ALG: Aplicaciones lineales

Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es lineal si se cumple que para todo par de vectores $\vec{v},\vec{u}\in V$ y todo par de escalares $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ se verifica que: $$f(\lambda\vec{v}+\mu\vec{u})=\lambda f(\vec{v})+\mu f(\vec{u}).$$

Para este tema podéis consultar el capítulo 6 del libro ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

Dos subespacios muy importantes serán el núcleo y la imagen de una aplicación lineal.

Recordemos es dada una aplicación lineal, $T$, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de $T:V\to W$ como:

$\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}$
$\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}$

Es decir que el núcleo de una aplicación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda aplicación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Un resultado importante nos dice que si $f:V\to W$, es lineal entre dos espacios vectoriales finitos sobre el mismo cuerpo, entonces

$$dim\,\operatorname{Ker}(f) + dim\,\operatorname{Im}(f)=dim\, V$$

Las aplicaciones lineales cumplen una propiedad muy útil para calcular quién es el conjunto $\operatorname{Im}(f)$:

Si $f:V\to W$, es lineal, donde $B_V$ es una base de $V$, entonces $f(B_V)$ contiene una base de $\operatorname{Im}(f)$.

 

Ejercicio: Estudiar si la aplicación, $f(x,y,z)=(x-z.y-z,x-y)$, es lineal y determinar su núcleo y su imagen.
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