Hoy nos iniciamos en un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, Maxima. Un herramienta informática que nos ayudará a resolver problemas de la asignatura de forma sencilla y aplicada.
Para comenzar nos iniciaremos en la definición de vectores y matrices, y las operaciones que podemos hacer con ellos.
Vectores
Un vector se define utilizando [] y los elementos del vector separados por comas. Con los vectores podemos hacer las operaciones básicas de suma y multiplicación por escalar.
Ejercicio: Sean los vectores \(v:[1,2,3]\) y \(u:[4,5,6]\), calcular \(2v-3u\)
Como hemos visto en el ejercicio anterior, el operador "+" suma componente a componente de dos vectores. El operador "*" multiplica un escalar por cada uno de los elementos de un vector. Una diferencia cuando utilizamos los operadores "*" o "." entre vectores. El operador "*" entre dos vectores nos proporciona otro vector de la misma dimensión donde las componentes se han multiplicado dos a dos; mientras que el operador "." nos proporciona el producto escalar de dos vectores.
Otro operador importante es "^", en este caso \(v\)^n, siendo \(v\) un vector, eleva cada una de las componentes de \(v\) a \(n\).
Matrices
Si queremos utilizar matrices nos bastará con definirla mediante matrix(). Las filas de definimos como vectores:
Ejercicio: Definir las matrices \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\end{bmatrix}\) y \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3& 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}\).
La primera, A, sería una matriz de 2×3, B sería una matriz de 3×2. La manera de acceder a los elementos es mediante A[i,j].
Los operadores anteriores comentados para vectores funcionan igual en matrices. En el caso de elevar una matriz a una potencia tendríamos que utilizar "^^".
Otra forma de acceder a submatrices es con los comandos:
- col((Matriz,NúmColumna)): Recupera la columna NúmColumna.
- row((Matriz,NúmFila)): Recupera la fila NúmFila.
- submatrix(\(i_1,i_2,\ldots,i_p\), Matriz,\(j_1,j_2,\ldots,j_q\)): Elimina de la Matriz las filas cuyos números son \(i_1,i_2,\ldots,i_p\) y las columnas cuyos números son \(j_1,j_2,\ldots,j_q\). No es preciso que estén ambas: pueden eliminarse únicamente filas o columnas.
- addrow(Matriz, \(v_1, \ldots, v_p\)): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) \(v_1, \ldots, v_p\). Las longitudes deben ser concordantes.
- addcol(Matriz, \(v_1, \ldots, v_p\)): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) \(v_1, \ldots, v_p\). Las longitudes deben ser concordantes.
- matrix_size(Matriz): Proporciona las dimensiones de la matriz.
- transpose(Matriz): Proporciona la matriz traspuesta de Matriz.
Algunas matrices interesantes:
- diagmatrix(Número,Valor): Genera una matriz cuadrada diagonal cuyo tamaño se establece mediante el valor de Número y en la que todos los elementos de la diagonal tienen el mismo Valor.
- diag_matrix(\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)): Genera una matriz diagonal cuadrada con \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) en la diagonal.
- ident(Número): Genera la matriz identidad (cuadrada) cuyo tamaño viene dado por el valor Número; es un caso particular del anterior.
- zeromatrix(n,m): Genera la matriz de n filas y m columnas en la que todos sus elementos son ceros.
Ejercicio: Construir la matriz \[\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\end{pmatrix}\]
Ejercicio: Escribir en forma matricial el sistema \[\begin{matrix}x+2y=10\\ 2x-2y=4\\ 3x+5y=26\end{matrix}\]
Ejercicio: Dadas \(A\)=[[1,-3],[2,2],[4,1]] y \(B\)=[[-1,-7], [4,-5]], Si \(C=B^t\cdot A^t\), ¿cuánto es \(c_{12}\)?
Ejercicio: Sea \(A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ \alpha & 1 \end{bmatrix}\), ¿cuál es el valor de \(\alpha\) para el cual A es una raíz del polinomio \(f(x)=x^2-2x-8\)?
Bibliografía
- Arriaza Gómez A. J., del Águila Garrido L., Rambla Barreno F., Redondo Neble M. V., Rodríguez Galván J. R., Viglialoro G. Manual de prácticas de Matemáticas con Máxima. Cádiz: Editorial UCA; 2015.
Ejercicio: Sean \(A=\begin{bmatrix}1&0\\ 1&0\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}\), \(C=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&0\end{bmatrix}\) y \(D=\begin{bmatrix}0&0\\ 1&0\end{bmatrix}\), ¿cuánto suman las coordenadas de la primera fila \(A+B+(C+D)^t\)? |