1]\\in\\mathbf{Im}(f)\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv73a1() {\n  var htmlShow73a1 = document.getElementById(\"html-show73a1\");\n  if (htmlShow73a1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow73a1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow73a1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv73a1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show73a1\" style=\"display: none;\">\nSabemos que  \\[M_f=\\begin{bmatrix}2 &#038; -1 &#038; 0\\\\1 &#038; 0 &#038; -1\\\\1 &#038; 1 &#038; 2\\\\0 &#038; 2 &#038; -1\\end{bmatrix}.\\] El rango de la matriz es 3, luego los vectores columna forman una base de \\(\\mathbf{Im}(f)\\). Para saber si \\([1,0,3,-1]\\in\\mathbf{Im}(f)\\) es suficiente verificar \\[\\mathbf{rank}\\begin{bmatrix}2 &#038; 1 &#038; 1 &#038; 0\\\\<br \/>\n-1 &#038; 0 &#038; 1 &#038; 2\\\\0 &#038; -1 &#038; 2 &#038; -1\\\\ 1&#038;0&#038;3&#038;-1\\end{bmatrix}=3\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>As\u00ed, definimos el rango de una aplicaci\u00f3n lineal como el rango de su matriz asociada: \\(\\mathbf{rank}(f)=\\mathbf{rank}(\\mathbf{M}_f)\\) <\/p>\n<h2>Ejemplos<\/h2>\n<p>Veamos unos ejemplos de c\u00f3mo actuamos para resolver los ejercicios:<\/p>\n<h3>Ejemplo 1<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full\" title=\"Aplicaci\u00f3n lineal, matriz, n\u00facleo, imagen y teorema rango\u2013nulidad\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/algebra\/aplicacion_lineal_matriz_nucleo_imagen_rango_nulidad.svg\" alt=\"\" width=\"85%\" \/><\/p>\n<p>Podemos ver que:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>La imagen no es todo \u211d\u00b3<\/strong>. Como rango(A) = 2 < 3, \\(\\mathbf{Im}(f)\\) es un plano de \u211d\u00b3.<\/li>\n<li><strong>El n\u00facleo tiene dimensi\u00f3n 1<\/strong>. Hay una variable libre (y), as\u00ed que la base del n\u00facleo tiene un vector.<\/li>\n<li><strong>El teorema se aplica sobre el espacio de partida.<\/strong> La suma es 3 = 1 + 2, donde 3 es la dimensi\u00f3n de \u211d\u00b3.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Ejemplo 2<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full\" title=\"Aplicaci\u00f3n lineal, matriz, n\u00facleo, imagen y teorema rango\u2013nulidad\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/algebra\/aplicacion_lineal_R4_R3_nucleo_imagen_rango_nulidad.svg\" alt=\"\" width=\"85%\" \/><\/p>\n<p>Observemos:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>La imagen no es todo \u211d\u00b3<\/strong>. Como rango(A) = 2 < 3, \\(\\mathbf{Im}(f)\\) es un plano de \u211d\u00b3 (el de ecuaci\u00f3n z = x + y). Es un buen momento para recordar que el rango nunca supera el n\u00famero de filas ni el de columnas.<\/li>\n<li><strong>El n\u00facleo tiene dimensi\u00f3n mayor que 1<\/strong>. Hay dos variables libres (y, w), as\u00ed que la base del n\u00facleo tiene dos vectores y viven en \u211d\u2074, el espacio de partida.<\/li>\n<li><strong>El teorema se aplica sobre el espacio de partida.<\/strong> La suma es 4 = 2 + 2, donde 4 es el n\u00famero de columnas de A, no la dimensi\u00f3n de \u211d\u00b3.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Ejemplo 3<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full\" title=\"Aplicaci\u00f3n lineal, rango_maximo\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/algebra\/aplicacion_lineal_R3_R4_rango_maximo_inyectiva.svg\" alt=\"\" width=\"85%\" \/><\/p>\n<p>Lo que aporta frente los dos anteriores:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>N\u00facleo trivial.<\/strong> Hay pivote en las tres columnas, as\u00ed que no queda ninguna variable libre. \\(\\mathbf{Ker}(f)\\)  = {0}, su base es el conjunto vac\u00edo y \\(\\mathbf{dim}\\,\\mathbf{Ker}(f)\\) = 0.<\/li>\n<li><strong>Inyectividad.<\/strong> Como el n\u00facleo es trivial, f es inyectiva. Conviene enlazarlo con la regla general: f es inyectiva \u21d4 \\(\\mathbf{Ker}(f)\\) = {0} \u21d4 rango(A) = n\u00ba de columnas.<\/li>\n<li><strong>La imagen sigue sin ser todo el espacio de llegada.<\/strong> \\(\\mathbf{dim}\\, \\mathbf{Im}(f)\\) = 3 < 4, as\u00ed que f no es sobreyectiva. \\(\\mathbf{Im}(f)\\) es un hiperplano de \u211d\u2074; en el esquema, (a, b, c, d) son las coordenadas de \u211d\u2074 y la ecuaci\u00f3n del hiperplano es a + b + c = 2d.<\/li>\n<li><strong>El teorema se cumple de forma extrema<\/strong>: 3 = 0 + 3.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<section class=\"al-aplicaciones\" aria-labelledby=\"al-titulo\">\n<div class=\"al-cierre\">\n<h2>Aplicaci\u00f3n<\/h2>\n<p>A continuaci\u00f3n, ten\u00e9is un documento con el planteamiento de un problema aplicado a la biotecnolog\u00eda (Mapeo Metab\u00f3lico), donde, mediante una transformaci\u00f3n (aplicaci\u00f3n lineal), podemos modelar cuantitativamente el sistema de nutrientes del biorreactor para la producci\u00f3n de una prote\u00edna biofarmac\u00e9utica, junto con su soluci\u00f3n detallada paso a paso:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/mathbio\/Mathbio_problema_apli_lineales.thml\" style=\"color: #0066cc;\" target=\"_blank\">Aplicaciones Lineales y Optimizaci\u00f3n Metab\u00f3lica en Biorreactores<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote><\/div>\n<\/section>\n<hr \/>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>Cap\u00edtulo 2 de \u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong><br \/>\nLa matriz \\(\\begin{bmatrix}1&#038;0&#038;0\\\\0&#038;1&#038;-2\\\\ 0&#038;1&#038;-1\\end{bmatrix}\\), es la matriz asociada a la aplicaci\u00f3n:<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>f(x,y,z)=(x+y,2z,x-z,y-x)<\/li>\n<li>g(x,y,z)=(x,y-2z,y-z)<\/li>\n<li>h(x,y,z)=(y,x+2z,z-y)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><em>La soluci\u00f3n se mostrar\u00e1 m\u00e1s adelante.<\/em><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En matem\u00e1ticas una aplicaci\u00f3n lineal, es una aplicaci\u00f3n entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adici\u00f3n de vectores y multiplicaci\u00f3n por un escalar. Sean \\({\\displaystyle V}\\) y \\({\\displaystyle W}\\) espacios&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-157","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathbio"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/157","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=157"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/157\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":309,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/157\/revisions\/309"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=157"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=157"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=157"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}