EFM: Factores integrantes

El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}.$$

A esta función $\mu$, la denominamos factor integrante. A veces, el uso de factores integrantes nos ayudan a simplificar una ecuación diferencial (ED). En general la transformamos en una ED exacta o en una ED de variables separadas.

Ahora lo que tenemos que hacer es plantear cómo encontrar los factores integrantes. En clase hemos visot unos métodos. Os dejo otros aquí.

Cuando $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ sean homogéneas del mismo grado y $xP+yQ\neq 0$ entonces un factor integrante será $$\mu=\frac{1}{xP+yQ}.$$

Si (1) puede escribirse en la forma: $yf(x,y)dx+xg(x,y)dy=0$, con $f(x,y)\neq g(x,y)$, será factor integrante $$\mu=\frac{1}{xP-yQ}.$$

Si (1) puede escribirse en la forma: $f_1(x)g_2(y)dx+f_2(x)g_1(y)dy=0$, entonces será factor integrante $$\mu=\frac{1}{f_2(x)g_2(y)}.$$

Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial $x^2(y+1)dx+y^2(x-1)dy=0$
This entry was written by admin , posted on martes octubre 31 2017at 02:10 pm , filed under Ecu. Física Matemática . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

Deja un comentario

XHTML: You can use these tags: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>