{"id":132,"date":"2025-09-24T08:15:55","date_gmt":"2025-09-24T06:15:55","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=132"},"modified":"2025-09-25T12:13:53","modified_gmt":"2025-09-25T10:13:53","slug":"alg-multiplicacion-de-matrices-por-bloques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=132","title":{"rendered":"ALG: Multiplicaci\u00f3n de matrices por bloques"},"content":{"rendered":"

La multiplicaci\u00f3n de matrices por bloques<\/strong> es una t\u00e9cnica que te permite multiplicar dos matrices que han sido particionadas en submatrices, o bloques<\/strong>, como si estos bloques fueran los elementos individuales de una matriz. El proceso sigue la misma l\u00f3gica que la multiplicaci\u00f3n de matrices est\u00e1ndar.<\/p>\n

Consideremos dos matrices, \\(A\\) y \\(B\\). Para poder multiplicarlas por bloques, las particiones de las columnas de \\(A\\) deben coincidir con las particiones de las filas de \\(B\\). Si \\(A\\) es una matriz de \\(m \\times n\\) y \\(B\\) es una matriz de \\(n \\times p\\), la partici\u00f3n de \\(A\\) debe ser de la forma \\(A = [A_{ij}]\\), donde cada \\(A_{ij}\\) es un bloque, y la partici\u00f3n de \\(B\\) debe ser de la forma \\(B = [B_{ij}]\\).<\/p>\n

Si la matriz \\(A\\) tiene una partici\u00f3n de tama\u00f1o \\(r \\times s\\) (es decir, \\(r\\) particiones horizontales y \\(s\\) particiones verticales) y la matriz \\(B\\) tiene una partici\u00f3n de tama\u00f1o \\(s \\times t\\), la matriz producto \\(C = AB\\) tendr\u00e1 una partici\u00f3n de tama\u00f1o \\(r \\times t\\), donde cada bloque \\(C_{ij}\\) se calcula como la suma de los productos de los bloques correspondientes.<\/p>\n

Formalmente, si
\n\\[
\nA =
\n\\begin{bmatrix}
\nA_{11} & A_{12} & \\dots & A_{1s} \\\\
\nA_{21} & A_{22} & \\dots & A_{2s} \\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\
\nA_{r1} & A_{r2} & \\dots & A_{rs}
\n\\end{bmatrix}
\n\\quad
\n\\text{y}
\n\\quad
\nB =
\n\\begin{bmatrix}
\nB_{11} & B_{12} & \\dots & B_{1t} \\\\
\nB_{21} & B_{22} & \\dots & B_{2t} \\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\
\nB_{s1} & B_{s2} & \\dots & B_{st}
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\nentonces el bloque \\(C_{ij}\\) del producto \\(C = AB\\) se calcula como:
\n\\[
\nC_{ij} = \\sum_{k=1}^{s} A_{ik} B_{kj}
\n\\]
\nCada multiplicaci\u00f3n y suma dentro de la f\u00f3rmula es una operaci\u00f3n de matrices.<\/p>\n

Ve\u00e1moslo en un ejemplo pr\u00e1ctico<\/p>\n

Consideremos dos matrices \\(A\\) y \\(B\\).
\n\\[
\nA =
\n\\begin{bmatrix}
\n{1} & {2} & {3} & {4} \\\\
\n{5} & {6} & {7} & {8} \\\\
\n0 & 1 & -1 & 2 \\\\
\n-1 & 1 & -3 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n\\quad
\n\\text{y}
\n\\quad
\nB =
\n\\begin{bmatrix}
\n{1} & {0} & 1 & 0 \\\\
\n{0} & {1} & 0 & 1 \\\\
\n3 & 4 & -1 & 0 \\\\
\n7 & 8 & 2 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\nVamos a particionarlas en bloques de \\(2 \\times 2\\).
\n\\[
\nA =
\n\\begin{bmatrix}
\nA_{11} & A_{12} \\\\
\nA_{21} & A_{22}
\n\\end{bmatrix}
\n\\quad
\n\\text{y}
\n\\quad
\nB =
\n\\begin{bmatrix}
\nB_{11} & B_{12} \\\\
\nB_{21} & B_{22}
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\nDonde:
\n\\[
\nA_{11} =
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n5 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nA_{12} =
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 4 \\\\
\n7 & 8
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nA_{21} =
\n\\begin{bmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n-1 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nA_{22} =
\n\\begin{bmatrix}
\n-1 & 2 \\\\
\n-3 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\n\\[
\nB_{11} =
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 0 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nB_{12} =
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 0 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nB_{21} =
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 4 \\\\
\n7 & 8
\n\\end{bmatrix}
\n, \\quad
\nB_{22} =
\n\\begin{bmatrix}
\n-1 & 0 \\\\
\n 2 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\nEl producto \\(C = AB\\) ser\u00e1 una matriz particionada de la misma manera:
\n\\[
\nC =
\n\\begin{bmatrix}
\nC_{11} & C_{12} \\\\
\nC_{21} & C_{22}
\n\\end{bmatrix}
\n\\]
\nDonde cada bloque se calcula de la siguiente manera:
\n\\[\\begin{align*}C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\\\\
\nC_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22}\\\\
\nC_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21}\\\\
\nC_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22}
\n\\end{align*}
\n\\]<\/p>\n

Calculemos el primer bloque, \\(C_{11}\\):
\n\\[\\begin{align*}
\nC_{11} &=
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n5 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 0 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 4 \\\\
\n7 & 8
\n\\end{bmatrix}
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 4 \\\\
\n7 & 8
\n\\end{bmatrix}
\n\\\\
\n&=
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n5 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n3(3)+4(7) & 3(4)+4(8) \\\\
\n7(3)+8(7) & 7(4)+8(8)
\n\\end{bmatrix}\\\\
\n&=
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n5 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n9+28 & 12+32 \\\\
\n21+56 & 28+64
\n\\end{bmatrix}
\n\\\\
\n&=
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n5 & 6
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n37 & 44 \\\\
\n77 & 92
\n\\end{bmatrix} \\\\
\n&=
\n\\begin{bmatrix}
\n1+37 & 2+44 \\\\
\n5+77 & 6+92
\n\\end{bmatrix}\\\\
\n&=
\n\\begin{bmatrix}
\n38 & 46 \\\\
\n82 & 98
\n\\end{bmatrix}\\end{align*}
\n\\]
\nUna vez que calcules los cuatro bloques, simplemente los unes para obtener la matriz final \\(C\\).<\/p>\n

\n

Ejercicio:<\/strong> Sean \\[
\n A = \\begin{bmatrix}
\n 1 & 2 & 3 & 4 \\\\
\n 5 & 6 & 7 & 8 \\\\
\n 9 & 10 & 11 & 12 \\\\
\n 13 & 14 & 15 & 16
\n \\end{bmatrix}, \\quad
\n B = \\begin{bmatrix}
\n 1 & 0 & 0 & 1 \\\\
\n 0 & 1 & 1 & 0 \\\\
\n 1 & 1 & 0 & 0 \\\\
\n 0 & 0 & 1 & 1
\n \\end{bmatrix}
\n \\] Divide las siguientes matrices en bloques de 2\u00d72, para calcular \\(A.B\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n