EFM: Concepto de ED. Soluciones.

Hoy hemos visto la definición y tipos de ecuaciones diferenciales, donde trabajamos la definición formal de una ED y clasificando las mismas de acuerdo con su tipo, orden y linealidad; cómo realizar las gráficas de las soluciones de ED; sus tipos de soluciones: trivial, explicitas e implícitas.

Trataremos con más frecuencia las soluciones generales paramétricas de un Problema de valores iniciales y, en algunos casos, veremos soluciones singulares.

Un Problema de valor inicial es una ecuación diferencial $y'(x)=f(x,y(x))$ con $f\colon \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, donde $\Omega$ es un conjunto abierto de $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$, junto con un punto en el dominio de $f$, $(x_{0},y_{0})\in \Omega$ llamada la condición inicial. Una solución a un problema de valor inicial es una función $y$ que es una solución a la ecuación diferencial y satisface
$y(x_{0})=y_{0}$.

Nosotros trabajaremos principalmente con la solución general, una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Como dependiendo del parámetro será una función distinta, decimos familia de soluciones $n$-paramétricas. A veces por abreviar, monoparamétricas, si es de un sólo parámetro; biparamétrica, …

Que existan una solución en particular dependerá de la función $f(x,y)$, de la EDO. El teorema de Picard nos lo confirma:

Sea $f(x,y):\Omega \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ donde $\Omega$ es un abierto, y $f$ una función continua y localmente Lipschitz respecto de $y$. Entonces, dado $(x_{0}, y_{0})\in \Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\alpha }=[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]\subset \mathbb {R} ,\alpha \in \mathbb {R}$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
$$\begin{cases}x’=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases},$$
que cumple que los pares $\in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}$.

Terminamos repasando ejercicios de cómo dadas la familia de soluciones podemos encontrar la ecuación diferencial que la proporciona.

Recordad que para este propósito nos basta con diferenciar: Supongamos $F(x,y(x))=c$ es la familia, en este caso, monoparamétrica de soluciones, si diferenciamos

$$\begin{align*}
d(F(x,y(x)))=d(c)&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_xF(x,y)dx+\partial_yF(x,y)dy&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_xF(x,y)+\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}&=-\partial_xF(x,y) \\
&\Downarrow \\
\frac{dy}{dx}&=-\frac{\partial_xF(x,y)}{\partial_yF(x,y)}\end{align*}$$

 

Ejercicio: Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro $x^3+y^3=3cxy$, se denominan folia de Descartes. Verificar si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden: $$\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^3-2x^3)}{x(2y^3-x^3)}$$
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ALG: Matrices

Comenzamos con el tema de Matrices, donde veremos:

  • Definición

    • Matriz columna, matriz fila
    • Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular…
  • Operaciones con matrices

    • Suma de matrices
    • Multiplicación de escalar por matriz.

Lo primero será definir las matrices. Llamamos matriz fila a una disposición de $p$ escalares de un cuerpo colocado en una fila por $p$ columnas, $A_f=[a_1\,a_2\,\ldots\,a_p]$, y del mismo modo definimos matriz columna disponiendo los $p$ escalares sobre un columna: $B_c=\begin{bmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}$.

De esta forma una matriz de $n\times m$ a una disposición de $n$ matrices fila o $m$ matrices columna;
$$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &\ldots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \vdots &\ldots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\ldots & a_{nm}
\end{bmatrix}.$$

Notar que los elementos $a_{ij}\in\mathbb{K}$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo, que habitualmente será los reales o los complejos.

Ahora podemos definir la suma de matrices,$A=[a_{ij}]_{nxm}$ y $B=[b_{ij}]_{n\times m}$, como otra matriz de la siguiente forma:
$$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{n\times m}.$$
Y el producto por escalar, $\lambda\in \mathbb{K}$, de la forma:
$$\lambda A=[\lambda a_{ij}]_{n\times m}.$$

Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{n\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos,

  • $(A+B)+C=A+(B+C)$
  • $A+B=B+A$
  • $A+0=0+A$, siendo 0 la matriz de $m\times n$ elementos todos 0.
  • Existe $B\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+B=B+A=0$, a esta matriz la llamamos opuesta de $A$ y la designamos por $-A$.
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
  • $(\lambda + \mu)A=\lambda A+\mu A$
  • $(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)$

Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicación de matrices:

Definimos el producto de una matriz fila $A_f$ por una matriz columna $B_c$, siempre que el número de columnas de la matriz fila coincida con el número de filas de la matriz columna, como el producto escalar considerándolos vectores la matriz fila $A_f$ y la traspuesta de $B_c$:
$$A_f\cdot B_c=[a_1\,a_2\,\ldots\,a_p]\bullet \begin{bmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}=(a_1\,a_2\,\ldots\,a_p)\cdot \begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{pmatrix}^t=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_pb_p.$$

De este modo el producto de dos matrices $A=[a_{ij}]_{n\times p}$ y $B=[b_{ij}]_{p\times m}$ es la matriz $$C=[A_i\bullet B_j]_{n\times m},$$
donde $A_i$ es la fila $i$ de la matriz $A$ y $B_j$ la columna $j$ de la matriz $B$. Esta forma de definir el producto es equivalente a la denotada por $A\cdot B,\;A\times B,\;A\circ B$ o simplemente $AB$, la matriz $C$:
$$C=AB=[c_{ij}]_{n\times m}=\left[\sum _{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}\right]$$

Propiedades que cumple la multiplicación de matrices:

  • $(AB)C = A(BC)$
  • $(A + B)C = AC + BC$
  • $C(A + B) = CA + CB$
  • Si A es una matriz cuadrada de tamaño $m$, entonces la matriz identidad $I_{m\times m}$ (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicación) de manera que: $I·A = A·I = A$
  • El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, $AB \neq BA$.
Ejercicio: Probar que si $A$ y $B$ son dos matrices que se pueden multiplicar, entonces $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$.
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EFM: Ecuaciones Diferenciales (ED)

Hasta ahora hemos visto ejemplo donde aparecen ecuaciones diferenciales, hoy damos su definición. Para nosotros, llamaremos ecuación diferencia a una ecuación del tipo
$$F(t,y,y’,y”,\ldots,y^{(n)})=0,$$
que relaciona una variable independiente $t$ y una función $y=y(t)$ junto con una o más de sus derivadas.

En base a esta definición hemos establecido ciertas diferencias entre las ED. Como un ejemplo más hemos propuesto la Ley de Enfriamiento de Newton

Ejercicio: Se reconoce comunmente que la tasa o razón con que se difunde una enfermedad no solo es proporcional a la cantidad de personas, $x(t)$, que la han contraído en el momento $t$, sino también a la cantidad de sujetos, $y(t)$, que no han sido expuestos todavía al contagio. Establece la ecuación diferencial del sistema.
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ALG: Presentación

En la presentación del día de hoy hemos visto

  • Presentación
  • Objetivos de la asignatura
  • Metodología y Evaluación
  • Bibliografía

Objetivos, Metodología y Evaluación

Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado .

 

Bibliográfica

Básica

  • Grossman, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 2008
  • www.ingebook.com

Aconsejable

  • Jorge Arvesu y otros, Problemas resueltos de Álgebra lineal. Thomson, 2005.
  • Luis Merino, Algebra Lineal con métodos elementales, Thomson, 2006
  • José García García y Manuel López Pellicer, Álgebra Lineal y Geometría. Marfil. 1992.
  • Félix García Merayo, Matemática Discreta. Thomson, 2005
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EFM: Ejemplos

Terminamos exponiendo unos ejemplos más, como las ecuaciones diferenciales que encontramos al buscar la corriente en circuitos RL, LC o RCL.

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EFM: La clepsidra

Hoy hemos visto otro ejemplo de un problema físico que se resuelve mediante una ecuación diferencia, en este caso el problema de la clepsidra.

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EFM: El problema de De Beaune

Las ecuaciones diferenciales surgieron con la aparición del Cálculo diferencial. Uno de los primeros problemas que se abordó fue el problema de De Beaune: hallar una curva cuya subtangente sea constante.

Otro ejemplo que hemos tratado es el problema de la trayectoria de un proyectil según Galileo.

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EFM: Presentación

En el día de hoy hemos visto

  • Presentación
  • Objetivos de la asignatura
  • Metodología y Evaluación
  • Bibliografía

Objetivos, Metodología y Evaluación

Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado, que encontraréis en Recursos del Campus Virtual.

Bibliográfica

  • Marta Cordero Gracia, Ecuaciones diferenciales ordinarias, ingebook
  • Dennis Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Cengage Learning Editores, 2009.
  • G.F Simmons, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, 1993.
  • V.V. Amelkin, Ecuaciones Diferenciales en la práctica, URSS, 2003.
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