{"id":1224,"date":"2026-05-11T10:15:38","date_gmt":"2026-05-11T08:15:38","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1224"},"modified":"2026-05-11T17:12:21","modified_gmt":"2026-05-11T15:12:21","slug":"mad-particiones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1224","title":{"rendered":"MAD: Particiones"},"content":{"rendered":"<h2>Partici\u00f3n<\/h2>\n<p>Una <b>partici\u00f3n<\/b> del conjunto <i>A<\/i> es una familia <i>P<\/i> de subconjuntos no vac\u00edos de <i>A<\/i>, disjuntos dos a dos, cuya uni\u00f3n es <i>A<\/i>. Es decir, \\(P= \\{A_i: i\\in I\\}\\), donde se cumple:<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li>Para cada \\(i\\in I, A_i\\subseteq A\\) y \\(A_i\\neq\\varnothing \\)<\/li>\n<li>Para cada par \\(i\\neq j\\), \\(A_i\\cap A_j = \\varnothing \\)<\/li>\n<li>\\(\\cup_{i\\in I} A_i = A\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> En una asignatura de programaci\u00f3n hay 8 estudiantes: \\(\\mathcal{A}=\\{a,b,c,d,e,f,g,h\\}\\). El profesor quiere dividirlos en 3 equipos de trabajo, de manera que:<\/p>\n<ul>\n<li>un equipo tenga 4 estudiantes,<\/li>\n<li>y los otros dos equipos tengan 2 estudiantes cada uno.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Los equipos no tienen nombre (es decir, no importa el orden de los grupos).\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7e() {\n  var htmlShow7e = document.getElementById(\"html-show7e\");\n  if (htmlShow7e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7e\" style=\"display: none;\">\nTenemos 8 estudiantes y queremos grupos de tama\u00f1os:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4,2,2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Elegimos primero el grupo de 4 estudiantes:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\binom{8}{4}=70<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Quedan 4 estudiantes, que deben dividirse en dos grupos de 2. El n\u00famero de formas es:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{\\binom{4}{2}\\binom{2}{2}}{2!}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Dividimos entre \\(2!\\) porque los dos grupos de tama\u00f1o 2 son indistinguibles.<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{6\\cdot 1}{2}=3<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto, el n\u00famero total de particiones es:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n70\\cdot 3=210<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Un ejemplo de partici\u00f3n v\u00e1lida es:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\{\\{a,b,c,d\\},\\{e,f\\},\\{g,h\\}\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>No multiplicamos por \\(3!\\) porque los grupos no tienen nombre. Cambiar el orden de los subconjuntos no genera una nueva partici\u00f3n.\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Un sistema distribuido debe repartir <strong>10 procesos<\/strong> distintos entre varios servidores.<br \/>\nEl conjunto de procesos es:<br \/>\n\\[<br \/>\nP={p_1,p_2,\\dots,p_{10}}<br \/>\n\\]<br \/>\nSe desea realizar una partici\u00f3n de (P) en:<\/p>\n<ul>\n<li>2 subconjuntos de tama\u00f1o 3,<\/li>\n<li>y 1 subconjunto de tama\u00f1o 4.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Los subconjuntos representan servidores diferentes.<\/p>\n<ol>\n<li>Consideremos que los servidores indistinguibles, \u00bfcu\u00e1ntas particiones distintas existen? <\/li>\n<li>\u00bfQu\u00e9 cambia si ahora los servidores est\u00e1n etiquetados como: Servidor A, Servidor B y Servidor C?<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7e2() {\n  var htmlShow7e2 = document.getElementById(\"html-show7e2\");\n  if (htmlShow7e2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7e2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7e2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7e2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7e2\" style=\"display: none;\">\nTenemos 10 procesos y queremos formar subconjuntos de tama\u00f1os:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3,3,4<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Caso 1:<\/strong> servidores indistinguibles<\/p>\n<p>Primero elegimos el grupo de tama\u00f1o 4:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\binom{10}{4}=210<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Quedan 6 procesos, que se dividen en dos grupos de 3:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{\\binom{6}{3}\\binom{3}{3}}{2!}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{20\\cdot 1}{2}<br \/>\n=<br \/>\n10<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n210\\cdot 10=2100<br \/>\n\\]<\/p>\n<p><strong>Caso 2:<\/strong> servidores distinguibles<\/p>\n<p>Ahora los servidores se llaman A, B y C.<\/p>\n<p>Debemos decidir qu\u00e9 servidor recibe 4 procesos. Hay 3 posibilidades de elegir este servidor.<\/p>\n<p>Para una elecci\u00f3n fija del servidor que recibe 4 procesos, tenemos la cantidad de particiones de<br \/>\n\\[<br \/>\n\\binom{10}{4}\\binom{6}{3}\\binom{3}{3}<br \/>\n=<br \/>\n210\\cdot 20\\cdot 1<br \/>\n=<br \/>\n4200<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Recuerda, como hay 3 posibilidades de elegir el servidor recibe 4 procesos, y una vez elegido tenemos 4200 particiones, en total tendremos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n3\\cdot 4200=12600<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h3>Parecido con las permutaciones con repetici\u00f3n<\/h3>\n<p>Observar que el ejercicio de los 8 estudiantes:<br \/>\n\\[<br \/>\n|\\{A_1,A_2,A_3\\}|,\\qquad |A|=8,\\qquad \\{|A_1|,|A_2|,|A_3|\\}={4,2,2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El n\u00famero de particiones se podr\u00eda contar como<br \/>\n\\[<br \/>\n\\frac{8!}{4!2!2!}\\cdot \\frac{1}{2!}=210<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El factor \\(2!\\) del denominador aparece porque hay dos bloques del mismo tama\u00f1o 2.<\/p>\n<p>Si nos fijamos la primera parte es similar a las permutaciones con repetici\u00f3n de 3 objetos donde un se repite 4 veces, y los otros dos 2 veces cada uno.<\/p>\n<p>Aunque las f\u00f3rmulas utilizadas en las particiones de conjuntos y en las permutaciones con repetici\u00f3n son algebraicamente muy parecidas, ambos problemas responden a ideas combinatorias completamente distintas. En las permutaciones con repetici\u00f3n se cuentan ordenaciones lineales de objetos donde algunos elementos son indistinguibles; es decir, el orden importa. Por ejemplo, al ordenar las letras de una palabra, dos disposiciones distintas representan resultados diferentes. En cambio, en una partici\u00f3n de un conjunto no se ordenan los elementos, sino que se divide el conjunto en subconjuntos disjuntos cuya uni\u00f3n es el conjunto original. Tampoco importa el orden de los bloques obtenidos. La similitud entre las f\u00f3rmulas aparece porque, en ambos contextos, se utilizan coeficientes multinomiales para corregir sobreconteos producidos por indistinguibilidades. Sin embargo, en las particiones aparece adem\u00e1s un nuevo factor corrector asociado a los bloques que tienen el mismo tama\u00f1o, ya que intercambiar dichos bloques no produce una nueva partici\u00f3n. As\u00ed, si un conjunto de \\(n\\) elementos se particiona en bloques de tama\u00f1os<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1,\\lambda_2,\\dots,\\lambda_k,<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>donde algunos tama\u00f1os pueden repetirse, entonces el n\u00famero de particiones distintas viene dado por la siguiente proposici\u00f3n.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n<\/strong>: El n\u00famero de particiones de un conjunto de \\(n\\) elementos en bloques de tama\u00f1os \\(\\lambda_1,\\lambda_2,\\dots,\\lambda_k,\\) es<br \/>\n\\[\\frac{n!}<br \/>\n{\\lambda_1!\\lambda_2!\\cdots\\lambda_k!}<br \/>\n\\cdot<br \/>\n\\frac{1}{m_1!m_2!\\cdots m_n!}<br \/>\n\\]<br \/>\ndonde \\(m_i\\) representa el n\u00famero de bloques de tama\u00f1o \\(i\\) (\\(m_i=|j:\\lambda_j=i|\\)).\n<\/p><\/blockquote>\n<p>En la proposici\u00f3n, \\(m_i\\) cuenta cu\u00e1ntas veces aparece el tama\u00f1o \\(i\\) entre \\(\\lambda_1,\\lambda_2,\\dots,\\lambda_k\\).<\/p>\n<p>Por ejemplo, si los tama\u00f1os son: 4, 4, 2 y 2, entonces:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm_2=2,\\qquad m_4=2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>y los dem\u00e1s \\(m_i\\) valen \\(0\\) que, siendo \\(0!=1\\), no afectan al producto.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Una empresa dispone de un conjunto de 12 programadores:<br \/>\n\\(P=\\{p_1,p_2,\\dots,p_{12}\\}\\). Se desea dividirlos en equipos de trabajo de la siguiente forma: 4, 4, 2 y 2; es decir, dos equipos de 4 programadores y dos equipos de 2 programadores. Los equipos no tienen nombre, por lo que el orden de los equipos no importa. \u00bfCu\u00e1ntas particiones distintas pueden formarse?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7e3() {\n  var htmlShow7e3 = document.getElementById(\"html-show7e3\");\n  if (htmlShow7e3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7e3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7e3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7e3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7e3\" style=\"display: none;\">\nQueremos particionar un conjunto de \\(12\\) elementos en bloques de tama\u00f1os:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4,4,2,2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Aplicamos la f\u00f3rmula general:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{n!}<br \/>\n{\\lambda_1!\\lambda_2!\\cdots\\lambda_k!}<br \/>\n\\cdot<br \/>\n\\frac{1}{m_1!m_2!\\cdots m_n!}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>En este caso:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nn=12<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>y los tama\u00f1os de los bloques son:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\lambda_1=4,\\quad \\lambda_2=4,\\quad \\lambda_3=2,\\quad \\lambda_4=2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, hay:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm_4=2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>porque hay dos bloques de tama\u00f1o \\(4\\), y:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm_2=2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>porque hay dos bloques de tama\u00f1o \\(2\\).<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[\\begin{split}<br \/>\n\\frac{12!}{4!4!2!2!}\\cdot \\frac{1}{2!2!}&#038;=\\frac{12!}{4!4!2!2!2!2!}\\\\<br \/>\n&#038;=\\frac{479001600}{9216}\\\\<br \/>\n&#038;=51975<br \/>\n\\end{split}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h2>N\u00famero de particiones de un conjunto finito<\/h2>\n<p>El n\u00famero de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal \\(n\\), y se llama el n\u00famero de Bell, \\(B_n\\). Los primeros n\u00fameros de Bell son <i>B<\/i><sub>0<\/sub> = 1, <i>B<\/i><sub>1<\/sub> = 1, <i>B<\/i><sub>2<\/sub> = 2, <i>B<\/i><sub>3<\/sub> = 5, <i>B<\/i><sub>4<\/sub> = 15, <i>B<\/i><sub>5<\/sub> = 52, <i>B<\/i><sub>6<\/sub> = 203, &#8230;<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Un proyecto inform\u00e1tico est\u00e1 formado por 5 m\u00f3dulos distintos \\(M=\\{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5\\}\\). El jefe de proyecto quiere agrupar estos m\u00f3dulos en paquetes de trabajo. No se fija cu\u00e1ntos paquetes habr\u00e1: puede haber 1 paquete, 2 paquetes, 3 paquetes, 4 paquetes o 5 paquetes. Cada m\u00f3dulo debe estar en exactamente un paquete, y los paquetes no tienen nombre. \u00bfCu\u00e1ntas formas distintas hay de particionar el conjunto \\(M\\)?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7e22() {\n  var htmlShow7e22 = document.getElementById(\"html-show7e22\");\n  if (htmlShow7e22.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7e22.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7e22.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7e22()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7e22\" style=\"display: none;\">\nComo no se fija el n\u00famero de bloques de la partici\u00f3n, debemos contar todas las particiones posibles del conjunto \\(M\\). El n\u00famero de particiones de un conjunto finito de \\(n\\) elementos se llama n\u00famero de Bell y se denota por \\(B_n\\).<\/p>\n<p>En este caso:\\(|M|=5\\)<\/p>\n<p>Por tanto, el n\u00famero buscado es \\(B_5=52.\\)\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<p>Los n\u00fameros de Bell cumplen una relaci\u00f3n de recurrencia:<\/p>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong>\\[B_n=\\sum_{k=0}^{n-1}B_k\\binom{n-1}{k}\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar \\(B_5\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv124e3() {\n  var htmlShow124e3= document.getElementById(\"html-show124e3\");\n  if (htmlShow124e3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow124e3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow124e3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv124e3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show124e3\" style=\"display: none;\">\nQueremos calcular \\(B_5\\). Para ello necesitamos los valores anteriores:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_0=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_1=\\sum_{k=0}^{0}B_k\\binom{0}{k}<br \/>\n=<br \/>\nB_0\\binom{0}{0}<br \/>\n=<br \/>\n1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_2=\\sum_{k=0}^{1}B_k\\binom{1}{k}<br \/>\n=<br \/>\nB_0\\binom{1}{0}+B_1\\binom{1}{1}<br \/>\n=<br \/>\n1+1=2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_3=\\sum_{k=0}^{2}B_k\\binom{2}{k}<br \/>\n=<br \/>\nB_0\\binom{2}{0}+B_1\\binom{2}{1}+B_2\\binom{2}{2}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_3=1\\cdot 1+1\\cdot 2+2\\cdot 1=5<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_4=\\sum_{k=0}^{3}B_k\\binom{3}{k}<br \/>\n=<br \/>\nB_0\\binom{3}{0}+B_1\\binom{3}{1}+B_2\\binom{3}{2}+B_3\\binom{3}{3}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_4=1\\cdot 1+1\\cdot 3+2\\cdot 3+5\\cdot 1=15<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Finalmente:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_5=\\sum_{k=0}^{4}B_k\\binom{4}{k}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_5=<br \/>\nB_0\\binom{4}{0}<br \/>\n+<br \/>\nB_1\\binom{4}{1}<br \/>\n+<br \/>\nB_2\\binom{4}{2}<br \/>\n+<br \/>\nB_3\\binom{4}{3}<br \/>\n+<br \/>\nB_4\\binom{4}{4}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_5=<br \/>\n1\\cdot 1<br \/>\n+<br \/>\n1\\cdot 4<br \/>\n+<br \/>\n2\\cdot 6<br \/>\n+<br \/>\n5\\cdot 4<br \/>\n+<br \/>\n15\\cdot 1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_5=1+4+12+20+15=52<br \/>\n\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Una aplicaci\u00f3n est\u00e1 formada por 6 microservicios distintos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nM=\\{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>El equipo de arquitectura quiere agruparlos en m\u00f3dulos de despliegue. No se fija de antemano cu\u00e1ntos m\u00f3dulos habr\u00e1, pero se impone la siguiente condici\u00f3n:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nm_1 \\text{ y } m_2 \\text{ deben estar en el mismo m\u00f3dulo.}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Cada microservicio debe pertenecer exactamente a un m\u00f3dulo, y los m\u00f3dulos no tienen nombre. \u00bfCu\u00e1ntas particiones distintas cumplen esta condici\u00f3n?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv124e() {\n  var htmlShow124e = document.getElementById(\"html-show124e\");\n  if (htmlShow124e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow124e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow124e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv124e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show124e\" style=\"display: none;\">\nComo \\(m_1\\) y \\(m_2\\) deben estar siempre juntos, podemos considerarlos como un \u00fanico bloque inicial:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\{m_1,m_2\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>De este modo, en lugar de particionar 6 elementos, particionamos los siguientes 5 objetos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\{ \\{m_1,m_2\\},m_3,m_4,m_5,m_6\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto, el n\u00famero de particiones buscado es el n\u00famero de Bell \\(B_5\\).\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h2>N\u00fameros de Stirling de segunda especie<\/h2>\n<p>Un caso particular de contar particiones son los n\u00fameros de Stirling de segunda especie:<br \/>\n\\[S(n,k)=\\frac{1}{k!}\\sum_{i=0}^k(-1)^i\\binom{k}{i}(k-i)^n.\\] <\/p>\n<p>Los n\u00fameros de Stirling de segunda especie \\(S(n,k)\\) cuentan el n\u00famero de maneras que existen de hacer una partici\u00f3n de un conjunto de \\(n\\) elementos en \\(k\\) subconjuntos.<\/p>\n<p>Observar que los n\u00fameros de Stirling de segunda especie cuentan particiones de un conjunto de \\(n\\) elementos en \\(k\\) subconjuntos no vac\u00edos, sin fijar sus tama\u00f1os; sin embargo, en los ejercicios de particiones s\u00ed fijamos los tama\u00f1os de los bloques, por ejemplo 4,2,2 o 4,3,3. Por tanto, no usamos directamente un \u00fanico S(n,k), sino una versi\u00f3n refinada: particiones con tama\u00f1os prescritos.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> En una clase hay 8 estudiantes: \\(A=\\{a,b,c,d,e,f,g,h\\}\\), queremos dividirlos en 3 equipos no vac\u00edos, sin importar el orden de los equipos. \u00bfCu\u00e1ntas particiones distintas existen?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv7e31() {\n  var htmlShow7e31 = document.getElementById(\"html-show7e31\");\n  if (htmlShow7e31.style.display === \"none\") {\n    htmlShow7e31.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow7e31.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv7e31()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show7e31\" style=\"display: none;\">\nEste problema se resuelve directamente con:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(8,3)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Usamos la f\u00f3rmula:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(n,k)=\\frac{1}{k!}\\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\\binom{k}{i}(k-i)^n<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[\\begin{split}<br \/>\nS(8,3)&#038;=\\frac{1}{3!}\\left(3^8-3\\cdot 2^8+3\\cdot 1^8\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\frac{1}{6}\\left(6561-768+3\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\frac{5796}{6}\\\\<br \/>\n&#038;=966<br \/>\n\\end{split}<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<h2><strong>Procedimiento recursivo<\/strong><\/h2>\n<p>Otra notaci\u00f3n para los n\u00fameros de Stirling de segunda especie es: \\[\\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\k\\end{matrix}}\\right\\}:=S(n,k),\\]<\/p>\n<p>que nos permite la siguiente relaci\u00f3n de recurrencia<\/p>\n<p>\\[ \\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\k\\end{matrix}}\\right\\}=\\left\\{{\\begin{matrix}n-1\\\\k-1\\end{matrix}}\\right\\}+k\\left\\{{\\begin{matrix}n-1\\\\k\\end{matrix}}\\right\\}\\]<\/p>\n<p>con \\[\\left\\{{\\begin{matrix}0\\\\0\\end{matrix}}\\right\\}=1,\\quad  \\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\0\\end{matrix}}\\right\\}=0,\\quad  \\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}=\\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\n\\end{matrix}}\\right\\}=1,\\quad {\\mbox{ y }}\\quad \\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\k\\end{matrix}}\\right\\}=0,\\ \\forall k&gt;n.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\left\\{{\\begin{matrix}10\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv14e() {\n  var htmlShow14e = document.getElementById(\"html-show14e\");\n  if (htmlShow14e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow14e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow14e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv14e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show14e\" style=\"display: none;\">\n<p> \\[\\begin{split}\\left\\{{\\begin{matrix}10\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}&#038;=2\\left\\{{\\begin{matrix}9\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}9\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}\\\\<br \/>\n&#038;=2\\left[2\\left\\{{\\begin{matrix}8\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}8\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}\\right]+1\\\\<br \/>\n&#038;=2\\left[2\\left[2\\left\\{{\\begin{matrix}7\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}7\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}\\right]+1\\right]+1\\\\<br \/>\n&#038;=2\\left[2\\left[2\\left[2\\left\\{{\\begin{matrix}6\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}6\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}\\right]+1\\right]+1\\right]+1\\\\<br \/>\n&#038;=2\\left[2\\left[2\\cdots\\left[2\\left\\{{\\begin{matrix}2\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}2\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}\\right]+\\cdots+1\\right]+1\\right]+1\\\\<br \/>\n&#038;=2\\left[2\\left[2\\cdots\\left[2\\cdot 1+1\\right]+\\cdots+1\\right]+1\\right]+1\\\\<br \/>\n&#038;=2^8+2^7+\\ldots + 2^2+2+1=2^{9}-1=511\\\\<br \/>\n\\end{split}\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor de \\(\\left\\{{\\begin{matrix}4\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}5\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}\\)?\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1f4() {\n  var htmlShow1f4 = document.getElementById(\"html-show1f4\");\n  if (htmlShow1f4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1f4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1f4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1f4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1f4\" style=\"display: none;\">\n<p>\\[\\left\\{{\\begin{matrix}4\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}=\\left\\{{\\begin{matrix}3\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}+2\\left\\{{\\begin{matrix}3\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}=\\left\\{{\\begin{matrix}3\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}+2\\left[\\left\\{\\begin{matrix}2\\\\1\\end{matrix}\\right\\}+2\\left\\{{\\begin{matrix}2\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}\\right]=1+2\\cdot[1+2\\cdot 1]=7\\]<\/p>\n<p>\\[\\left\\{{\\begin{matrix}5\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}=\\left\\{{\\begin{matrix}4\\\\1\\end{matrix}}\\right\\}+2\\left\\{{\\begin{matrix}4\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}=1+2\\cdot 7=15\\]<\/p>\n<p>\\[\\left\\{{\\begin{matrix}4\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}+\\left\\{{\\begin{matrix}5\\\\2\\end{matrix}}\\right\\}=7+15=22\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Este proceso nos permite dar una tabla de valores para los N\u00fameros de Stirling de segunda especie:<\/p>\n<table cellspacing=\"0\" cellpadding=\"5\" style=\"text-align:right;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>n<\/b>&nbsp;\\&nbsp;<i>k<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>0<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>1<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>2<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>3<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>4<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>5<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>6<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>7<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>8<\/i><\/td>\n<td width=\"9%\"><i>9<\/i><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>0<\/b><\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>1<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>2<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>3<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>4<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>7<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>5<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>15<\/td>\n<td>25<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>6<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>31<\/td>\n<td>90<\/td>\n<td>65<\/td>\n<td>15<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>7<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>63<\/td>\n<td>301<\/td>\n<td>350<\/td>\n<td>140<\/td>\n<td>21<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>8<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>127<\/td>\n<td>966<\/td>\n<td>1701<\/td>\n<td>1050<\/td>\n<td>266<\/td>\n<td>28<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>9<\/b><\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>255<\/td>\n<td>3025<\/td>\n<td>7770<\/td>\n<td>6951<\/td>\n<td>2646<\/td>\n<td>462<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Construir un algoritmo con m\u00e1xima que nos devuelva \\(\\left\\{{\\begin{matrix}n\\\\k\\end{matrix}}\\right\\}\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong>\\[B_{n}=\\sum _{k=1}^{n}S(n,k).\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar \\(B_6\\)\n<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1f43() {\n  var htmlShow1f43 = document.getElementById(\"html-show1f43\");\n  if (htmlShow1f43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1f43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1f43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1f43()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1f43\" style=\"display: none;\">\n\\[<br \/>\nB_6=\\sum_{k=0}^{6}S(6,k)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Calculamos los n\u00fameros de Stirling de segunda especie usando la recurrencia:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(n,k)=kS(n-1,k)+S(n-1,k-1)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>con:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(n,1)=1,\\qquad S(n,n)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Entonces:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,0)=0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,1)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,2)=2S(5,2)+S(5,1)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Como:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(5,2)=15,\\qquad S(5,1)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>tenemos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,2)=2\\cdot 15+1=31<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Ahora:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Como:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(5,3)=25,\\qquad S(5,2)=15<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>entonces:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,3)=3\\cdot 25+15=90<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Adem\u00e1s:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Como:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(5,4)=10,\\qquad S(5,3)=25<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>entonces:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,4)=4\\cdot 10+25=65<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,5)=5S(5,5)+S(5,4)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Como:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(5,5)=1,\\qquad S(5,4)=10<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>obtenemos:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,5)=5\\cdot 1+10=15<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Finalmente:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nS(6,6)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Por tanto:<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_6<br \/>\n=<br \/>\nS(6,0)+S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nB_6<br \/>\n=<br \/>\n0+1+31+90+65+15+1=203<br \/>\n\\]\n<\/p><\/div>\n<hr \/>\n<p>Otra aplicaci\u00f3n interesante es el que nos da pie a contar las aplicaciones suprayectivas entre dos conjuntos finitos.<\/p>\n<blockquote>\n<p> <strong>Teorema:<\/strong> Sean \\(A\\) y \\(B\\) dos conjuntos finitos de cardinal \\(n\\) y \\(m\\) respectivamente. El n\u00famero de aplicaciones suprayectivas de \\(A\\) en \\(B\\) es de \\[m!S(n,m).\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<h2><strong>El problema de encuentros<\/strong><\/h2>\n<p>En combinatoria, el <strong>problema de encuentros<\/strong> busca determinar cu\u00e1ntas permutaciones de un conjunto de $n$ elementos tienen exactamente $k$ \u00abencuentros\u00bb o puntos fijos.<\/p>\n<p>Un <strong>encuentro<\/strong> ocurre cuando un elemento aparece en su posici\u00f3n original. Por ejemplo, si tienes 3 sobres dirigidos a 3 personas y los metes al azar, un \u00abencuentro\u00bb sucede si el sobre de \u00abAna\u00bb termina en las manos de \u00abAna\u00bb.<\/p>\n<p>Para calcular el n\u00famero de formas en que exactamente $k$ elementos de un conjunto de $n$ est\u00e1n en su lugar original, utilizamos la notaci\u00f3n $T(n,k)$. <\/p>\n<p>Con los valores iniciales (casos base):<\/p>\n<ul>\n<li>\\(T(0,0) = 1 \\).<\/li>\n<li>\\(T(1,0) = 0 \\).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para $ n \\geq 2 $:<br \/>\n$$ T(n, 0) = (n-1) \\left( T(n-1, 0) + T(n-2, 0) \\right) $$<\/p>\n<p>Para $ n \\geq 1 $ y $ k \\geq 1 $:$$ T(n, k) = \\frac{n}{k} T(n-1, k-1) $$<\/p>\n<table style=\"text-align:right;\">\n<tbody>\n<tr>\n<th style=\"background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:inherit;background:linear-gradient(to top right,var(--background-color-neutral,#eaecf0) 49%,var(--border-color-base,#a2a9b1) 49.5%,var(--border-color-base,#a2a9b1) 50.5%,var(--background-color-neutral,#eaecf0) 51%);line-height:1.2;padding:0.1em 0.4em;\">\n<div style=\"margin-left:2em;text-align:right\">&nbsp;<span class=\"texhtml mvar\" style=\"font-style:italic;\">k<\/span><\/div>\n<div style=\"margin-right:2em;text-align:left\"><span class=\"texhtml mvar\" style=\"font-style:italic;\">n<\/span>&nbsp;<\/div>\n<\/th>\n<th>0<\/th>\n<th>1<\/th>\n<th>2<\/th>\n<th>3<\/th>\n<th>4<\/th>\n<th>5<\/th>\n<th>6<\/th>\n<th>7<\/th>\n<th>8<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>0<\/th>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>1<\/th>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>2<\/th>\n<td>1<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>3<\/th>\n<td>2<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>4<\/th>\n<td>9<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>5<\/th>\n<td>44<\/td>\n<td>45<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>6<\/th>\n<td>265<\/td>\n<td>264<\/td>\n<td>135<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>15<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>7<\/th>\n<td>1854<\/td>\n<td>1855<\/td>\n<td>924<\/td>\n<td>315<\/td>\n<td>70<\/td>\n<td>21<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>8<\/th>\n<td>14833<\/td>\n<td>14832<\/td>\n<td>7420<\/td>\n<td>2464<\/td>\n<td>630<\/td>\n<td>112<\/td>\n<td>28<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Sea \\(A\\) el n\u00famero que multiplica al monomio \\(x^2y^3zt^2\\) en el desarrollo \\((2x-3y+z-5t)^8\\), \u00bfcu\u00e1nto suman las cifras de  \\(A\\)?  <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"100%\" >\n<div id=\"menu-a\" >\n<ul>\n<li>6<\/li>\n<li>12<\/li>\n<li>18<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p id=\"htmlContent\" class=\"text-html\"><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<p>Aplicando la f\u00f3rmula de Leibniz : \\[A=\\frac{8!}{2!\\cdot 3!\\cdot 1!\\cdot 2!}\\cdot 2^2\\cdot(-3)^3\\cdot(-5)^2=-4536000\\] <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Partici\u00f3n Una partici\u00f3n del conjunto A es una familia P de subconjuntos no vac\u00edos de A, disjuntos dos a dos, cuya uni\u00f3n es A. 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