EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$.

Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$
y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$

Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, para ello utilizamos que
$$\frac{\partial u}{\partial y}=Q,\mbox{ y }\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)+g’(y),$$
luego
$$Q(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)+g’(y).$$
Es decir,
$$g(y)=\int Q(x,y)\,dy-\int\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)\right)\,dy$$
Ya solo nos resta sustituir en
$$u(x,y) = \int P(x,y)\,dx+g(y)$$
e igualarlo a una constante.

Si ahora lo que deseamos es encontrar la solución a un problema de valor inicial con $y(x_0)=y_0$, para la solución $u(x,y)=c$, será:

$$u(x,y) = \int_{x_0}^x P(t,y) \mathrm{d}t + \int_{y_0}^y Q(x_0,t)\mathrm{d}t.$$

Si además $Q(x_0,y_0)\neq 0$, entonces el problema de valor inicial
$$\left\{\begin{array}{ll} P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, \\ y(x_0)=y_0, \end{array}\right.$$ tiene solución única, que está definida por la ecuación $u(x,y)=0$.

Podéis ver esto y lo del día anterior en el siguiente enlace.

Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial $$(2\sin y-6xy^2)\, dx+(2x\cos y-6x^2y)\, dy.=0.$$
This entry was written by admin , posted on lunes octubre 30 2017at 11:10 am , filed under Ecu. Física Matemática . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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