{"id":1195,"date":"2026-05-04T10:16:14","date_gmt":"2026-05-04T08:16:14","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1195"},"modified":"2026-04-05T13:10:02","modified_gmt":"2026-04-05T11:10:02","slug":"mad-numeros-binomiales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1195","title":{"rendered":"MAD: N\u00fameros binomiales y combinaciones"},"content":{"rendered":"<h2><strong>N\u00fameros binomiales<\/strong><\/h2>\n<blockquote><p><strong>Definici\u00f3n:<\/strong> Llamaremos n\u00famero binomial, o coeficiente binomial, a la expresi\u00f3n \\(\\binom{n}{k}\\), dada por la f\u00f3rmula: \\[{\\displaystyle {n \\choose k}={\\frac {n!}{k!(n-k)!}}}\\]<\/p><\/blockquote>\n<blockquote><p><strong>Teorema (F\u00f3rmula de Stiefel):<\/strong> Sea \\({n\\choose 0}={n\\choose n}=1,\\ \\forall n\\in\\mathbb{Z}^+,\\) entonces para todos los n\u00fameros enteros \\(n\\geq k\\geq 0\\) es \\[\\binom{n}{k} = \\binom{n-1}{k-1} + \\binom{n-1}{k}\\] <\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Probar que \\({n\\choose 1}=n\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1ed() {\n  var htmlShow1ed = document.getElementById(\"html-show1ed\");\n  if (htmlShow1ed.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1ed.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1ed.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1ed()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1ed\" style=\"display: none;\">\n\\[\\begin{align*}<br \/>\n{n\\choose 1}&#038;={n-1\\choose 0}+{n-1\\choose 1}\\\\<br \/>\n&#038;={n-1\\choose 0}+{n-2\\choose 0}+{n-2\\choose 1}\\\\<br \/>\n&#038;={n-1\\choose 0}+{n-2\\choose 0}+{n-3\\choose 0}+{n-3\\choose 1}\\\\<br \/>\n&#038;\\vdots \\\\<br \/>\n&#038;={n-1\\choose 0}+{n-2\\choose 0}+{n-3\\choose 0}+\\ldots+{n-(n-1)\\choose 0}+{n-(n-1)\\choose 1}\\\\<br \/>\n&#038;=n.<br \/>\n\\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Proposici\u00f3n:<\/strong> \\[{n\\choose m}=\\frac{n!}{m!(n-m)!}=\\frac{n(n-1)(n-2)\\cdots (n-m+1)}{m!}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Probar que \\({n\\choose m}={n\\choose n-m}\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\n\\[{n\\choose m}=\\frac{n!}{m!(n-m)!}=\\frac{n!}{(n-m)!(n-(n-m)!}={n\\choose n-m}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Como veremos, los n\u00fameros binomiales ser\u00e1n una herramienta que nos ayudar\u00e1n en muchos resultados. Por ejemplo, la f\u00f3rmula de las Permutaciones con Repetici\u00f3n expresada exclusivamente mediante n\u00fameros binomiales es el resultado de descomponer el proceso de ordenaci\u00f3n en elecciones sucesivas. Para un conjunto de $n$ elementos donde las frecuencias de los elementos repetidos son $n_1, n_2, \\dots, n_r$ (tal que $\\sum n_i = n$), la f\u00f3rmula es:$$PR_{n}^{n_1, n_2, \\dots, n_r} = \\binom{n}{n_1} \\cdot \\binom{n &#8211; n_1}{n_2} \\cdot \\binom{n &#8211; n_1 &#8211; n_2}{n_3} \\cdots \\binom{n_r}{n_r}$$<\/p>\n<h2>Teorema del binomio<\/h2>\n<p>Si utilizamos la F\u00f3rmula de Stiefel, podemos ver en el <a title=\"Coeficiente binomial\" href=\"\/wiki\/Coeficiente_binomial#El_teorema_de_Pascal\">El teorema de Pascal<\/a>.<\/p>\n<div class=\"wp-caption aligncenter\" style=\"width: 231px;\">\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:TrianguloPascalC.svg#\/media\/File:TrianguloPascalC.svg\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/7\/7f\/TrianguloPascalC.svg\" alt=\"TrianguloPascalC.svg\" width=\"208\" height=\"145\" \/><\/a>\u00ab<a href=\"http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:TrianguloPascalC.svg#\/media\/File:TrianguloPascalC.svg\">TrianguloPascalC<\/a>\u00bb por <a title=\"User:Drini\" href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/User:Drini\">Drini<\/a> &#8211; <span class=\"int-own-work\" lang=\"es\" xml:lang=\"es\">Trabajo propio<\/span>. Disponible bajo la licencia <a title=\"Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0\" href=\"http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0\">CC BY-SA 3.0<\/a> v\u00eda <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/\">Wikimedia Commons<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<p>Con esto hemos sentado las bases para enunciar el <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_del_binomio\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Teorema del Binomio<\/a>:<\/p>\n<p>\\[(x+y)^n=\\sum_{k=0}^n {n \\choose k}x^{n-k} y^k\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el coeficiente de \\(x^6\\) en el desarrollo de \\((x-2)^{11}\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3() {\n  var htmlShow1b3 = document.getElementById(\"html-show1b3\");\n  if (htmlShow1b3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"MOOC UCAM. Introducci\u00f3n a la Teor\u00eda Combinatoria 3.2\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/FmOWznaXJtM?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Calcular \\[{n\\choose 0}+{n\\choose 1}+{n\\choose 2}+\\ldots+{n\\choose n}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Calcular \\[{n\\choose 0}-{n\\choose 1}+{n\\choose 2}-{n\\choose 3}+\\ldots+(-1)^n{n\\choose n}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1nto suman las cifras del resultado de \\[\\sum_{i=1}^{\\frac{17-1}{2}}{17\\choose i}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b() {\n  var htmlShow1b = document.getElementById(\"html-show1b\");\n  if (htmlShow1b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b\" style=\"display: none;\">\n\\(\\sum_{i=1}^{\\frac{17-1}{2}}{17\\choose i}=65535\\), por tanto, la suma de sus cifras es 24.\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Un resultado interesante es el siguiente. Utilizando el teorema del binomio, podemos ver que<\/p>\n<p>\\[(1+x)^n=\\sum_{k=0}^n {n \\choose k}x^{k}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Calcular \\[{n\\choose 1}+2{n\\choose 2}+3{n\\choose 3}+\\ldots+n{n\\choose n}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3t() {\n  var htmlShow1b3t = document.getElementById(\"html-show1b3t\");\n  if (htmlShow1b3t.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3t.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3t.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3t()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3t\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - N\u00famero binomial: Ej. 2 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Tjj7IWXj4Vw?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar, usando el teorema del binomio, la matriz \\[\\begin{bmatrix}1&#038;2&#038;0\\\\ 0&#038;1&#038;2\\\\ 0&#038;0&#038;1\\end{bmatrix}^n\\]<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b5() {\n  var htmlShow1b5 = document.getElementById(\"html-show1b5\");\n  if (htmlShow1b5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b5\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - Teorema del Binomio. Ej3 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/EKg739_4mt8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2><strong>Coeficientes multinomiales<\/strong><\/h2>\n<p>Podemos extender el teorema del binomio al conocido resultado de la <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Multinomial_theorem\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">f\u00f3rmula de Leibniz<\/a>: Dados \\(m\\) enteros y un natural \\(n\\), se tiene<br \/>\n\\[(x_1 + x_2 + \\cdots + x_m)^n = \\sum_{k_1+k_2+\\cdots+k_m=n} {n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m} \\prod_{1\\le t\\le m}x_{t}^{k_{t}}\\]<\/p>\n<p>Aqu\u00ed definimos los coeficientes multinomiales como \\[{n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m} =\\frac{n!}{k_1!\u00b7 k_2! \\cdots k_m!}\\]<br \/>\ndonde \\(k_1+ k_2+ \\ldots+ k_m=n\\).<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el coeficiente de \\(x^3y^4z^2\\) en el desarrollo de \\((x+y+3z)^9\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1e() {\n  var htmlShow1e = document.getElementById(\"html-show1e\");\n  if (htmlShow1e.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1e.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1e.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1e()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1e\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Matem\u00e1tica Discreta - Coeficiente Multinomial Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/RfVTNR0oFY4?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2><strong>Combinaciones<\/strong><\/h2>\n<p>Si anteriormente trat\u00e1bamos de contar las aplicaciones entre dos conjuntos, ahora veamos c\u00f3mo contar los posibles subconjuntos formados con los elementos de un conjunto.<\/p>\n<p>Sabemos que dado un conjunto finito \\(A\\) con cardinal \\(|A|=n\\) entonces <\/p>\n<blockquote><p>\\(|\\wp(A)|=2^n\\)<\/p><\/blockquote>\n<p> Pero, \u00bfcu\u00e1ntos subconjuntos de un determinado n\u00famero de elementos, \\(m\\leq n\\), podemos tener? Ve\u00e1moslo. <\/p>\n<p>Sea \\(A=\\{a,b\\}\\), entonces los subconjuntos pueden ser de 1 elemento: \\(\\{a\\},\\{b\\}\\); o de dos elementos, \\(\\{a,b\\}\\). Observar que, como conjunto, \\(\\{a,b\\}=\\{b,a\\}\\), pues \\(\\{a,b\\}\\subseteq\\{b,a\\}\\) y \\(\\{b,a\\}\\subseteq\\{a,b\\}\\). Ved que \\[\\wp(A)=\\{\\varnothing, \\{a\\},\\{b\\},\\{a,b\\}\\}\\] que verifica el resultado anterior.<\/p>\n<p>Sea \\(A=\\{a,b,c\\}\\), entonces los subconjuntos pueden ser de 1 elemento: \\(\\{a\\},\\{b\\},\\{c\\}\\); o de dos elementos, \\(\\{a,b\\},\\{a,c\\},\\{b,c\\}\\); o de tres elementos \\(\\{a,b,c\\}\\). De nuevo se cumple que \\(|\\wp(A)|=8\\) que verifica el resultado anterior.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1ntos subconjuntos de 2 elementos podemos hacer con los elementos del conjunto \\(A=\\{a,b,c,d\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv321b() {\n  var htmlShow321b = document.getElementById(\"html-show321b\");\n  if (htmlShow321b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow321b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow321b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv321b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show321b\" style=\"display: none;\">\nPara obtener los subconjuntos de dos elementos, nos sobra con repartir los cuatro elementos en dos casillas; es decir, \\(V_{4,2}\\). Pero, como hemos dicho, \\(\\{a,b\\}=\\{b,a\\}\\), pues el orden en el que se colocan en las dos casillas no es importante. Luego, por cada variaci\u00f3n, se repite 2 veces, que son las veces que podemos permutar dos elementos. De modo que el n\u00famero que buscamos es \\[\\frac{V_{4,2}}{P_2}=4.\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote><p><strong>Definici\u00f3n:<\/strong> Definimos las combinaciones de \\(n\\) elementos tomados de \\(m\\) en \\(m\\), como los subconjuntos de \\(m\\) elementos de un conjunto de \\(n\\) elementos, \\[C_{n,m}=\\frac{V_{n,m}}{P_m}\\]<\/p><\/blockquote>\n<p>Es decir, las variaciones donde no importa el orden que elijamos los elementos. De este modo, ese n\u00famero ser\u00e1 \\[C_{n,m}=\\frac{V_{n,m}}{P_m}=\\frac{n!}{m!\\,(n-m)!}\\]<\/p>\n<p>Ahora podemos identificar los n\u00fameros binomiales con las combinaciones:<\/p>\n<blockquote><p>\n\\[C_{n,m}={n \\choose m}\\]\n<\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> De un grupo de veinticinco libros distintos queremos escoger tres para leer durante las vacaciones. \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras podemos hacer esto?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv21b6() {\n  var htmlShow21b6 = document.getElementById(\"html-show21b6\");\n  if (htmlShow21b6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow21b6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow21b6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv21b6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show21b6\" style=\"display: none;\">\n\\(C_{25,3}=\\frac{V_{25,3}}{P_3}=\\frac{25\\cdot 24\\cdot 22}{3!}=2300\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 4 premios iguales, de manera que un alumno no pueda recibir dos premios. \u00bfDe cu\u00e1ntos modos pueden distribuirse?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv21bc() {\n  var htmlShow21bc = document.getElementById(\"html-show21bc\");\n  if (htmlShow21bc.style.display === \"none\") {\n    htmlShow21bc.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow21bc.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv21bc()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show21bc\" style=\"display: none;\">\n\\(C_{10,4}=210\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Combinaciones con repetici\u00f3n<\/h3>\n<blockquote><p><strong>Definici\u00f3n<\/strong>: Llamamos <strong>combinaciones con repetici\u00f3n<\/strong> de un conjunto a las distintas formas en que se puede hacer una selecci\u00f3n de elementos del conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse. <\/p><\/blockquote>\n<p>Veamos un ejemplo. Vamos a elegir un n\u00famero determinado de objetos entre varios conjuntos de objetos. Por ejemplo, tenemos limones, naranjas y peras suficientes para repartir una pieza a cada uno de nuestros once alumnos. \u00bfDe cu\u00e1ntas formas podr\u00edamos hacerlo? De nuevo, esta manera de repartir, en la que, como se aprecia, podemos repetir alguno de los objetos, es equivalente a lo que denominamos <strong>combinaciones con repetici\u00f3n<\/strong>.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Teorema<\/strong>: \\[CR_{n,m}=C_{n+m-1,m}\\] <\/p><\/blockquote>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Un banco ofrece un regalo a elegir entre 5 posibles regalos por cada cartilla. Un se\u00f1or que tiene tres cuentas corrientes en dicho banco, \u00bfde cu\u00e1ntas formas puede elegir el lote de tres obsequios si no le importan repetir regalos?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1be4() {\n  var htmlShow1be4 = document.getElementById(\"html-show1be4\");\n  if (htmlShow1be4.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1be4.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1be4.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1be4()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1be4\" style=\"display: none;\">\n\\(CR_{5,3}=C_{5+3-1,3}=\\frac{V_{7,3}}{P_3}=\\frac{7\\cdot 6\\cdot 5}{3!}=35\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios iguales, de manera que un alumno puede recibir m\u00e1s de uno. \u00bfDe cu\u00e1ntos modos pueden distribuirse?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv21bc2() {\n  var htmlShow21bc2 = document.getElementById(\"html-show21bc2\");\n  if (htmlShow21bc2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow21bc2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow21bc2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv21bc2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show21bc2\" style=\"display: none;\">\n\\(CR_{10,3}=C_{10+3-1,3}=220\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>En las combinaciones con repetici\u00f3n es independiente que  \\(n&lt;m\\) o \\(m&lt;n\\).<\/p>\n<p><p>El resultado \\(CR_{n,m}=C_{n+m-1,m}\\) nos permite introducir los coeficientes \\(\\left(\\!{n \\choose m}\\!\\right)\\), que hacen referencia a las combinaciones con repetici\u00f3n:\\[\\left(\\!\\!\\!{n \\choose m}\\!\\!\\!\\right)={n+m-1 \\choose m}\\]<\/p>\n<p>Esto nos da pie a deducir que el n\u00famero de coeficientes multinomiales de la f\u00f3rmula de Leibniz es<br \/>\n\\[{n+m-1 \\choose m-1}\\] que es coincidente con \\[{n+m-1 \\choose m-1}=\\left(\\!\\!\\!{m \\choose n}\\!\\!\\!\\right)={m+n-1 \\choose n},\\] ya que se corresponde con todos los posibles monomios \\(x_1^{k_1} \\cdot x_2^{k_2}  \\cdots  x_m^{k_m}\\) del desarrollo de \\((x_1 +x_2+\\ldots +x_m)^n\\). <\/p>\n<h3>Soluciones enteras de una ecuaci\u00f3n.<\/h3>\n<blockquote>\n<p><strong>Teorema:<\/strong> Sean \\(k,n\\in\\mathbb{N}\\). El n\u00famero de soluciones enteras no negativas(es decir, \\(x_i\\geq 0 \\)) de la ecuaci\u00f3n \\[x_1+x_2+\\ldots+x_m=n\\] es \\[CR_{m,n}=C_{m+n-1,n}\\]<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Observar que esto es equivalente a expresar \\(n\\) en, como mucho, \\(m\\) sumandos. Por ejemplo, 4 expresado en 3 sumandos ser\u00e1:<br \/>\n \\[\\begin{align}<br \/>\n4&#038;=4+0+0\\\\<br \/>\n4&#038;=0+4+0\\\\<br \/>\n4&#038;=0+0+4\\\\<br \/>\n4&#038;=3+1+0\\\\<br \/>\n4&#038;=1+3+0\\\\<br \/>\n4&#038;=0+3+1\\\\<br \/>\n4&#038;=0+1+3\\\\<br \/>\n4&#038;=3+0+1\\\\<br \/>\n4&#038;=1+0+3\\\\<br \/>\n4&#038;=2+2+0\\\\<br \/>\n4&#038;=2+0+2\\\\<br \/>\n4&#038;=0+2+2\\\\<br \/>\n4&#038;=1+1+2\\\\<br \/>\n4&#038;=1+2+1\\\\<br \/>\n4&#038;=2+1+1<br \/>\n\\end{align}\\]<br \/>\nQue, como vemos, resultan \\(CR_{3,4}=15\\) expresiones.<\/p>\n<p>Si consideramos que \\(x_i&gt;0\\), entonces el n\u00famero de soluciones enteras de la ecuaci\u00f3n \\[x_1+ x_2+ \\ldots+ x_m=n,\\] siendo \\(n&gt;m\\) es \\[{n-1 \\choose m-1}\\]<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, si consideramos \\(x_1 = x_2 = \\cdots = x_m=1\\), en tal caso, la suma de los coeficientes multinomiales de la f\u00f3rmula de Leibniz es\\[\\sum_{k_1+k_2+\\cdots+k_m=n} {n \\choose k_1, k_2, \\ldots, k_m}=m^n\\]<\/p>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede hacerse?<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"100%\" >\n<div id=\"menu-a\" >\n<ul>\n<li>860<\/li>\n<li>1120<\/li>\n<li>2880<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p id=\"htmlContent\" class=\"text-html\"><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>N\u00fameros binomiales Definici\u00f3n: Llamaremos n\u00famero binomial, o coeficiente binomial, a la expresi\u00f3n \\(\\binom{n}{k}\\), dada por la f\u00f3rmula: \\[{\\displaystyle {n \\choose k}={\\frac {n!}{k!(n-k)!}}}\\] Teorema (F\u00f3rmula de Stiefel): Sea \\({n\\choose 0}={n\\choose n}=1,\\ \\forall n\\in\\mathbb{Z}^+,\\)&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-1195","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica-discreta"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1195","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1195"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1195\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1261,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1195\/revisions\/1261"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1195"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=1195"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=1195"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}