ALG: Cambio de base

Recordemos que todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base. Sea $V$ nuestro $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}$, una base del mismo. Para cualquier vector de $V$, $\vec{v}\in V$, existirán unos únicos escalares $k_i\in \mathbb{K}$, tales que
$$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_n\vec{v}_n.$$
Pues bien, a esos escalares los denominamos coordenadas de $\vec{v}$ respecto de la base $\mathcal{B}$. Así, representado mediante sus coordenadas, expresamos que
$$\vec{v}=\begin{bmatrix}k_1\\ k_2\\ \vdots \\ k_n\end{bmatrix}_\mathcal{B}$$
Qué ocurre si tenemos otra base $\mathcal{B}’$, entonces las coordenadas de $\vec{v}$ serán otras, pero habrá una relación entre ambas. Vamos a utilizar las matrices para encontrar la relación entre ambas coordenadas.

Cuando tenemos dos bases podemo calcular cómo pasar de las coordenadas de una base a la otra. Para ello utilizamos la matriz del cambio de base.

Veamos cómo podemos calcular esta matriz del cambio de base. Sólo tenemos que darnos cuenta como representamos los vectores respecto de cada base. Pongamos dos bases $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$ y $B’=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\ldots,\vec{u}_n\}$. Que un vector cualquiera $\vec{w}$ tenga por coordenadas $(c_1,c_2,\ldots,c_n)_{B}$ respecto de la base $B$ significa que

$$\vec{w}=c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots+c_n\vec{v}_n$$

Si cada $\vec{v}_i$ tiene por coordenadas respecto de una base canónica $(v_{1i},v_{2i},\ldots,v_{ni},)$, podemos escribir lo anterior en forma matricial:

$$\vec{w}=\begin{bmatrix}
v_{11} &v_{12}&v_{13}&\cdots &v_{1n}\\
v_{21} &v_{22}&v_{23}&\cdots &v_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots &\cdots & \vdots\\
v_{n1} &v_{12}&v_{13}&\cdots &v_{1n}\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\ \vdots \\c_n \end{bmatrix}_{B}$$

Del mismo modo que $\vec{w}$ tenga por coordenadas $(c’_1,c’_2,\ldots,c’_n)_{B’}$ respecto de la base $B’$ significa que

$$\vec{w}=c’_1\vec{u}_1+c’_2\vec{u}_2+\ldots+c’_n\vec{u}_n$$
Escrito en forma matricial
$$\vec{w}=\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}&u_{13}&\cdots &u_{1n}\\
u_{21} &u_{22}&u_{23}&\cdots &u_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots &\cdots & \vdots\\
u_{n1} &u_{12}&u_{13}&\cdots &u_{1n}\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c’_1\\c’_2\\c’_3\\ \vdots \\c’_n \end{bmatrix}_{B’}$$

La igualdad de ambos productos nos ofrece la posibilidad de conocer las coordenadas de un vector una base respecto de la otra:

$$\begin{bmatrix}
v_{11} &v_{12}&v_{13}&\cdots &v_{1n}\\
v_{21} &v_{22}&v_{23}&\cdots &v_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots &\cdots & \vdots\\
v_{n1} &v_{12}&v_{13}&\cdots &v_{1n}\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\ \vdots \\c_n \end{bmatrix}_{B}=\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}&u_{13}&\cdots &u_{1n}\\
u_{21} &u_{22}&u_{23}&\cdots &u_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots &\cdots & \vdots\\
u_{n1} &u_{12}&u_{13}&\cdots &u_{1n}\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c’_1\\c’_2\\ \vdots \\c’_n \end{bmatrix}_{B’}$$
Si el sistema matricial lo escribimos así: $P\, C_{B}=Q\,C’_{B’}$, tendremos
$$C_{B}=(P^{-1}Q)\,C’_{B’},$$ o $$(Q^{-1}P)\,C_{B}=C’_{B’}.$$

A la matriz $Q^{-1}P$, la llamamos matriz del cambio de bases de $B$ a $B’$, y la notamos como $$C_{BB’}=Q^{-1}P.$$
Como se observa $C_{B’B}$ es la inversa de $C_{BB’}$.

Para calcular la matriz del cambio de bases podemos utilizar un resultado que nos dice: si a la matriz ampliada $[Q|P]$ le hacemos transformaciones elementales por fila, de modo que obtengamos
$$[Q|P]\to [I_n|C],$$
entonces la matriz $C=C_{BB’}$.

 

Ejercicio: Consideremos el conjunto de todos los polinomio reales de grado menor igual que 3, $P_3[X]$, como $\mathbb{R}-e.v.$, determinar las coordenadas del polinomio $p=3-x+4x^2$, dado en la base canónica, respecto de la base $B=\{2,x-1,x-x^2,2x^2-x^3\}$.
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