ALG: Homomorfismo, Anillos y cuerpos

Definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicación que conserva la operación interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicación $f:G_1\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\circ f(w).$$

Establecer un homomorfimos entre dos grupos no permite utilizar ciertas propiedades muy útiles:

Dados los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, $f:G_1\to G_2$, si existe un homomorfismo entre ellos se cumple:

  • $f(e_{G_1})=e_{G_2}$, siendo $e_{G_1}$ y $e_{G_2}$ los elementos neutros de $G_1$ y $G_2$, respectivamente
  • $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}, \forall a\in G_1 $

Otra definición muy interesante es la de núcleo de un homomorfismo. Definimos núcleo de un homomorfismo,$f:G_1\to G_2$, y lo notaremos como $Ker(f)$, al conjunto
$$Ker(f)=\{a\in G_1;\, f(a)=e_{G_2}\}$$

Propiedad: Si $f:G_1\to G_2$, es un homomorfismo entre los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, entonces es inyectivo si, y solo si, $Ker(f)=\{e_{G_1}\}$

A un homomorfismo inyectivo lo llamamos monomorfismo. Si es suprayectivo se denomina epimorfismo, y en caso de ser ambos es isomorfismo.

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA BÁSICA Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.

Comentando anillo como $\mathbb{R}[X]$,el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos como podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorización de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.

Viendo el anillo $\mathbb{C}[X]$, enunciamos el teorema fundamental del álgebra. Llegando a la conclusión que todo polinomio real puede tener raíces reales y complejas, apareciendo estas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una raíz real.

La definición de un homomorfismo entre grupos podemos extenderla a un anillo. Un homomorfismo de anillos será una aplicación $f:(A_1,+,\cdot)\to (A_2,\oplus,*)$ que verifica:
$$
\begin{array}{ll}
i) & f(v+w)=f(v)\oplus f(w)\\
ii) & f(v\cdot w)=f(v) * f(w)
\end{array}
$$

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

Además aquí disponéis de link instructivos:

 

Ejercicio: ¿Cuál de los siguiente conjuntos no tiene estructura de grupo?.
a)$(\mathbb{R},*)$, donde $x*y=x+y+4$;
b)$(\{1,-1\}),*)$, donde $1*(-1)=(-1)*1=-1$;
c) $(\mathbb{R},*)$, donde $x*y=x+y-xy$
This entry was written by admin , posted on lunes octubre 28 2019at 10:10 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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