ALG: Producto de matrices por bloques

El pasado día ofrecimos una forma de definir el producto de matrices de manera original, definiendo primero el producto de una matriz fila por una matriz columna, que es equivalente a la denotada por
$$AB=\left[\sum _{p=1}a_{ip}b_{pj}\right]_{n\times m}.$$

Como vimos esta operación no es conmutativa, aunque pueda realizarse la multiplicación, por ejemplo si ambas matrices son cuadradas, su producto no tiene porque ser igual.

Otro tipo de multiplicación interesante, es la multiplicación por bloques. Supongamos que tenemos dos matrices $X=[x_{ij}]\in\mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ ,$Y=[y_{ij}]\in\mathcal{M}_{p\times m}(\mathbb{K})$. Si podemos trocear
$$
X=\begin{bmatrix}
A & \vdots & B \\
\ldots & \vdots &\ldots \\
C & \vdots & D
\end{bmatrix},
\quad
Y=\begin{bmatrix}
E & \vdots & F \\
\ldots & \vdots &\ldots \\
G & \vdots & H
\end{bmatrix}
$$
de manera que existan los productos $AE$, $AF$, $CE$, $CF$, $BG$, $BH$, $DG$, y $DH$, entonces se cumple:
$$
XY=\begin{bmatrix}
AE+BG & \vdots & AF+BH \\
\ldots & \vdots &\ldots \\
CE+DG & \vdots & CF+DH
\end{bmatrix}
$$
Esta forma puede llegar a simplificarnos el producto. A esta forma de multiplicar se la denomina multiplicación por bloques.

$\,$

Ejercicio: Sean las matrices $A$ y $B$ cuadradas del mismo orden y las matrices por bloques
$$
X=\begin{bmatrix}
I & \vdots & A \\
\ldots & \vdots &\ldots \\
0 & \vdots & I
\end{bmatrix},
\quad
Y=\begin{bmatrix}
I & \vdots & B \\
\ldots & \vdots &\ldots \\
0 & \vdots & I
\end{bmatrix},
$$
donde $I$ es la matriz identidad y 0 es la matriz cero, ambas del mismo orden que las anteriores. Probar que el producto $XY$ es conmutativo.
This entry was written by admin , posted on viernes octubre 05 2018at 12:10 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

Comments are closed.