ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales:

Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ (respectivamente $A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ ($B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’$) que son $b_{ik}=a_{ik}+\lambda a_{jk}$ para $k=1,\ldots,n$($k=1,\ldots,m$ ) y cierta fila(columna) $j$ y $\lambda\in\mathbb{K}$. Entonces decimos que las matrices $A$ y $B$ son semejantes por transformaciones elementales.

Decimos que una matriz es escalonada, cuando dado una matriz podemos encontrar una matriz semejante por transformaciones elementales que tiene en alguna de sus filas (columnas) todo los elementos cero. La matriz resultante escalonada será la matriz escalonada con mayor número de filas (columnas) todo cero que podamos conseguir.

Con estas definiciones podemos dar el rango de una matriz como el número de filas (columnas) distintas de cero de su matriz escalonada.

Una propiedad interesante es que el rango de una matriz siempre es el mismo, independientemente que se consideren filas o columnas.

Si dos matrices, $A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$, son semejantes por transformaciones elementales por fila(o columna) entonces existe una matriz $F\in \mathcal{M}_{m\times m}(\mathbb{K})$ ($C\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$) tal que
$$B=FA\,(B=AC).$$
Hemos realizado varios ejercicios buscando esa matriz $F$.

Ejercicio: Dadas la matrices
$A=\begin{bmatrix}-6 & 2&3&1\\ 1&0&-1&0\\ 1&-1&0&2 \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}1& -1& 0& 2\\ 0 & 1&-1&-2\\ 0 & 0&1&-5 \end{bmatrix}$, encontrar la matriz $F$, talque $B=FA$.
This entry was written by admin , posted on lunes octubre 08 2018at 10:10 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

Comments are closed.