ALG: Espacios vectoriales

El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo.

Un espacio vectorial, $V$, sobre un cuerpo,$\mathbb{K}$, será una terna, $(V,+,\cdot)$, que verifica:

  1. $(V,+)$ es un grupo conmutativo
  2. Existe una aplicación, $\cdot\,:\mathbb{K}\times V\to V$,(denominada producto por escalar) que cumple
    1. $ a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(ab)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V$
    2. Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en $\mathbb{K}$, entonces, $1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V$
    3. $a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(a\cdot \mathbf {v} )+(a\cdot \mathbf {w} )\quad \forall a\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$
    4. $(a+b)\cdot \mathbf {v} =(a\cdot \mathbf {v} )+(b\cdot \mathbf {v} )\quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V$

Nos manejaremos con más asiduidad con los subesapcios vectoriales.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$, y $U\subset V$ no vacío, $U$ es un subespacio vectorial de $V$ si:

  1. $\forall \mathbf {v},\mathbf {u} \in U$, $\mathbf {v}+\mathbf {u} \in U$
  2. $\forall \mathbf {u}\in U$, $\forall a\in \mathbb{K}$, $a\mathbf {u}\in U$

También haremos hincapié en:

  • Sistema generador
  • Combinación lineal
  • Dependencia lineal
  • Base

Para este tema podéis consultar el libro
ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

nos planteamos si un vector cualesquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjuntos de vectores del sistema.

Cualquier vector perteneciente a un sistema generador,$\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>$ decimos que es combinación lineal de los vectores del sistema. En general, un vector $\vec{v}$ decimos que es combinación lineal de un conjunto de vectores $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n$,
$$\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>$$

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V$ , decimos que es libre si ningún vector es combinación vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los únicos escalares, $k_1,k_2,…,k_n\in\mathbb{K}$, tales que justifican,
$$k_1\vec{v}_1+\cdots +k_n \vec{v}_n=\vec{0},$$
son $k_1=k_2=\ldots=k_n=0$.

Indistintamente decimos sistema libre o vectores linealmente independientes. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos linealmente dependientes; es decir, algún vector es combinación lineal de los otros.

Dentro de los espacio vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos, los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que además son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos base de un espacio vectorial: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es

  • sistema generador, y
  • linealmente independiente

Al número de vectores de una base de denominamos dimensión del espacio vectorial. Recordemos que siempre estamos tratando con $\mathbb{K}$-e.v finitamente generados.

Uno de los principales resultados es que en todo $\mathbb{K}$-e.v finitamente generados podemos encontrar una base. Así, pues, en un $\mathbb{K}$-e.v finitamente generado de dimensión $n$ un conjunto de $n$ vectores linealmente independiente siempre son base. Además la base no tiene por qué ser única.

 

Ejercicio: ¿Cuál de las siguiente aplicaciones no es un homomorfismo de grupos?.
a)$f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{R}_0^+,\cdot)$, donde $f(n)=e^n$;
b)$g:(\mathbb{Q}_0,*)\to(\{1,-1\}),*)$, donde $g(a)=(-1)^a$;
c) $h:(\mathbb{R}^2,+)\to(\mathbb{R}[X],+)$, donde $h(a_1,a_2)=a_1+a_2X$
This entry was written by admin , posted on martes octubre 29 2019at 08:10 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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