EFM: Formas diferenciales exactas

Trabajaremos con una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$d(F(x,y))=0.$$ Lo que nos lleva a considerar que una expresión como $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ pueda ser el resultado de la diferencia de una función $F(x,y)$, y en consecuencia $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)$, y, $\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)$.

Ejemplos tenemos en:

  • $d(xy)=ydx+xdy$
  • $d(x^2+y^2)=2(xdx+ydy)$
  • $d\left(\tfrac{y}{x}\right)=\tfrac{xdy-ydx}{x^2}$
  • $d\left(\tan^{-1}\tfrac{x}{y}\right)=\tfrac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$

En estos casos la ecuación diferencial se resuelve fácilmente, pues $$\int d(F(x,y))=\int 0\to F(x,y)=c.$$

Es decir, si nos percatamos que $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es el resultado de una diferencial exacta, $d(F(x,y))=0$, basta para probar que $F(x,y)=c$ es la solución de la ecuación diferencial planteada.

En caso que nos veamos fácilmente si es diferencial exacta, podemos fijarnos si se trata de una ecuación diferencia de variables separadas. Si la forma es:
$$F_1(x)G_2(y)dx+F_2(x)G_1(y)dy=0,$$ resulta que
$$\frac{G_1(y)}{G_2(y)}dy=-\frac{F_1(x)}{F_2(x)}dx,$$
que se puede tratar como la ecuaciones que ya hemos visto.

Ejercicio: Resolver la ED, $(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx=0, \; y(1)=0$.
This entry was written by admin , posted on jueves octubre 11 2018at 11:10 am , filed under Ecu. Física Matemática . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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