EFM: Concepto de ED. Soluciones.

Hoy hemos visto la definición y tipos de ecuaciones diferenciales, donde trabajamos la definición formal de una ED y clasificando las mismas de acuerdo con su tipo, orden y linealidad; cómo realizar las gráficas de las soluciones de ED; sus tipos de soluciones: trivial, explicitas e implícitas.

Trataremos con más frecuencia las soluciones generales paramétricas de un Problema de valores iniciales y, en algunos casos, veremos soluciones singulares.

Un Problema de valor inicial es una ecuación diferencial $y'(x)=f(x,y(x))$ con $f\colon \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, donde $\Omega$ es un conjunto abierto de $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$, junto con un punto en el dominio de $f$, $(x_{0},y_{0})\in \Omega$ llamada la condición inicial. Una solución a un problema de valor inicial es una función $y$ que es una solución a la ecuación diferencial y satisface
$y(x_{0})=y_{0}$.

Nosotros trabajaremos principalmente con la solución general, una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Como dependiendo del parámetro será una función distinta, decimos familia de soluciones $n$-paramétricas. A veces por abreviar, monoparamétricas, si es de un sólo parámetro; biparamétrica, …

Que existan una solución en particular dependerá de la función $f(x,y)$, de la EDO. El teorema de Picard nos lo confirma:

Sea $f(x,y):\Omega \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ donde $\Omega$ es un abierto, y $f$ una función continua y localmente Lipschitz respecto de $y$. Entonces, dado $(x_{0}, y_{0})\in \Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\alpha }=[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]\subset \mathbb {R} ,\alpha \in \mathbb {R}$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
$$\begin{cases}x’=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases},$$
que cumple que los pares $\in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}$.

Terminamos repasando ejercicios de cómo dadas la familia de soluciones podemos encontrar la ecuación diferencial que la proporciona.

Recordad que para este propósito nos basta con diferenciar: Supongamos $F(x,y(x))=c$ es la familia, en este caso, monoparamétrica de soluciones, si diferenciamos

$$\begin{align*}
d(F(x,y(x)))=d(c)&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_xF(x,y)dx+\partial_yF(x,y)dy&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_xF(x,y)+\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}&=0 \\
&\Downarrow \\
\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}&=-\partial_xF(x,y) \\
&\Downarrow \\
\frac{dy}{dx}&=-\frac{\partial_xF(x,y)}{\partial_yF(x,y)}\end{align*}$$

 

Ejercicio: Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro $x^3+y^3=3cxy$, se denominan folia de Descartes. Verificar si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden: $$\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^3-2x^3)}{x(2y^3-x^3)}$$
This entry was written by admin , posted on jueves octubre 04 2018at 11:10 am , filed under Ecu. Física Matemática . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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