EFM: Sistemas no homogéneos. Variación de parámetros

Recordemos que partimos de un sistema de ED en la forma matricial $$X’=A\,X+B(t),$$ donde consideraremos $A$ una matriz cuadrada de valores constantes, y $B(t)$ una matriz de valores constantes o funcionales, no siendo todos cero.

Si resulta que la solución de la parte homogénea la podemos obtener como $$X_h=\Phi(t)\,C,$$ siendo $C$ la matriz de constantes, la solución general vendrá dada mediante
$$X=\Phi(t)\,C+\Phi(t)\int\Phi^{-1}(t)B(t)dt$$

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
-3 & 1\\
2 & -4\\
\end{pmatrix}X+\begin{pmatrix}3t\\ e^{-t}\end{pmatrix}$$
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EFM: Sistemas no homogéneos. Coeficientes indeterminados

Los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros que se utilizaron para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas pueden adaptarse a la resolución de sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos, la variación de parámetros es la técnica más eficaz. No obstante, hay casos donde el método de coeficientes indeterminados ofrece un medio rápido para encontrar una solución particular.

Hemos visto que la solución general de un sistema lineal no homogéneo $X’=AX+F(t)$ en un intervalo $I$, es $X=X_h+X_p$ donde $$X_h=c_1X_1+c_2X_2+\ldots + c_nX_n$$
es la solución general del sistema lineal homogéneo asociado $X’=AX$ y $X_p$ es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. Se ha visto cómo obtener $X_h$ cuando $A$ era una matriz de constantes de orden $n\times n$; ahora consideraremos método de coeficientes indeterminados para obtener $X_p$.

el método de coeficientes indeterminados consiste en establecer conjeturas informadas acerca de la forma de un vector de solución particular $X_p$; la conjetura está basada en los tipos de funciones que comprenden las entradas de la matriz columna $F(t)$. No sorprende que la versión matricial de coeficientes indeterminados sea sólo aplicable a $X’=AX+F(t)$ cuando los elementos de $A$ son constantes y los de $F(t)$ son constantes, polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, o sumas finitas y productos de estas funciones.

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-1 & 1\\
\end{pmatrix}X+\begin{pmatrix}
-8\\
3\\
\end{pmatrix}$$ en $(-\infty,\infty)$
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ALG: Matriz de Gram

El pasado día definimos el producto escalar y la norma de un espacio euclídeo. La métrica que define el producto escalar puede se usada mediante la matriz de Gram. Sea $(E,\bullet)$ el espacio vectorial euclídeo y $B=\{\textbf{u_1},\ldots,\textbf{u_n}\}$ una base de $E$, llamamos matriz de Gram, respecto de la base $B$, a la matriz $G=[g_{ij}=\textbf{u_i}\bullet \textbf{u_j}]$. Notar que la matriz $G$ siempre es simétrica.

De este modo, dados $\textbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $\textbf{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in E$, será $$\textbf{x}\bullet \textbf{y}=\textbf{x}^t\, G\, \textbf{y}=[x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]G\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$$

Terminamos repasando ejercicios para el parcial.

Ejercicio: Sea $\mathbb{R}_2[X]$, el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1]. Probar que la aplicación $p\bullet q$, que dados p=p0+p1x+p2x2, y, q=q0+q1x+q2x2, le hace corresponder

$p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx$

es un producto escalar. Calcular su matriz de Gram respecto de la base $\{1,1-x,1-x^2\}$.

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ALG: Espacio Euclídeo

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o variedadas.

Objetivos

  • Conocer y saber determinar un producto escalar y sus propiedades.
  • Saber calcular la matriz de Gram o métrica de un producto escalar
  • Conocer y saber determinar la norma de un vector y sus propiedades.
  • Conocer y determinar vectores ortogonales y ortonormales y sus propiedades.
  • Calcular bases ortonormales.
  • Conocer el espacio vectorial euclídeo canónico Rn
  • Conocer y determinar una proyección ortogonal de un vector.
  • Saber calcular el complemento ortogonal de un subespacio y sus propiedades.
  • Conocer y saber calcular transformaciones y matrices ortogonal y sus propiedades

Para ello comenzamos con la definición del producto escalar en un espacio vectorial, la norma de un vector, distancia entre dos vectores y el ángulo de dos vectores.

Recordad que este tema lo estamos basando en el Capítulo 8 del libro Álgebra lineal. Definiciones, Teoremas y Resultados, de Juan de Burgos, Ingebook.

Ejercicio: Sea $\mathbb{R}_2[X]$, el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1]. Probar que la aplicación $p\bullet q$, que dados p=p0+p1x+p2x2, y, q=q0+q1x+q2x2, le hace corresponder

$p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx$

es un producto escalar. Calcular el coseno de los polinomios $p(x)=x^2+2$, $q(x)=x-x^2$

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EFM: Sistemas con autovalores complejos

Por último tenemos que la solución de $p_A(\lambda)=0$ sea compleja; es decir, $\lambda=\alpha\pm \beta i$, en ese caso la solución general será de la forma
$$X=c_1\vec{v}e^{\lambda t}+c_2\bar{\vec{v}}e^{\bar{\lambda} t},$$ donde $\bar{\lambda}$ es el conjugado de $\lambda$ y $\bar{\vec{v}}$ es el vector conjugado del vector propio $\vec{v}$. Esta forma también se puede expresar utilizando los senos y cosenos:

$$e^{(\alpha +\beta i)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\,\sin(\beta t))$$

Por tanto, si $\lambda=\alpha +\beta i$, el el valor propio y $\vec{v}=v_1 +iv_2$ su vector propio asociado, las soluciones serán
$$
\begin{align*}
X_1&=e^{\alpha t}(v_1\cos(\beta t)-v_2\sin(\beta t)) \\
X_2&=e^{\alpha t}(v_1\sin(\beta t)+v_2\cos(\beta t)) \\
\end{align*}
$$

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
4 & 1\\
\end{pmatrix}X$$
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ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso contrario se dice que se cruzan.

Si conocemos las ecuaciones implícitas de las dos variedades, el conjunto $L_1\cap L_2$ viene dado por los puntos cuyas coordenadas, respecto del sistema de referencia considerado, son las soluciones del sistema que resulta de reunir todas las ecuaciones implícitas. Si denotamos por $n=dim(E)$, siendo $E$ el espacio afín, $r=dim(L_1)$ y $s=dim(L_2)$, y suponiendo que $r\leq s$, el sistema formado por todas las ecuaciones es un sistema de $2n-r-s$ ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial: $AX=B$. Según que el rango de la matriz de coeficientes coincida con el rango de la ampliada obtenemos la diferencia entre variedades que se cortan o que no se cortan. Si $rg(A)$ es $n-r$, entonces la dimensión de $C_1\cap C_2$ será $r$ y por tanto $C_1\cap C_2=C_1$, con lo que $C_1\subseteq C_2$.

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

 

Ejercicio: Estudiar la posición relativa de las variedades lineales afines de $\mathbb{R}^4$: $\pi_1:\, x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $\pi_2:\, x_1=x_2=x_3=x_4$
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EFM: Sistemas con autovalores dobles

Recordad que llevamos visto cuando todos los autovalores son distintos. Para los demás casos, empezaremos con $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, de este modo el polinómio característico de esta matriz será $p_A(\lambda)\in\mathbb{R}_2[X]$. Las soluciones dependerán de los valores propios que nos de la ecuación característica $p_A(\lambda)=0$.

Si los valores propios son distintos estamos en el caso general, visto anteriormente.

Supongamos que $\lambda_1=\lambda_2$; es decir, $p_A(\lambda)=0$, tiene un cero de multiplicidad doble y un único vector propio $\vec{v}$, entonces la solución será de la forma $$X=c_1\vec{v}e^{\lambda_1t}+c_2(\vec{v}t+\vec{u})e^{\lambda_1t},$$ donde $\vec{u}$ es un vector que tendremos que deducir con las condiciones del sistema. Para encontrar $\vec{u}$ podemos hacerlo con la ecuación $$(A-\lambda I)\vec{u}=\vec{v}$$

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
-4 & -1\\
4 & -2\\
\end{pmatrix}X$$
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EFM: Sistema de ED

Hoy comenzamos el tema 6, dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales. En general un sistema como

$$X’=AX+B,$$

escrito en forma matricial. A y B son una matrices de funciones, aunque nosotros nos centraremos cuando A sea una matriz de coeficientes constantes y reales.

Para tratar los Sistemas de ED necesitamos repasar el cálculo de los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C})$ la matriz cuadrada y $I$ la indentidad en $\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$.

El polinomio p(λ) = det(A – λI) es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n\}$, que se determina resolviendo el sistema homogeneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.

Podéis ver más ejemplos en Linear Algebra/Eigenvalues and Eigenvectors.

El caso más sencillo es cuando la $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tenga $n$ valores propios todos distintos, en tal caso, la solución general será
$$X=c_1\vec{v}_1e^{\lambda_1t}+c_2\vec{v}_2e^{\lambda_2t}+\ldots+c_n\vec{v}_ne^{\lambda_nt},$$ donde $\vec{v}_i$ es el vector propio asociado al valor propio $\lambda_i$.

 

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
4 & 1\\
\end{pmatrix}X$$
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ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) .

El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

Así un sistema será:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Compatible \\
rang(A)=rang(A|B)
\end{array}\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Determinado \\
rang(A)=\mbox{Número de incógnitas}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
Indeterminado \\
rang(A)<\mbox{Número de incógnitas} \end{array} \\ \end{array}\right.\\ \begin{array}{c} Incompatible \\ rang(A)\neq rang(A|B) \end{array}\\ \end{array}\right. $$ Para resolver un sistema compatible sólo tenemos que encontrar un menor de $A$ distinto de cero y del mismo orden que en rango de $A$. Supongamos que $\bar{A}$ es la submatriz de $A$ cuyo menor es el que buscamos. Entonces $A|B$ se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz $$(A|B)\sim\left(\begin{array}{c} \bar{A}\,\bar{P}\\ 0\end{array}\left|\begin{array}{c} \bar{B}\\ 0\end{array}\right.\right)$$ Donde $\bar{P}$ son o $0$ o las columnas de la martiz $A$ tales que $$rang(A)+\mbox{nºcolumnas}(\bar{P})=\mbox{Número de incógnitas}.$$ De este modo el sistema tendrá por solución $$\bar{X}=inv(\bar{A})\cdot (\bar{B}-\bar{P}K),$$ donde $K$ son las variables, en forma de parámetros, que faltan en el menor de $\bar{A}$, y tales que $X^t=(\bar{X}^t K^t)$. Utilizar las ecuaciones implícitas nos sirve para encontrar con más facilidad la intersección de dos subespacios: $S\cap T$ estará formado por las ecuaciones implícitas de $S$ más la de $T$.

Ejercicio: Discutir cuando el sistema ax+by+z=1, x+3by+z=b, x+by+az=1, es compatible y determinado, dependiendo de los valores de a y b.
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ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$

Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican.

Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de dar sentido a las estructuras que conocemos de unir puntos con vectores. Ahora ya podemos hablar de rectas de puntos en el plano, o planos de puntos en el espacio.

Como en el caso de las variedades lineales podemos encontrar la variedad afín definida por las ecuaciones paramétricas o implícitas.

La introducción de las variadedes nos lleva a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para resolverlas utilizamos las matrices. Así todo sistema de ecuaciones lineales lo podemos plantear como un sistema matricial de la forma Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema, x es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes:

Para tratarlos mejor podemos intentar transformalos en sistemas escalonados, que es resultado de transformar la matriz ampliada [A b], mediante operaciones elementales de fila, en una matriz escalonada. Es te el método que conocemos como método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones más sencillos resultan aquellos que podemos emplear la regla de Cramer.

La importancia de Teorema de Rouché-Frobenius estriba en que determina cuando un sistema tiene solución o no. Este resultado junto con el anterior nos permiten resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones como los ejercicios que hemos realizado.

 

Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas e implícitas de la variedad afín dada por el punto P(1,0,-1,1) y el subespacio generado por los vectores $\vec{v}=(1,1,2,1)$, $\vec{u}=(-1,0,0,1)$.
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