{"id":118,"date":"2026-09-30T11:50:40","date_gmt":"2026-09-30T09:50:40","guid":{"rendered":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=118"},"modified":"2026-09-23T20:34:35","modified_gmt":"2026-09-23T18:34:35","slug":"mathbio-bases-y-subespacios-vectoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clases.jesussoto.es\/?p=118","title":{"rendered":"MathBio: Bases y subespacios vectoriales"},"content":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda definimos un espacio vectorial como un conjunto de elementos, que llamaremos vectores, que cumple determinadas propiedades respecto de un cuerpo, en nuestro caso \\(\\mathbb{R}\\), los n\u00fameros reales. Veamos ciertas definiciones que nos ser\u00e1n muy \u00fatiles para trabajar.<\/p>\n<blockquote>\n<p> Sea \\(V\\) un espacio vectorial sobre \\(\\mathbb{R}\\), y \\(U\\subset V\\) no vac\u00edo, \\(U\\) es un subespacio vectorial de \\(V\\) si:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {v},\\mathbf {u} \\in U\\), \\(\\mathbf {v}+\\mathbf {u} \\in U\\)<\/li>\n<li>\\(\\forall \\mathbf {u}\\in U\\), \\(\\forall a\\in \\mathbb{R}\\), \\(a\\mathbf {u}\\in U\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/blockquote>\n<p>Por ejemplo, \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x+y=0\\}\\) es un subespacio vectorial de \\(\\mathbb{R}^2\\) como  \\(\\mathbb{R}\\)-sube.v.:<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Consideremos los conjuntos \\(S=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ y=0\\}\\), \\(T=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y+z=1\\}\\), y \\(U=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y=z\\}\\), \u00bfcu\u00e1l no es un subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv6() {\n  var htmlShow6 = document.getElementById(\"html-show6\");\n  if (htmlShow6.style.display === \"none\") {\n    htmlShow6.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow6.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv6()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show6\" style=\"display: none;\">\nObservemos el conjunto \\(T=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;\\ x+y+z=1\\}\\). \\((1,0,0)\\in T\\) y \\((0,1,0)\\in T\\), si es un subespacio vectorial, por sus propiedades, (1,0,0)+(0,1,0) debe pertenecer a \\(T\\); sin embargo, (1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0), y sumando sus componentes \\(1+1+0=2\\neq 1\\), luego \\((1,1,0)\\not\\in T\\) y \\(T\\) no puede ser un subespacio vectorial.\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Un resultado pr\u00e1ctico que nos ayudar\u00e1 a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\nSi \\(V\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vac\u00edo \\(S\\) de \\(V\\) es un subespacio vectorial si y s\u00f3lo si para cualesquiera dos vectores \\(\\vec{v}, \\vec{w}\\in S\\) y cualesquiera escalares \\(\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \\(\\lambda\\vec{v}+\\mu\\vec{w}\\in S\\).\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Dados los vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\) de nuestro espacio vectorial, el conjunto \\[\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}=\\{\\lambda_1\\vec{v}_1+\\ldots+\\lambda_n \\vec{v}_n;\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n\\in\\mathbb{R}\\},\\] lo denominamos <strong>sistema generador<\/strong> y es un subespacio vectorial.<\/p>\n<p>Nos planteamos si un vector cualquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjunto de vectores del sistema. <\/p>\n<p>Cualquier vector perteneciente a un sistema generador, \\(\\vec{v}\\in <\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n>\\) decimos que es <strong>combinaci\u00f3n lineal<\/strong> de los vectores del sistema. En general, un vector \\(\\vec{v}\\) decimos que es combinaci\u00f3n lineal de un conjunto de vectores \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\), si<br \/>\n\\[\\vec{v}\\in \\mbox{Gen}\\{\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\}\\]<\/p>\n<p>Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \\(\\vec{v}_1,\\ldots, \\vec{v}_n\\in V\\), decimos que es <strong>libre<\/strong> si ning\u00fan vector es combinaci\u00f3n vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los \u00fanicos escalares, \\(k_1,k_2,&#8230;,k_n\\in\\mathbb{R}\\), tales que justifican,<br \/>\n\\[k_1\\vec{v}_1+\\cdots +k_n \\vec{v}_n=\\vec{0},\\]<br \/>\nson \\(k_1=k_2=\\ldots=k_n=0\\).<\/p>\n<p>Indistintamente decimos sistema libre o vectores <strong>linealmente independientes<\/strong>. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos <strong>linealmente dependiente<\/strong>; es decir, alg\u00fan vector es combinaci\u00f3n lineal de los otros.<\/p>\n<blockquote><p><strong>Proposici\u00f3n<\/strong>: Sea \\(\\{\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_n\\}\\) un conjunto de vectores. El n\u00famero de vectores linealmente independientes en el conjunto ser\u00e1 el rango de la matriz que tiene por filas (o columnas) los vectores. Esto es equivalente a decir: \\[\\{\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_n\\} \\mbox{ son l.i.}\\Leftrightarrow \\mathbf{rank}[\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_n]=n \\] <\/p><\/blockquote>\n<p>Acabamos de introducir la forma m\u00e1s sencilla para conocer si un conjunto de vectores contiene a alg\u00fan vector como combinaci\u00f3n lineal del resto. El rango de la matriz determinar\u00e1 el n\u00famero de vectores que son combinaci\u00f3n lineal.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determinar si los vectores [1,2,0], [2,1,3] y [1,0,2] son l.i.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1r() {\n  var htmlShow1r = document.getElementById(\"html-show1r\");\n  if (htmlShow1r.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1r.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1r.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1r()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1r\" style=\"display: none;\">\n\\[<br \/>\n                \\begin{bmatrix} 1 &#038; 2 &#038; 0 \\\\ 2 &#038; 1 &#038; 3 \\\\ 1 &#038; 0 &#038; 2 \\end{bmatrix}<br \/>\n                \\xrightarrow{\\substack{F_2 \\leftarrow F_2 &#8211; 2F_1 \\\\ F_3 \\leftarrow F_3 &#8211; F_1}}<br \/>\n                \\begin{bmatrix} 1 &#038; 2 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; -3 &#038; 3 \\\\ 0 &#038; -2 &#038; 2 \\end{bmatrix}<br \/>\n                \\xrightarrow{F_3 \\leftarrow F_3 &#8211; \\frac{2}{3}F_2}<br \/>\n                \\begin{bmatrix} 1 &#038; 2 &#038; 0 \\\\ 0 &#038; -3 &#038; 3 \\\\ 0 &#038; 0 &#038; 0 \\end{bmatrix}<br \/>\n\\]<br \/>\nEsto nos dice que el tercer vector es l.d. de los dos primeros.\n<\/div>\n<hr \/>\n<p>Esta propiedad nos ofrece un m\u00e9todo muy sencillo para determinar un subconjunto de vectores linealmente independiente.<br \/>\nComo corolario podemos ver que: Dado un conjunto de vectores \\(\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_m\\in\\mathbb{R}^n\\)<\/p>\n<ol>\n<li> \\(\\mathbf{rank}[\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_m]\\leq \\mbox{min}\\{n,m\\}\\)<\/li>\n<li> Si \\(n&lt; m\\), ser\u00e1n linealmente dependientes. <\/li>\n<li> Si \\([\\mathbf{v}_1,\\mathbf{v}_2,\\ldots,\\mathbf{v}_m]\\sim A\\), donde \\(A\\) es una matriz escalonada, entonces los vectores linealmente independientes se corresponden con las filas no nulas de la matriz \\(A\\). Por el contrario, los linealmente dependientes se corresponden con las filas nulas de la matriz \\(A\\). <\/li>\n<\/ol>\n<p>Dentro de los espacios vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos; los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que adem\u00e1s son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos <strong>base de un espacio vectorial<\/strong>: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es<\/p>\n<ul>\n<li>sistema generador, y<\/li>\n<li>linealmente independiente<\/li>\n<\/ul>\n<p>Al n\u00famero de vectores de una base lo denominamos <strong>dimensi\u00f3n del espacio vectorial<\/strong>. Recordemos que siempre estamos tratando con \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generados.<\/p>\n<p>Uno de los principales resultados es que en todo \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generado podemos encontrar una base. As\u00ed, pues, en un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v finitamente generado de dimensi\u00f3n \\(n\\) un conjunto de \\(n\\) vectores linealmente independientes siempre es base. Adem\u00e1s, la base no tiene por qu\u00e9 ser \u00fanica. <\/p>\n<p>Como ejemplo pondremos las bases can\u00f3nicas de los sube.v. con lo que trabajaremos.<\/p>\n<p>Igual que antes, denominaremos dimensi\u00f3n de un subespacio vectorial al n\u00famero de vectores que contenga una de sus bases.<\/p>\n<p>Designaremos como recta a un sube.v. de dimensi\u00f3n 1, y como plano a un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n 2.<\/p>\n<p>La definici\u00f3n de base nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. As\u00ed, si \\(\\vec{v}\\in V\\), donde \\(V\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial f.g., y \\(B=\\{\\vec{v}_1,\\vec{v}_2,\\ldots,\\vec{v}_n\\}\\), decimos que \\((k_1,k_2,\\ldots,k_n)\\) son las coordenadas del \\(\\vec{v}\\) respecto de la base \\(B\\), si \\[\\vec{v}=k_1\\vec{v}_1+k_2 \\vec{v}_2+\\ldots+k_n\\vec{v}_n\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Consideremos \\(S=\\mbox{Gen}\\{(2,1,3),(-1,0,1)\\}\\), \u00bf(2,0,-1)\\(\\in S\\)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv61() {\n  var htmlShow61 = document.getElementById(\"html-show61\");\n  if (htmlShow61.style.display === \"none\") {\n    htmlShow61.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow61.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv61()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show61\" style=\"display: none;\">\nPara saber si (2,0,-1)\\(\\in S\\) nos basta con verificar si (2,0,-1) es combinaci\u00f3n lineal de los vectores de la base de \\(S\\), y eso lo vemos estudiando el rango de la matriz \\[\\begin{bmatrix}2&#038;1&#038;3\\\\ -1&#038;0&#038;1 \\\\ 2&#038;0&#038;-1 \\end{bmatrix}.\\]<br \/>\nSi el rango es dos, entonces (2,0,-1)\\(\\in S\\), si es tres, no pertenecer\u00e1.\n<\/div>\n<hr \/>\n<h2>El plano: \\(\\mathbb{R}^2\\)<\/h2>\n<p>\\(\\mathbb{R}^2\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0),\\vec{e}_2=(0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^2\\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial, entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in \\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>De este modo, cualquier \\(\\vec{x}=(x_1,x_2)\\in S\\subset\\mathbb{R}^2\\) cumplir\u00e1 \\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2 \\end{align*}\\]<\/p>\n<p>A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones param\u00e9tricas de la recta en el plano.<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Sean los vectores \\(\\vec{u}=(-1,-1)\\), \\(\\vec{v}=(-2,-1)\\), \u00bfgeneran el mismo subespacio vectorial?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv1() {\n  var htmlShow1 = document.getElementById(\"html-show1\");\n  if (htmlShow1.style.display === \"none\") {\n    htmlShow1.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow1.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv1()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show1\" style=\"display: none;\">\nNo, pues si generaran el mismo subespacio vectorial, la matriz \\[\\begin{bmatrix}-1 &#038; -1 \\\\ -2 &#038; -1 \\end{bmatrix}\\] tendr\u00eda que tener rango uno; pero vemos que \\[\\begin{vmatrix}-1 &#038; -1 \\\\ -2 &#038; -1 \\end{vmatrix}=-1\\neq 0,\\] por tanto tiene rango 2 y los vectores son l.i..\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x+y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv5() {\n  var htmlShow5 = document.getElementById(\"html-show5\");\n  if (htmlShow5.style.display === \"none\") {\n    htmlShow5.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow5.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv5()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show5\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x+y=0\\), luego \\(y=-x\\). Consideremos \\(x=\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=\\lambda\\\\ y&#038;=-\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(1,-1)\\}\\).\n<\/div>\n<hr\/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina una base dada por un vector unitario de subespacio \\(U=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;\\ x-2y=0\\}\\) <\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv51() {\n  var htmlShow51 = document.getElementById(\"html-show51\");\n  if (htmlShow51.style.display === \"none\") {\n    htmlShow51.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow51.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv51()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show51\" style=\"display: none;\">\nObservemos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\(x-2y=0\\), luego \\(x=2y\\). Consideremos \\(x=2\\lambda\\), tendremos que si \\((x,y)\\in U\\) cumple \\[\\begin{align*}x&#038;=2\\lambda\\\\ y&#038;=\\lambda \\end{align*}\\]<br \/>\nPor tanto,  \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,1)\\}\\). As\u00ed, \\(B=\\{(2,1)\\}\\) es una base, para hacer su vector unitario, lo dividimos por su norma:\\[\\frac{1}{\\sqrt{5}}(2,1).\\]\n<\/div>\n<hr\/>\n<h2>El espacio: \\(\\mathbb{R}^3\\)<\/h2>\n<p>\\(\\mathbb{R}^3\\) es un \\(\\mathbb{R}\\)-e.v.f.g. y \\(B=\\{\\vec{e}_1=(1,0,0),\\vec{e}_2=(0,1,0),\\vec{e}_3=(0,0,1)\\}\\) es su base can\u00f3nica. En \\(\\mathbb{R}^3\\) podemos encontrarnos con dos tipos de subespacios: las rectas y los planos.<\/p>\n<blockquote>\n<p>Si \\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) es un subespacio vectorial de dimensi\u00f3n uno, entonces existe un vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\in \\mathbb{R}^3\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3):\\lambda\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3 \\end{align*}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Los planos de \\(\\mathbb{R}^3\\) lo constituir\u00e1n los subespacios:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\\(S\\subset\\mathbb{R}^2\\) tal que \\[S=\\mbox{Gen}\\{\\vec{v},\\vec{u}\\}=\\{\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3):\\lambda,\\mu\\in \\mathbb{R}\\}\\] y sus ecuaciones param\u00e9tricas son:\\[\\begin{align*}x_1&#038;=\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]\n<\/p>\n<\/blockquote>\n<hr>\n<h2>El plano y el espacio afin<\/h2>\n<p>Intentamos definir un espacio donde podamos fijar los vectores de \\(\\mathbb{R}^2\\) o \\(\\mathbb{R}^3\\) de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguir\u00e1 en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>Podemos definir el plano af\u00edn \\(\\mathbb{R}^2\\) como el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto \\(\\mathbb{R}^2\\), como \\(\\mathbb{R}\\)-espacio vectorial, m\u00e1s una aplicaci\u00f3n especial \\(\\phi\\). Para notar los elementos de \\(\\mathbb{R}^2\\), considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos \\(P=(x,y)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\) escribimos como habitualmente hacemos, \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\in\\mathbb{R}^2\\), y les denominamos vectores del plano. La aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) ir\u00e1 del producto cartesiano \\(\\mathbb{R}^2\\times\\mathbb{R}^2\\) de los puntos en el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\); es decir, relacionar\u00e1 dos puntos con un vector.<\/p>\n<p>Con estos dos conjuntos, la aplicaci\u00f3n \\(\\phi\\) debe verificar:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\phi(P,Q)+\\phi(Q,R)=\\phi(P,R)\\) para todo \\(P,Q,R\\in\\mathbb{R}^2\\)<\/li>\n<li>Dado cualquier punto \\(P\\in\\mathbb{R}^2\\), y cualquier vector \\(\\vec{v}\\in\\mathbb{R}^2\\), existe un \u00fanico punto \\(Q\\in\\mathbb{R}^2\\) tal que \\(\\phi(P,Q)=\\vec{v}\\).<\/li>\n<\/ol>\n<p>Estas propiedades nos definen a \\(\\mathbb{R}^2\\) como un espacio af\u00edn sobre el espacio vectorial \\(\\mathbb{R}^2\\), que denominamos el <em>plano af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<p>Esta definici\u00f3n podemos trasladarla sin problemas al \\(\\mathbb{R}^3\\) definiendo el <em>espacio af\u00edn<\/em>.<\/p>\n<p>Con esta definici\u00f3n podemos abordar las variedades afines dadas por la recta en el plano af\u00edn, y, la recta y el plano, en el espacio af\u00edn.<\/p>\n<p>As\u00ed veremos que las ecuaciones param\u00e9tricas de una recta en el plano af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\\lambda(v_1,v_2),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Trasladar lo anterior al espacio af\u00edn resulta sencillo. Una recta en el espacio af\u00edn que pasa por un punto \\(P(p_1,p_2,p_3)\\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \\(\\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\\), vendr\u00e1 dada de la forma: \\[r=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3),\\lambda\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Si lo que deseamos es determinar un plano af\u00edn, necesitamos un punto y un subespacio director formado por dos vectores. \\[\\pi=\\{(x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\\lambda(v_1,v_2,v_3)+\\mu(u_1,u_2,u_3),\\lambda,\\mu\\in\\mathbb{R}\\}\\]<\/p>\n<p>Sus ecuaciones param\u00e9tricas ser\u00e1n \\[\\begin{align*}x_1&#038;=p_1+\\lambda v_1+\\mu u_1\\\\ x_2&#038;=p_2+\\lambda v_2+\\mu u_2\\\\ x_3&#038;=p_3+\\lambda v_3+\\mu u_3 \\end{align*}\\]<\/p>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que pasa por el punto \\(P(1,0,1)\\) y tiene por vectores directores \\(\\vec{u}=(-1,-1,0)\\), \\(\\vec{v}=(-2,0,-1)\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv2() {\n  var htmlShow2 = document.getElementById(\"html-show2\");\n  if (htmlShow2.style.display === \"none\") {\n    htmlShow2.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow2.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv2()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show2\" style=\"display: none;\">\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-\\lambda-2\\mu\\\\ y&#038;=-\\lambda\\\\ z&#038;=1-\\mu \\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina las ecuaciones param\u00e9tricas del plano que verifica que los puntos \\(P(1,0,1)\\), \\(Q(-1,2,1)\\) y  \\(R(1,2,-1)\\) son coplanarios<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv3() {\n  var htmlShow3 = document.getElementById(\"html-show3\");\n  if (htmlShow3.style.display === \"none\") {\n    htmlShow3.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow3.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv3()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show3\" style=\"display: none;\">\nComo necesitamos un punto y dos vectores directores, elegido \\(P(1,0,1)\\), tomamos \\(\\vec{v}=\\overrightarrow{QP}=(-1,2,1)-(1,0,1)=(-2,2,0)\\), \\(\\vec{u}=\\overrightarrow{RP}=(1,2,-1)-(1,0,1)=(0,2,-2)\\). As\u00ed ser\u00e1<br \/>\n \\[\\begin{align*}x&#038;=1-2\\lambda\\\\ y&#038;=2\\lambda+2\\mu\\\\ z&#038;=1-2\\mu \\end{align*}\\]\n<\/div>\n<hr>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> Determina un vector en la direcci\u00f3n del subespacio \\(U=\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\) de longitud 6.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv52() {\n  var htmlShow52 = document.getElementById(\"html-show52\");\n  if (htmlShow52.style.display === \"none\") {\n    htmlShow52.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow52.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv52()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show52\" style=\"display: none;\">\nQue un vector, \\(\\vec{v}\\), est\u00e9 en la direcci\u00f3n del subespacio significa que \\(\\vec{v}\\in\\mbox{Gen}\\{(2,0,1)\\}\\); es decir, existe un n\u00famero real, \\(\\lambda\\), tal que \\(\\vec{v}=\\lambda(2,0,1)\\). Que su longitud sea 6, nos dice que \\(\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=6\\). Luego \\[\\parallel\\vec{v}\\parallel=\\parallel(2\\lambda,0,\\lambda)\\parallel=\\sqrt{\\lambda^2(2^2+1^2)}=\\lambda\\sqrt{5}=6\\]<br \/>\nLuego \\[\\vec{v}=\\frac{6}{\\sqrt{5}}(2,0,1).\\]<\/p>\n<p>Observar que esto que hemos realizado es equivalente a considerar el vector unitario de la base y multiplicarlo por 6. Es decir, el vector que buscamos es \\[\\vec{v}=6\\frac{(2,0,1)}{\\parallel(2,0,1)\\parallel}.\\]\n<\/p>\n<\/div>\n<hr>\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es producto escalar del vector [3,2,1] y el vector unitario normal del plano que contiene los puntos P(1,2,3), Q(-1,0,2) y R(4,-2,0)?<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv43() {\n  var htmlShow43 = document.getElementById(\"html-show43\");\n  if (htmlShow43.style.display === \"none\") {\n    htmlShow43.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow43.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv43()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show43\" style=\"display: none;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c1lgebra Lineal - Ecuaci\u00f3n impl\u00edcita de un plano. Ej.1 - Jes\u00fas Soto\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wzkhsvP0peQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<hr \/>\n<blockquote>\n<p><strong>Ejercicio:<\/strong> Determinar si el punto \\(S(1,2,-1)\\) es coplanario a los puntos \\(P(2,1,3)\\),\\(Q(-1,0,1)\\) y \\(R(2,0,-1)\\).<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv71() {\n  var htmlShow71 = document.getElementById(\"html-show71\");\n  if (htmlShow71.style.display === \"none\") {\n    htmlShow71.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow71.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><\/p>\n<p><button onclick=\"showHtmlDiv71()\">Soluci\u00f3n:<\/button><\/p>\n<div id=\"html-show71\" style=\"display: none;\">\nSabemos que un plano viene formado por un punto y dos vectores directores. As\u00ed \\[\\pi:P+\\lambda\\ \\overrightarrow{PQ}+\\mu \\ \\overrightarrow{PR}.\\]<br \/>\nPor tanto, \\(S\\in \\pi\\) si \\[\\overrightarrow{PS}\\in\\mbox{Gen}\\{\\overrightarrow{PQ},\\overrightarrow{PR}\\}.\\]<br \/>\nAhora solo tenemos que estudiar el rango de la matriz:<br \/>\n\\[\\mbox{rank}\\begin{bmatrix}\\overrightarrow{PQ}\\\\ \\overrightarrow{PR}\\\\ \\overrightarrow{PS}\\end{bmatrix}=\\mbox{rank}\\begin{bmatrix}-3&#038;-1&#038;-2\\\\ 0&#038;-1&#038;-4 \\\\ -1&#038;1&#038;-4 \\end{bmatrix}.\\]<\/p>\n<\/div>\n<hr \/>\n<section class=\"al-aplicaciones\" aria-labelledby=\"al-titulo\">\n<div class=\"al-cierre\">\n<h2>Aplicaci\u00f3n<\/h2>\n<p>A continuaci\u00f3n, un documento con el planteamiento de un problema aplicado a la biotecnolog\u00eda (Optimizaci\u00f3n de Medios de Cultivo), donde se determina la independencia lineal y subespacios en \\(\\mathbb{R}^3\\), junto con su soluci\u00f3n detallada paso a paso:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/uploads.jesussoto.es\/mathbio\/Mathbio_problema_subespacios.thml\" style=\"color: #0066cc;\" target=\"_blank\">Independencia Lineal y Subespacios<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote><\/div>\n<\/section>\n<h3>Bibliograf\u00eda<\/h3>\n<ul>\n<li>\u00c1lgebra lineal y sus aplicaciones. 5\u00ba edici\u00f3n, David C. Lay. Pearson. 2016.<\/li>\n<\/ul>\n<hr>\n<table id=\"yzpi\" border=\"0\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"3\" bgcolor=\"#999999\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"100%\"><strong>Ejercicio:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l de los puntos dados es colineal con los puntos P(2,2,-1), Q(1,2,-3) y R(3,-2,1)? <\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"menu-a\">\n<ul>\n<li>(-4,1,6)<\/li>\n<li>(0,2,-5)<\/li>\n<li>(-1,1,5)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><script>\nfunction showHtmlDiv(id) {\n  var htmlShow = document.getElementById(id);\n  if (htmlShow.style.display === \"none\") {\n    htmlShow.style.display = \"block\";\n  } else {\n    htmlShow.style.display = \"none\";\n  }\n}\n<\/script><br \/>\n<p><em>La soluci\u00f3n se mostrar\u00e1 m\u00e1s adelante.<\/em><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El pasado d\u00eda definimos un espacio vectorial como un conjunto de elementos, que llamaremos vectores, que cumple determinadas propiedades respecto de un cuerpo, en nuestro caso \\(\\mathbb{R}\\), los n\u00fameros reales. 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