EFM: ED lineales de primer orden

p>El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}.$$

A esta función $\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuación diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.

Esta técnica nos permite resolver la ED

$$\begin{cases} y’+P(x)y = Q(x)\\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$.

Si utilizamos el factor integrante

$$e^{\int_{x_0}^x P(x) dx }, $$

la solución de esta ecuación viene dada por:

$$y(x) =e^{ – \int_{x_0}^x P(x) dx } \left[ y_0 + \int_{x_0}^x Q(x) e^{ \int P(x) dx } dx \right]$$

Ejercicio:Resolver $y’\,\cos(x)+y\sin(x)-1=0$

ALG: Factorización PA=LU

El pasado día vimos la factorización LU de una matriz cuadrada; es decir, conseguir descomponer $A$ en un producto $$A=L\,U,$$ de manera que $U$ triangular superior y $L$ sea triangular inferior con su diagonal principal todo unos. Para hacerlo seguíamos el proceso de trasformaciones elementales $$[I|A]~[L^*|U],$$
donde $U$ es la matriz triangular superior que perseguimos y $L^*$ es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal. La matriz $L$ que buscamos será la inversa de $L^*$, $L=(L^*)^{-1}$.
El problema reside que en algún paso puede aparecer un cero en la diagonal principal de la matriz $U$, y la descomposición fallaría. En tal caso debemos permutar las filas o columnas de la matriz $A$ para que no ocurra. Pero si lo hacemos debemos observar que ahora buscaremos una factorización de $PA$ no de $A$. Es decir, $$PA=LU.$$

Ejercicio:Factorizar mediante el procedimiento LU, la matriz, $$\begin{bmatrix} 1& 4 &-3\\ 2& 8 & 1\\ -5 & -9 & 7\end{bmatrix}$$.
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ALG: Factorización LU

p>La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.

El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$A=L\,U,$$ de manera $L$ sea triangular inferior y $U$ triangular superior.

Recordad que una operación elemental entre filas se puede considerar como una matriz. De esta manera Podemos realizar una serie de eperaciones elementales entre filas para transformar la matriz de partida $A$, en una matriz escalonada (triangular superior). Es decir;
$$E_k\,E_{k-1}\cdots E_1\, A= U.$$
Como cada matriz $E_i$ es regular (por sus propiedades), entonces:
$$A= E_1^{-1}\, E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}\, U$$
Así será
$$L=E_1^{-1}\, E_2^{-1}\cdots E_k^{-1}.$$
Es fácil comprobar que $L$ es triangular inferior. Y además, si $A$ es regular, la diagonal principal de $L$ serán todo unos.

Ejercicio:Factorizar mediante el procedimiento LU, la matriz, $$\begin{pmatrix} 2& -4 &3\\ 6& -8 & 5\\ 6 & 1 & 7\end{pmatrix}$$.
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EFM: Factores integrantes

El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}.$$

A esta función $\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuación diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.

Ahora lo que tenemos que hacer es plantear cómo encontrar los factores integrantes. En clase hemos visot unos métodos. Os dejo otros aquí.

Cuando $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ sean homogéneas del mismo grado y $xP+yQ\neq 0$ entonces un factor integrante será $$\mu=\frac{1}{xP+yQ}.$$

Si (1) puede escribirse en la forma: $yf(x,y)dx+xg(x,y)dy=0$, con $f(x,y)\neq g(x,y)$, será factor integrante $$\mu=\frac{1}{xP-yQ}.$$

Si (1) puede escribirse en la forma: $f_1(x)g_2(y)dx+f_2(x)g_1(y)dy=0$, entonces será factor integrante $$\mu=\frac{1}{f_2(x)g_2(y)}.$$

Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial $x^2(y+1)dx+y^2(x-1)dy=0$

EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$.

Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$
y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$

Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, para ello utilizamos que
$$\frac{\partial u}{\partial y}=Q,\mbox{ y }\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)+g’(y),$$
luego
$$Q(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)+g’(y).$$
Es decir,
$$g(y)=\int Q(x,y)\,dy-\int\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)\right)\,dy$$
Ya solo nos resta sustituir en
$$u(x,y) = \int P(x,y)\,dx+g(y)$$
e igualarlo a una constante.

Si ahora lo que deseamos es encontrar la solución a un problema de valor inicial con $y(x_0)=y_0$, para la solución $u(x,y)=c$, será:

$$u(x,y) = \int_{x_0}^x P(t,y) \mathrm{d}t + \int_{y_0}^y Q(x_0,t)\mathrm{d}t.$$

Si además $Q(x_0,y_0)\neq 0$, entonces el problema de valor inicial
$$\left\{\begin{array}{ll} P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, \\ y(x_0)=y_0, \end{array}\right.$$ tiene solución única, que está definida por la ecuación $u(x,y)=0$.

Podéis ver esto y lo del día anterior en el siguiente enlace.

Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial $$(2\sin y-6xy^2)\, dx+(2x\cos y-6x^2y)\, dy.=0.$$

ALG: Menor y matriz adjunta

Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz, y terminamos definiendo el rango de una matriz en función del orden del mayor menor no nulo.

La existencia del determinante no nulo nos permite dar la inversa de una matriz en función de él:
$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)^{t}$$
siendo $adj(A)$ la matriz ajunta de $A$.

 

Ejercicio: Probar que si una matriz, $A$, es triangular su inversa, si tiene, es triangular.
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ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes.

Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace.

La definición clásica y su significado puede verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades por que serán muy importantes para aprender bien este tema.

Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz.

Propiedades de los determinantes: asumamos $A$ y $B$ dos matrices cuadradas del mismo orden,

  1. $|A|=|A^t|$
  2. Si $B$ es el resultado de hacer una transformación elemental por fila(columna) a la matriz $A$, $A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|$
  3. Si $B$ es el resultado de intercambiar una fila(columna) de la matriz $A$, $A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|$
  4. Si $B$ es el resultado de multiplicar una fila(columna) de la matriz $A$ por un escalar, $A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|$
  5. $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{bmatrix}$. De igual modo podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden $n$.
  6. $|A\,B|=|A|\cdot |B|$

 

Ejercicio: Probar que si una matriz, $A$, tiene inversa, entonces $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ .
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ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$

El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea $A$ la matriz, y consideremos la matriz formada por $[A\, |\, I_n]$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que

$$[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],$$

entonces $B$ es la inversa de $A$.

No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, talque
$$AR=I_m$$ o $$LA=I_n.$$
En caso de existir, denominamos a $R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz $A$; y a $L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz $A$.

Un resultado que utilizaremos:

Una matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y sólo si, $rang(A)=m$ ($rang(A)=n$)

En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante $$R=A^t(AA^t)^{-1},$$
o
$$L=(A^tA)^{-1}A^t.$$

Ejercicio: Dadas las matrices
$$
\begin{bmatrix}0& -1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}0& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}1/3& -2/3& 0\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},
$$
cuál es una pseudoinversa por la izquierda de
$$\begin{bmatrix}1& 2\\ -1& 1\\ 2& 1\end{bmatrix}$$
.
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EFM: ED homogéneas

Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas.

Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$.

Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es homogénea de grado cero, entonces el cambio de variable $y=ux$ la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas. Así obtendríamos la ecuación
$$\frac{du}{f(1,u)-u}=\frac{dx}{x}$$

Cuando tenemos dos funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ homogéneas del mismo grado resulta que la ED $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ se puede expresar como $$\frac{dy}{dx}=f(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)},$$ siendo $f(x,y)$ homogénea de grado 0. Por tanto, la podemos considerar una ED de variables separables, $y=xu$, teniendo
$$x\frac{du}{dx}=-\frac{M(1,u)}{N(1,u)}-u.$$

En tal caso,$$\frac{dx}{x}+\frac{N(1,u)du}{M(1,u)+uN(1,u)}=0,$$ nos sirve para determinar la solución de la ED

Ejercicio: Resolver la ED, $(y-xy’)^2=x^2+y^2$.

EFM: Formas diferenciales exactas

En este curso trataremos una forma diferencia exacta como una expresión del tipo
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$
En determinados casos esta ecuación se puede tratar como una ecuación diferencia de variables separadas. Si la forma es:
$$F_1(x)G_2(y)dx+F_2(x)G_1(y)dy=0,$$ resulta que
$$\frac{G_1(y)}{G_2(y)}dy=-\frac{F_1(x)}{F_2(x)}dx,$$
que se puede tratar como la ecuaciones que ya hemos visto

Ejercicio: Resolver la ED, $(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx=0, \; y(1)=0$.