ALG: Aplicaciones lineales

Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es lineal si se cumple que para todo par de vectores $\vec{v},\vec{u}\in V$ y todo par de escalares $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ se verifica que: $$f(\lambda\vec{v}+\mu\vec{u})=\lambda f(\vec{v})+\mu f(\vec{u}).$$

Para este tema podéis consultar el capítulo 6 del libro ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

Dada una aplicación lineal, $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicación respecto de una base $B_V\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base $B_W\subseteq W$ de las imágenes de los vectores de $B_V$; es decir, si $B_V=\{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\}$, $B_W=\{\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_m\}$, y
$$
\begin{matrix}
f(\vec{v}_1)=k_{11}\vec{w}_1+k_{21}\vec{w}_2+k_{31}\vec{w}_3+\ldots+k_{m1}\vec{w}_m;\\
f(\vec{v}_2)=k_{12}\vec{w}_1+k_{22}\vec{w}_2+k_{32}\vec{w}_3+\ldots+k_{m2}\vec{w}_m;\\
f(\vec{v}_3)=k_{13}\vec{w}_1+k_{23}\vec{w}_2+k_{33}\vec{w}_3+\ldots+k_{m3}\vec{w}_m;\\
\vdots \quad \vdots \quad \vdots\\
f(\vec{v}_n)=k_{1n}\vec{w}_1+k_{2n}\vec{w}_2+k_{3n}\vec{w}_n+\ldots+k_{mn}\vec{w}_m;
\end{matrix}
$$
llamamos matriz asociada de $f$, a la matriz
$$
M_f=\begin{pmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} &\ldots & k_{1m}\\
k_{21} & k_{22} & k_{23} &\ldots & k_{2m}\\
k_{31} & k_{32} & k_{33} &\ldots & k_{3m}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
k_{n1} & k_{n2} & k_{n3} &\ldots & k_{nm}\\
\end{pmatrix}
$$

Así vemos como una matriz puede representar una aplicación lineal. De hecho podemos establecer una aplicación entre el conjunto de aplicaciones lineales entre dos $\mathbb{K}$-espacios vectoriales $V$ y $W$, de dimensiones $n$ y $m$ (respectivamente) y el espacio vectorial de las matrices $M_{m\times n}(\mathbb{K})$ que sea un isomorfismo de espacios vectoriales; es decir, una aplicación lineal biyectiva. Esto nos equipara las operaciones con aplicaciones a las operaciones con sus matrices asociadas.

Sabemos que si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces
$$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$

Esto nos permite deducir propiedades de la aplicación con sus correspondientes en la matriz. Por ejemplo, una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de la misma dimensión es un isomorfismo si, y solo si, su matriz asociada es regular.

Así, podemos considerar la matriz asociada a una aplicación lineal, $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales respecto de una base $B_V\subseteq V$ como la matriz cuyas columnas son las coordenadas respecto de otra base $B_W\subseteq W$ de las imágenes de los vectores de $B_V$. ¿Y si cambiamos las bases? Es decir, si tengo nuevas bases $B’_V$ y $B’_W$, y deseo encontrar la relación entre la matriz asociada aplicación $M_{f_{B_VB_W}}$, y la matriz $M_{f_{B’_VB’_W}}$. Esa relación nos la ofrece el siguiente gráfico:

cambio_base_apli

En este diagrama $A=M_{f_{B_VB_W}}$ y $C=M_{f_{B’_VB’_W}}$ es la matriz que desconocemos y buscamos. $P=M_{B’_VB_V}$ es la matriz del cambio de base de $B’_V$ a $B_V$ y $Q=M_{B’_WB_W}$. Así la matriz que buscamos es $$C=Q^{-1}\,A\,P.$$

Como habitualmente tratamos los espacios vectoriales $\mathbb{R}^n$ (recordad que todo espacio vectorial finitamente generado, de dimensión $n$, es isomorfo a $\mathbb{R}^n$), este gráfico se representaría como

matriz_aplic_base

donde $E_n$ y $E_m$ son las bases canónicas respectivas.

Recordemos es dada una aplicación lineal, $T$, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de $T:V\to W$ como:

$\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}$
$\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}$

Es decir que el núcleo de una aplicación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda aplicación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Un resultado importante nos dice que si $f:V\to W$, es lineal entre dos espacios vectoriales finitos sobre el mismo cuerpo, entonces

$$dim\,\operatorname{Ker}(f) + dim\,\operatorname{Im}(f)=dim\, V$$

 

Ejercicio: Señala la matriz del cambio de base de $\mathbb{R}^2$, de $B_1=\{(1,0),(-2,1)\}$ a la base $B_2=\{(1,1),(0,1)\}$.
a)$\left[\begin{smallmatrix}1&*\\ 0&1\end{smallmatrix}\right]$

b)$\left[\begin{smallmatrix}2&1\\ *&1\end{smallmatrix}\right]$

c)$\left[\begin{smallmatrix}3&-1\\ -2&*\end{smallmatrix}\right]$
This entry was written by admin , posted on martes noviembre 05 2019at 08:11 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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