La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.
El propósito es dada una matriz \(A\) conseguir descomponer esta en un producto \[\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}\] de manera \(\textbf{L}\) sea triangular inferior y \(\textbf{U}\) triangular superior.
Recordad que una operación elemental entre filas se puede considerar como una matriz. De esta manera Podemos realizar una serie de operaciones elementales entre filas para transformar la matriz de partida \(A\), en una matriz escalonada (triangular superior). Es decir;
\[E_k\,E_{k-1}\cdots E_1\, \textbf{A}= \textbf{U}.\]
Como cada matriz \(E_i\) es regular (por sus propiedades), entonces:
\[\textbf{A}= E_1^{-1}\, E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}\, \textbf{U}\]
Así será \[\textbf{L}=E_1^{-1}\, E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}.\]
Es fácil comprobar que \(L\) es triangular inferior. El propósito es que la diagonal principal de \(L\) serán todo unos; así
\[|\textbf{A}|=|\textbf{L}\textbf{U}|=|\textbf{L}|\cdot|\textbf{U}|=\prod_{i=1}^nu_{ii}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
-3 & -4 & 13 \\
2 & 1 & -5
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿cuál es la traza de la matriz \(\textbf{U}\) resultado de su factorización \(\textbf{LU}\)?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
2 & -4 & 3\\
6 & -8 & 5 \\
6 & 1 & 7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿cuánto suman los elementos de la matriz \(\textbf{L}\) resultado de su factorización \(\textbf{LU}\)?
Teorema: Si \(|A|\neq 0\) y existe una factorización \(A=LU\), esta es única
Sistemas
Uno de los usos está en la posibilidad de resolver sistemas de ecuaciones. Consideremos queremos resolver el sistema de ecuaciones \[\textbf{A}x=\textbf{b},\] donde \(\textbf{A}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\). Si conseguimos una factorización \[\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U},\] donde \(\textbf{L}\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})\), y, \(\textbf{U}\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\), resultará
\[\textbf{A}x=(\textbf{L}\textbf{U})x=\textbf{L}(\textbf{U}x)=\textbf{b}.\]
Para resolver el problema podemos afrontar la estrategia de resolver primero:
\[\textbf{L}y=\textbf{b},\] para después
\[\textbf{U}x=\textbf{y}.\]
Como ambas matrices \(\textbf{L}\) y \(\textbf{U}\) son triangulares su solución es fácil mediante sustitución.
Ejercicio: Encontrar la factorización \(\textbf{LU}\) que permita resolver el sistema \(Ax=b\) donde \[A=\begin{bmatrix}
3 & -7 & -2 & 2\\
-3 & 5 & 1 & 0 \\
6 & -4 & 0 & -5\\
-9 & 5 & -5 & 12
\end{bmatrix},\ A=\begin{bmatrix} -9\\ 5\\ 7\\ 11\end{bmatrix}\]
Matriz Permutación
En ocasiones no es posible encontrar una factorización LU así; por ejemplo si nos aparece un cero en la diagonal principal de la matriz U. En tal caso debemos permutar las filas o columnas de la matriz \(A\) para que no ocurra. Pero si lo hacemos debemos observar que ahora buscaremos una factorización de \(PA\) no de \(A\). Es decir, \[PA=LU.\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 4 & -3\\
2 & 8 & 1 \\
-5 & -9 & 7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿cuánto suman los elementos de la matriz \(\textbf{L}\) resultado de su factorización \(\textbf{LU}\)?
Matrices rectangulares
Un enfoque curioso es abordar una pseudo-factorización LU cuando la matriz \(A\) no es cuadrada. Supongamos que \(A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\). En este caso podemos buscar una factorización \[\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}\] de manera \(\textbf{L}\) sea triangular inferior, de orden \(n\) y \(\textbf{U}\) escalonada, de manera que, la submatriz cuadrada cuya diagonal principal es la diagonal principal de \(\textbf{U}\), es una matriz triangular superior. Por ejemplo,
\[\begin{bmatrix}
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
*&*&*&*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
*&1&0\\
*&*&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&0&*&*
\end{bmatrix}
\]
o
\[\begin{bmatrix}
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
*&*&*&*
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0\\
*&1&0&0&0\\
*&*&1&0&0\\
*&*&*&1&0\\
*&*&*&*&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&0&*&*\\
0&0&0&*\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\]
Podremos hacer esta factorización, si los menores principales de \(A\) son todos distintos de cero.
Un resultado equivalente sería:
Teorema: Sea \(A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})\) una matriz que se puede reducir a una forma escalonada efectuando únicamente operaciones elementales de eliminación (operaciones del tipo \(\alpha f_i+f_j\) con \(i <j\)). Entonces existe una matriz \(n\times n\) triangular inferior \(L\) con unos en la diagonal principal y una matriz \(n\times m\), \(U\) con \(u_{ij} = 0\) si \(i >j\) tales que \(A=LU\).
Lo dicho anteriormente no garantiza la existencia o unicidad de la factorización; sin embargo,
Teorema: Sea \(A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\), con una factorización \(A=LU\). Si \(rank(A)=n\)(\(U\) no tiene una fila de ceros) la factorización es única
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
3 & -1 & 4 & 2\\
1 & 2 & -3 & 5 \\
2 & 4 & 1& 5
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_{3\times 4}(\mathbb{R}),\] ¿cuánto suman los elementos de la primera columna de la matriz \(\textbf{L}\) resultado de su factorización \(\textbf{LU}\)?
Aplicación
El Boeing X-48 es un vehículo aéreo no tripulado (UAV) experimental de investigación de las características de aviones de ala integrada (BWB), un tipo de ala volante. Para su diseño, los ingenieros de Boeing’s Phantom Works usan el modelado tridimensional (3D) y la dinámica de fluidos computacional (DFC). Con la teoría DFC utiliza sistemas de ecuaciones que describen el flujo del aire sobre la superficie de la aeronave. El proceso para encontrar el flujo de aire alrededor de la aeronave implica la solución repetida de un sistema de ecuaciones lineales \(\textbf{A}x=\textbf{b},\) que puede implicar hasta dos millones de ecuaciones y variables, además de que el vector \(\textbf{b}\) cambia a cada momento. Los sistemas resultantes son muy complicados. El programa computacional DFC aplicado en el Boeing utiliza la factorización LU de la matriz de coeficientes de estos sistemas.
Así, para poder analizar una solución de un sistema de flujo de aire, los ingenieros tienen que visualizar el flujo de aire sobre la superficie de la aeronave; para ello, utilizan gráficos generados por computadora, y el álgebra lineal proporciona las herramientas para trazarlas.
De Tony Landis for NASA – Este archivo fue catalogado por Armstrong Flight Research Center de la <a href=»//commons.wikimedia.org/wiki/National_Aeronautics_and_Space_Administration» class=»mw-redirect» title=»National Aeronautics and Space Administration»>Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio</a> (<a href=»//commons.wikimedia.org/wiki/NASA» title=»NASA»>NASA</a>) de los Estados Unidos de Américabajo el identificador de foto: <a rel=»nofollow» class=»external text» href=»https://images.nasa.gov/search-results?q=ED06-0198-62″>ED06-0198-62</a>., Dominio público, Enlace
Ejercicio: Sea \(A\)=[[-1,-7,-3], [2,15,6], [1,3,2]], ¿cuál es el valor de la traza de su matriz adjunta? |