El pasado día vimos como realizar transformaciones elementales para encontrar una matriz escalonada de cualquier matriz. Estas operaciones son fáciles con maxima utilizando estos comandos:
- rowop(\(M\), i, j, \(\alpha\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve la misma donde la \(f_i\leftarrow f_i-\alpha f_j\).
- rowswap(\(M\), i, j): dada la matriz \(M\) nos devuelve la misma donde la se han intercambiado las filas i y j, \(f_i\leftrightarrow f_j\).
- columnop(\(M\), i, j, \(\alpha\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve la misma donde la \(c_i\leftarrow c_i-\alpha c_j\).
- columnswap(\(M\), i, j): dada la matriz \(M\) nos devuelve la misma donde la se han intercambiado las columnas i y j, \(c_i\leftrightarrow c_j\).
Con estos comandos podemos realizar las operaciones elementales que tratamos en clases anteriores. Sin embargo, una de las operaciones tiene un procedimiento más delicado: la multiplicación de una fila por un escalar. Imaginemos que el elemento \(a_{ic}=\gamma\) de una matriz queremos que su valor sea \(\beta\), necesitamos saber qué escalar \(\alpha\) debemos multiplicar a la fila \(f_i\) para que el comando rowop(\(M\), i, i, \(\alpha\)) transforme \(a_{ic}=\gamma\) en \(a_{ic}=\beta\). Luego \[\beta f_i={\gamma}f_i \ -\ {\gamma}{\alpha}f_i\to \alpha=1-\frac{\beta}{\gamma}.\]
De esta forma, solo necesitamos sustituir para encontrar el \(\alpha\) apropiado que nos proporcione \(\beta\).
Ejercicio: Dada la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1 &1
\end{bmatrix},\) calcular su pseudoinversa por la derecha.
A veces, podemos necesitar comando que nos ayuden a simplificar expresiones, algunos son:
- expand(expr): Expande la expresión expr. Los productos de sumas y de sumas con exponentes se multiplican, los numeradores de las expresiones racionales que son sumas se separan en sus respectivos términos, y las multiplicaciones (tanto las que son conmutativas como las que no) se distribuyen sobre las sumas en todos los niveles de expr.
- radcan(expr): Simplifica la expresión expr, que puede contener logaritmos, exponenciales y radicales, convirtiéndola a una forma canónica, lo que significa que todas las expresiones funcionalmente equivalentes se reducen a una forma única.
- ratsimp(expr): Simplifica la expresión expr y todas sus subexpresiones, incluyendo los argumentos de funciones no racionales.
- fullratsimp(expr): Aplica repetidamente ratsimp a una expresión, seguida de simplificaciones no racionales, hasta que no se obtienen más transformaciones; entonces devuelve el resultado.
Podéis ver más en Funciones y variables para simplificación
Cálculo de la inversa de una matriz
El procedimiento común para el cálculo de la inversa de una matriz(en caso de existir) puede plantearse como el algoritmo dado mediante transformaciones elementales:
\[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, A^{-1}].\]
Ejercicio: Calcula mediante operaciones elementales la inversa de la matriz \[\begin{bmatrix}3 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & 2 & 2\\ 4 & 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -3 & 0\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 1 & -1 & -i\\
0 & i & 1 & 1 \\
0 & 0 & i & -1 \\
0 & 0 & 0 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto suman los elementos de la cuarta columna de la inversa?
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)=[[-1,1,3],[1,-2,0],[1,-2,1],[1,0,1]], estudiar si tiene pseudoinversa y determinarla en su caso
Bibliografía
- Arriaza Gómez A. J., del Águila Garrido L., Rambla Barreno F., Redondo Neble M. V., Rodríguez Galván J. R., Viglialoro G. Manual de prácticas de Matemáticas con Máxima. Cádiz: Editorial UCA; 2015.
Ejercicio: Sea la matriz [[1,2,-3],[-2,0,4],[0,4,-2],[-2,-4,\(a\)]], ¿cuál es el valor de \(a\) para que el rango de la matriz sea par? |