ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$

El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea $A$ la matriz, y consideremos la matriz formada por $[A\, |\, I_n]$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que

$$[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],$$

entonces $B$ es la inversa de $A$.

No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, talque
$$AR=I_m$$ o $$LA=I_n.$$
En caso de existir, denominamos a $R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz $A$; y a $L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz $A$.

Un resultado que utilizaremos:

Una matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y sólo si, $rang(A)=m$ ($rang(A)=n$)

En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante $$R=A^t(AA^t)^{-1},$$
o
$$L=(A^tA)^{-1}A^t.$$

Ejercicio: Dadas las matrices
$$
\begin{bmatrix}0& -1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}0& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{bmatrix},\,
\begin{bmatrix}1/3& -2/3& 0\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},
$$
cuál es una pseudoinversa por la izquierda de
$$\begin{bmatrix}1& 2\\ -1& 1\\ 2& 1\end{bmatrix}$$
This entry was written by admin , posted on miércoles octubre 10 2018at 12:10 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

Comments are closed.