Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales:<\/p>\n
Tomemos \\(\\mathbb{K}\\) el cuerpo \\(\\mathbb{R}\\) o \\(\\mathbb{C}\\), y consideremos \\(A=[a_{ij}]\\in \\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{K})\\) una matriz y \\(A(f_i)=[a_{i1}\\ldots a_{i,n}]\\) (respectivamente \\(A(c_i)=[a_{i1}\\ldots a_{i,m}]\u2019\\)) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea \\(B=[b_{ij}]\\in \\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{K})\\) la matriz tal que \\(b_{ij}=a_{ij}\\) salvo los elementos de la fila \\(B(f_i)=[b_{i1}\\ldots b_{i,n}]\\) (\\(B(c_i)=[b_{i1}\\ldots b_{i,m}]\u2019\\)) que son \\(b_{ik}=a_{ik}+\\lambda a_{jk}\\) para \\(k=1,\\ldots,n\\)(\\(k=1,\\ldots,m\\) ) y cierta fila(columna) \\(j\\) y \\(\\lambda\\in\\mathbb{K}\\). Entonces decimos que las matrices \\(A\\) y \\(B\\) son semejantes por transformaciones elementales.<\/p>\n
De forma abreviada, indicamos la semejanza de matrices como \\(A\\sim B\\). Formalmente \\[A\\sim B\\Rightarrow \\exists E;\\, EA=B,\\] siendo \\(E\\) la matriz identidad, del mismo orden que filas tiene \\(A\\), a la que se le han aplicado operaciones elementales por fila.<\/p>\n
Por ejemplo, restarle a la segunda fila de matriz \\(A=\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\), la primera fila, ser\u00eda
\n\\[\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\overset{f_2-f_1}{\\rightarrow}\\begin{bmatrix}1&0\\\\-1&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}a&b\\\\c-a&d-b\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n
De igual modo, permutar la segunda fila por la primera de la matriz \\(A=\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\), ser\u00eda
\n\\[\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\overset{f_1\\leftrightarrow f_2}{\\rightarrow}\\begin{bmatrix}0&1\\\\1&0\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}c&d\\\\a&b\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n
Si deseamos multiplicar la segunda fila por un escalar ser\u00eda
\n\\[\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\overset{3f_2}{\\rightarrow}3\\begin{bmatrix}0&1\\\\ 1&0\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}a&b\\\\ 3c&3d\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n
Si ahora unimos las dos primeras operaciones elementales, tendremos
\n\\[\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\overset{\\overset{f_2-f_1}{f_1\\leftrightarrow f_2}}{\\rightarrow}\\begin{bmatrix}0&1\\\\1&0\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}1&0\\\\-1&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}c-a&d-b\\\\a&b\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n
Con la tercera, tendremos
\n\\[\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}\\overset{\\overset{f_2-f_1}{f_1\\leftrightarrow f_2}}{\\rightarrow}\\begin{bmatrix}c-a&d-b\\\\a&b\\end{bmatrix}\\overset{3f_2}{\\rightarrow}\\begin{bmatrix}c-a&d-b\\\\ 3a&3b\\end{bmatrix}\\]<\/p>\n
De este modo, la matriz \\(E\\), anterior es el resulta de multiplicar las matrices de cada una de las operaciones elementales realizada a la matriz identidad\\[E=E_kE_{k-1}\\cdots E_1.\\]<\/p>\n
Este proceso por filas se puede hacer por columnas; sin embargo, en ese caso \\[AE_1E_2\\cdots E_k=B.\\]<\/p>\n
Resumiendo: Si dos matrices, \\(A,B\\in \\mathcal{M}_{m\\times n}(\\mathbb{K})\\), son semejantes por transformaciones elementales por fila(o columna) entonces existe una matriz \\(F\\in \\mathcal{M}_{m}(\\mathbb{K})\\) (\\(C\\in \\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{K})\\)) tales que
\n\\[B=FA\\,(B=AC).\\]<\/p>\n
\nEjercicio:<\/strong> Dada \\(\\begin{bmatrix}2 & \\operatorname{-}4 & 3\\\\ 6 & \\operatorname{-}8 & 5\\\\ 6 & 1 & 7\\end{bmatrix}\\). Encontrar una matriz triangular inferior que sea semejante por operaciones elementales.<\/p>\n<\/blockquote>\n