{"id":1185,"date":"2026-04-29T11:10:51","date_gmt":"2026-04-29T09:10:51","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1185"},"modified":"2026-04-01T17:12:54","modified_gmt":"2026-04-01T15:12:54","slug":"mad-teoria-combinatoria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=1185","title":{"rendered":"MAD: Teor\u00eda combinatoria"},"content":{"rendered":"<p>Comenzamos la parte de <strong>Teor\u00eda combinatoria<\/strong>, recordando las definiciones de<\/p>\n<ul>\n<li>Conjuntos, cardinalidad, partes de un conjunto.<\/li>\n<li>Uni\u00f3n e intersecci\u00f3n de conjuntos.<\/li>\n<li>Aplicaciones entre conjuntos finitos\n<ul>\n<li>Dominio, rango e imagen.<\/li>\n<li>Inyectivas,<\/li>\n<li>sobreyectivas<\/li>\n<li>biyectivas<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Estas aplicaciones nos dan resultados interesante:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\n<strong>Propiedad<\/strong>: Si \\(A\\)  y \\(B\\) son conjuntos finitos con \\(\\vert A\\vert  &gt; \\vert B\\vert\\) entonces no existe ninguna aplicaci\u00f3n inyectiva de \\(A\\) en \\(B\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<blockquote>\n<p>\n<strong>Propiedad<\/strong>: Si \\(A\\)  y \\(B\\) son conjuntos finitos con \\(\\vert A\\vert  &lt; \\vert B\\vert \\) entonces no existe ninguna aplicaci\u00f3n sobreyectiva de \\(A\\) en \\(B\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Adem\u00e1s hemos tratado los principios b\u00e1sicos de conteo:<\/p>\n<ul>\n<li>Principio de adici\u00f3n<\/li>\n<li>Principio de multiplicaci\u00f3n<\/li>\n<li>Principio de distribuci\u00f3n<\/li>\n<\/ul>\n<p>El Principio de distribuci\u00f3n es muy intuitivo:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\n<strong>Principio de distribuci\u00f3n, del palomar o del caj\u00f3n de la paloma de Dirichlet<\/strong>: Sean \\(m\\), \\(n\\) y \\(p\\) tres n\u00fameros naturales. Si se desean colocar \\(np + m\\) palomas en \\(n\\) cajas, alguna caja debe contener al menos \\(p + 1\\) palomas.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Una ilustraci\u00f3n de este resultado es el teorema de la amistad: Sup\u00f3ngase que en una fiesta hay 6 personas. Consid\u00e9rese a dos cualesquiera de ellos. Puede ser que se re\u00fanan por primera vez, en cuyo caso son mutuamente extra\u00f1os, o puede ser que se hayan conocido antes, en cuyo caso se les llamar\u00e1 mutuamente conocidos. Entonces,<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nEn cualquier grupo de seis personas, existen tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas.\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Su demostraci\u00f3n se puede hacer mediante un grafo. Sup\u00f3ngase un grafo de 6 v\u00e9rtices y cada par de v\u00e9rtices est\u00e1 unido por una arista, es decir, \\(K_6\\). Sean las 6 personas de la fiesta representadas por los 6 v\u00e9rtices. \\(K_6\\) es un grafo completo con 15 aristas, e imaginemos las aristas son coloreadas con los colores rojo o azul, dependiendo de si las dos personas representadas por los v\u00e9rtices incidentes a la arista son mutuamente conocidas o desconocidas, respectivamente. Probar el teorema de la amistad es equivalente a probar que:<\/p>\n<blockquote>\n<p>No importa c\u00f3mo se hayan coloreado las aristas de \\(K_{6}\\) con los colores rojo o azul, no se puede evitar que exista un tri\u00e1ngulo rojo, es decir, un tri\u00e1ngulo que tenga sus tres lados de color rojo, lo que representa tres personas mutuamente extra\u00f1as, o un tri\u00e1ngulo azul, que representa tres personas mutuamente conocidas.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Lecturas recomendadas: <\/p>\n<ul>\n<li>\u00c1LGEBRA B\u00c1SICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, Juan De Burgos Rom\u00e1n, Ingebook.<\/li>\n<li>Reytor Rodr\u00edguez, R. (2008). Lo esencial en combinatoria. Editorial Universitaria. https:\/\/elibro.net\/es\/lc\/bucam\/titulos\/71362(https:\/\/elibro.net\/es\/ereader\/bucam\/71362)<\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<h2><strong>Variaciones<\/strong><\/h2>\n<p>Llamaremos variaciones de \\(n\\) elementos tomados de \\(m\\) en \\(m\\), al n\u00famero de aplicaciones inyectivas que podemos hacer del conjunto \\(A\\), de cardinal \\(m\\), en el conjunto \\(B\\), de cardinal \\(n\\), \\(m\\leq n\\). Para calcular las variaciones utilizaremos:<\/p>\n<p>\\[V_{n,m}=n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m+1)=\\frac{n!}{(n-m)!}.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> En una carrera con 10 atletas, \u00bfde cu\u00e1ntas formas distintas podr\u00edan repartirse las medallas de oro, plata y bronce?  <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3() {\n  var htmlShow1b3 = document.getElementById(\"html-show1b3\");\n  if (htmlShow1b3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3\" style=\"display: none;\">\n\\(V_{10}^3=10\\cdot 9\\cdot 8=720\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Crea una funci\u00f3n recursiva que nos permita calcular \\(V_{n,m}\\) <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3y() {\n  var htmlShow1b3y = document.getElementById(\"html-show1b3y\");\n  if (htmlShow1b3y.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3y.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3y.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3y()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3y\" style=\"display: none;\">\n<!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i1) <\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">variaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_operator\">:<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\">if <\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_number\">0<\/span><span class=\"code_function\"> then <\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\"> else <\/span><span class=\"code_function\">if <\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_endofline\">&gt;<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_function\"> then <\/span><span class=\"code_number\">0<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\"> else <\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">\u00b7<\/span><span class=\"code_function\">variaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">\u2212<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">\u2212<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">$<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i2) <\/span><\/td>\n<td><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">variaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_number\">6<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_number\">3<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[\\operatorname{ }120\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Variaciones con repetici\u00f3n<\/h3>\n<p>Imaginemos que deseamos contar el total de aplicaciones posibles; entonces se plantean las variaciones con repetici\u00f3n. Llamaremos variaciones con repetici\u00f3n de \\(m\\) (0<\\(k\\)) elementos de un conjunto de \\(n\\) elementos (0<\\(n\\)) al n\u00famero \\[VR_{n,k}=n^k,\\] y se corresponde con las aplicaciones de un conjunto de \\(m\\) elementos de un conjunto de \\(n\\) elementos.\n\n\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros de 6 cifras se escriben usando solamente las cifras 1, 5 y 8 ?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b31() {\n  var htmlShow1b31 = document.getElementById(\"html-show1b31\");\n  if (htmlShow1b31.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b31.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b31.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b31()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b31\" style=\"display: none;\">\n\\(VR_{3}^6=3^6=729\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Crea una funci\u00f3n recursiva que nos permita calcular \\(VR_{n,k}\\) <\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3y2() {\n  var htmlShow1b3y2 = document.getElementById(\"html-show1b3y2\");\n  if (htmlShow1b3y2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3y2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3y2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3y2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3y2\" style=\"display: none;\">\nEn las variaciones con repetici\u00f3n, cada vez que eliges un elemento, el abanico de opciones para el siguiente paso sigue siendo $n$ (porque puedes volver a elegir el mismo). Matem\u00e1ticamente, la f\u00f3rmula es $VR_{n,k} = n^k$, pero para expresarlo de forma recursiva, dir\u00edamos que:$$VR_{n,k} = n \\cdot VR_{n, k-1}$$<\/p>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i1)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">variaciones_rep<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_operator\">:<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\">if <\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_number\">0<\/span><span class=\"code_function\"> then <\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\"> else <\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">\u00b7<\/span><span class=\"code_function\">variaciones_rep<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_variable\">k<\/span><span class=\"code_operator\">\u2212<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">$<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i2)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">variaciones_rep<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_number\">3<\/span><span class=\"code_endofline\">,<\/span><span class=\"code_number\">6<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[\\operatorname{ }729\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2><strong>Permutaciones<\/strong><\/h2>\n<p>Llamaremos permutaciones de un conjunto de \\(n\\) elementos (0<\\(n\\)) al n\u00famero \\[P_n=n!,\\] y se corresponde con las aplicaciones biyectivas de un conjunto de \\(n\\) elementos sobre un subconjunto de \\(\\mathbb{N}\\) del mismo cardinal.\n\n\n\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong>  \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros de 4 cifras distintas pueden escribirse con los d\u00edgitos 2, 3, 5 y 8? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv341b() {\n  var htmlShow341b = document.getElementById(\"html-show341b\");\n  if (htmlShow341b.style.display === \"none\") {\n    htmlShow341b.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow341b.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv341b()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show341b\" style=\"display: none;\">\n\\(P_4=24\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Crea una funci\u00f3n recursiva que nos permita calcular \\(P_{n}\\).<\/p><\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1b3y23() {\n  var htmlShow1b3y23 = document.getElementById(\"html-show1b3y23\");\n  if (htmlShow1b3y23.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1b3y23.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1b3y23.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1b3y23()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1b3y23\" style=\"display: none;\">\n<!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i1)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">permutaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_operator\">:<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\">if <\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">=<\/span><span class=\"code_number\">0<\/span><span class=\"code_function\"> then <\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_endofline\"><br \/><\/span> \u00a0\u00a0 <span class=\"code_function\"> else <\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">\u00b7<\/span><span class=\"code_function\">permutaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_variable\">n<\/span><span class=\"code_operator\">\u2212<\/span><span class=\"code_number\">1<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">$<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p><!-- Code cell --><\/p>\n<table>\n<tr style=\"border: 0px;\">\n<td style=\"width: 70px;vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"prompt\">(%i2)<\/span><\/td>\n<td style=\"vertical-align: top;padding: 1mm;\"><span class=\"input\"><span class=\"code_function\">permutaciones<\/span><span class=\"code_operator\">(<\/span><span class=\"code_number\">4<\/span><span class=\"code_operator\">)<\/span><span class=\"code_endofline\">;<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>\\[\\operatorname{ }24\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Permutaciones circulares<\/h3>\n<p>Otra forma de definir la permutaci\u00f3n de un conjunto de \\(n\\) elementos es como una disposici\u00f3n ordenada de los \\(n\\) elementos. Esa disposici\u00f3n la podemos representar como una \\(n\\)-tupla. Si una \\(n\\)-tupla circular la entendemos como la \\(n\\)-tupla donde hemos unido el inicio con el fin, podemos considerar una permutaci\u00f3n circular como una \\(n\\)-tupla circular, donde dos permutaciones circulares son iguales si cada elemento tiene a derecha e izquierda los mismos compa\u00f1eros. De esta forma, el n\u00famero de permutaciones circulares que podemos hacer con un conjunto de \\(n>0\\) elementos es \\[PC_n=P_{n-1}=(n-1)!.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfDe cu\u00e1ntas formas distintas se pod\u00edan sentar a la mesa los caballeros de la Mesa Redonda? <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv8() {\n  var htmlShow8 = document.getElementById(\"html-show8\");\n  if (htmlShow8.style.display === \"none\") {\n    htmlShow8.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow8.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv8()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show8\" style=\"display: none;\">\n\\(PC_{12}=11!\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<h3>Permutaciones con repetici\u00f3n<\/h3>\n<p>Por \u00faltimo, podemos considerar una permutaci\u00f3n de los elementos de un conjunto donde se repite alguno de ellos. Una permutaci\u00f3n con repetici\u00f3n de un conjunto \\(A=\\{x_i;i=1,&#8230;,n\\}\\), quedar\u00e1 identificada por una disposici\u00f3n de la forma<br \/>\n\\[(x_1,\\overset{\\underbrace{r_1}}{\\ldots},x_1,x_2,\\overset{\\underbrace{r_2}}{\\ldots} ,x_2, \\ldots, x_n, \\overset{\\underbrace{r_n}}{\\ldots},x_n)\\]<br \/>\ndonde \\(r_1+r_2+\\ldots+r_n\\in\\mathbb{N}\\) determina el n\u00famero de elementos totales. En ese caso, el n\u00famero total de permutaciones con repetici\u00f3n del conjunto \\(A\\), donde cada elemento \\(x_i\\in A\\) sae repite \\(r_i\\mathbb{N}\\) veces, es<br \/>\n\\[PR_{r_1+r_2+\\ldots+r_n}^{r_1,r_2,\\ldots,r_n}=\\frac{(r_1+r_2+\\ldots+r_n)!}{r_1!\\,r_2!\\,\\ldots\\,r_n!}.\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros distintos de 6 cifras se pueden escribir usando tres unos, dos cincos y un ocho?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv31bw() {\n  var htmlShow31bw = document.getElementById(\"html-show31bw\");\n  if (htmlShow31bw.style.display === \"none\") {\n    htmlShow31bw.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow31bw.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv31bw()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show31bw\" style=\"display: none;\">\n\\(PR_{6}^{3,2,1}=\\frac{6!}{3!\\, 2!\\, 1!}\\)\n<\/div>\n<hr \/>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> Dado el grafo <img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/uploads.jesussoto.es\/grafo.PNG\" width=\"311\" height=\"234\" \/> se puede afirmar que <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"100%\" >\n<div id=\"menu-a\" >\n<ul>\n<li>no es plano<\/li>\n<li>tiene cinco regiones<\/li>\n<li>tiene seis regiones<\/li>\n<li>Ninguna de las anteriores<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv() {\n  var htmlShow = document.getElementById(\"html-show\");\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show\" style=\"display: none;\">\n<p id=\"htmlContent\" class=\"text-html\"><strong>C.)<\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Comenzamos la parte de Teor\u00eda combinatoria, recordando las definiciones de Conjuntos, cardinalidad, partes de un conjunto. 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