ALG: Subespacios vectoriales

La definición de base del pasado día nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si $\vec{v}\in V$, donde $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, decimos que $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n$$

Un resultado muy interesante:

Un conjunto de $m$ vectores de $V$, $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., es libre sii el rango de la matriz cuyas filas son las coordenadas de los $m$ vectores es $m$.

En consecuencia:

Dado un conjunto de $m$ vectores de $V$, $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y dada $M$ la matriz cuyas filas son las coordenadas de los $m$ vectores, respecto de la misma base. Sea $M^*$ la matriz semejante escalonada, entonces los escalones no cero se corresponde a los vectores de la matriz $M$ linealmente independientes, y los escalones cero se corresponde a los vectores linealmente dependientes del resto.

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que en el espacio vectorial.

Un resultado práctico que nos ayudará a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:

Si $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío $S$ de $V$ es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores $\vec{v}, \vec{w}\in S$ y cualesquiera escalares $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector $\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}\in S$.

Un subespacio interesante es el sistema generador de un conjunto de vectores: dados $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V$ definimos el sistema generador como $$<\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>=\{k_1\vec{v}_1+\cdots+k_n\vec{v}_n\in V; k_i\in \mathbb{K}\}$$
Es sencillo probar que es un subespacio vectorial de $V$.

Recordemos que todo sistema generador contiene una base; con lo cual, conseguir una base de un subespacio es tan fácil como hallar un sistema generador del subespacio y reducir los vectores hasta conseguir que formen un sistema libre.

Estudiamos la unión de dos subespacios. En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí lo será cuando uno de los subespacios está contenido en el otro. La manera de verlo es estudiando el rango de la matriz que formamos con los vectores de las bases de ambos subespacios: si el rango de esa matriz coincide con la dimensión de uno de los subespacios, entonces si se cumple que uno de ellos está contenido en el otro.

Hemos tratado las posibilidades que se presenta cuando tenemos dos subespacios vectoriales del mismo K-espacio vectorial. Así si $S$ y $T$ son subespacios de $V$ $K$-e.v.f.g., podemos encontrar $S\cup T$, $S\cap T$, $S+T$.

Recordemos que la unión de subespacios no tiene por qué ser un subespacio, de hecho solo lo será si uno está contenido en el otro ($S\subseteq T$ ó $T\subseteq S$).

En el caso de $S\cap T$ y $S+T$ siempre son subespacios vectoriales (pruebese).

En el caso de una suma $S+T$ puede darse el caso que sea directa si, y solo si, $S\cap T=\vec{0}$, en ese caso suele indicarse como $S\oplus T$.

Un caso particular son los subespacios suplementarios, aquellos $S’$ tales que dado un subespacio $S\subseteq V$ $K$-e.v.f.g., cumple que $S\oplus S’=V$. En tal caso, decimos que $S’$ es suplementario de $S$, y viceversa.

Para terminar enunciamos la fórmula de las dimensiones, o fórmula de Gassman, que nos permite afirmar que

$$dim(S)\, +\, dim(T)=dim(S+T)\,+\, dim(S\cap T).$$

Ejercicio:Probar que el conjunto $$C=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}$$ es un subespacio vectorial del conjunto de las matrices reales de orden 2.
This entry was written by admin , posted on miércoles noviembre 22 2017at 09:11 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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