Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales:
Tomemos \(\mathbb{K}\) el cuerpo \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\), y consideremos \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) una matriz y \(A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]\) (respectivamente \(A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’\)) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\) la matriz tal que \(b_{ij}=a_{ij}\) salvo los elementos de la fila \(B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]\) (\(B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’\)) que son \(b_{ik}=a_{ik}+\lambda a_{jk}\) para \(k=1,\ldots,n\)(\(k=1,\ldots,m\) ) y cierta fila(columna) \(j\) y \(\lambda\in\mathbb{K}\). Entonces decimos que las matrices \(A\) y \(B\) son semejantes por transformaciones elementales.
De forma abreviada, indicamos la semejanza de matrices como \(A\sim B\). Formalmente \[A\sim B\Rightarrow \exists E;\, EA=B,\] siendo \(E\) la matriz identidad, del mismo orden que filas tiene \(A\), a la que se le han aplicado operaciones elementales por fila.
Por ejemplo, restarle a la segunda fila de matriz \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), la primera fila, sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{f_2-f_1}{\rightarrow}\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c-a&d-b\end{bmatrix}\]
De igual modo, permutar la segunda fila por la primera de la matriz \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\), sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{f_1\leftrightarrow f_2}{\rightarrow}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}\]
Si deseamos multiplicar la segunda fila por un escalar sería
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{3f_2}{\rightarrow}3\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\ 3c&3d\end{bmatrix}\]
Si ahora unimos las dos primeras operaciones elementales, tendremos
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{\overset{f_2-f_1}{f_1\leftrightarrow f_2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c-a&d-b\\a&b\end{bmatrix}\]
Con la tercera, tendremos
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\overset{\overset{f_2-f_1}{f_1\leftrightarrow f_2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix}c-a&d-b\\a&b\end{bmatrix}\overset{3f_2}{\rightarrow}\begin{bmatrix}c-a&d-b\\ 3a&3b\end{bmatrix}\]
De este modo, la matriz \(E\), anterior es el resulta de multiplicar las matrices de cada una de las operaciones elementales realizada a la matriz identidad\[E=E_kE_{k-1}\cdots E_1.\]
Este proceso por filas se puede hacer por columnas; sin embargo, en ese caso \[AE_1E_2\cdots E_k=B.\]
Resumiendo: Si dos matrices, \(A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), son semejantes por transformaciones elementales por fila(o columna) entonces existe una matriz \(F\in \mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\) (\(C\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\)) tales que
\[B=FA\,(B=AC).\]
Proposición: Dadas las matrices \(A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})\), tales que \(A\sim B\), se cumple que si \[[A|I_m]\sim [B|P],\] entonces \(P\in\mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\), verifica \(B=PA\), donde \(I_m\in\mathcal{M}_{m}(\mathbb{K})\) es la matriz identidad de orden \(m\)
Ejercicio: Dadas las matrices \(A=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\\ -1&2\end{bmatrix}\) y \(B=\begin{bmatrix}0&3\\ -3&3\\ 0& 2\end{bmatrix}\). ¿Cuál es la matriz \(P\) que cumple \(B=PA\)?
Matriz escalonada
Decimos que una matriz es escalonada, cuando dado una matriz podemos encontrar una matriz semejante por transformaciones elementales que tiene en alguna de sus filas (columnas) todo los elementos cero. La matriz resultante escalonada será la matriz escalonada con mayor número de filas (columnas) todo cero que podamos conseguir.
Ejercicio: Encontrar la matriz \(P\) que multiplicada a la matriz \(A=\begin{bmatrix}1&2&0\\ 2&i&1\\ 3&2+i&1\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) la transforma en una matriz escalonada.
Rango de una matriz
Con estas definiciones podemos dar el rango de una matriz como el número de filas (columnas) distintas de cero de su matriz escalonada.
Ejercicio: ¿Cuál es el rango de la matriz \(A=\begin{bmatrix}a&a&1&1\\ 1&a&a&1\\ 1&1&a&a\\ a&1&1&a\end{bmatrix}\) dependiendo del valor de \(a\)?
Una propiedad interesante es que el rango de una matriz siempre es el mismo, independientemente que se consideren filas o columnas.
Ejercicio: ¿Cuál es la traza del producto \(\begin{bmatrix}1&2&3\\ 1&-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&2\\ 1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)? |