ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes.

Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace.

La definición clásica y su significado puede verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades por que serán muy importantes para aprender bien este tema.

Propiedades de los determinantes: asumamos $A$ y $B$ dos matrices cuadradas del mismo orden,

  1. $|A|=|A^t|$
  2. Si $B$ es el resultado de hacer una transformación elemental por fila(columna) a la matriz $A$, $A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|$
  3. Si $B$ es el resultado de intercambiar una fila(columna) de la matriz $A$, $A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|$
  4. Si $B$ es el resultado de multiplicar una fila(columna) de la matriz $A$ por un escalar, $A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|$
  5. $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{bmatrix}$. De igual modo podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden $n$.
  6. $|A\,B|=|A|\cdot |B|$

 

Ejercicio: Dadas las matrices
$$
(A)\begin{bmatrix}0& -1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},\,
(B)\begin{bmatrix}0& -1& 1\\ 1& 1& 0\end{bmatrix},\,
(C)\begin{bmatrix}1/3& -2/3& 0\\ 1/3& 1/3& 0\end{bmatrix},
$$
cuál es una pseudoinversa por la izquierda de
$$\begin{bmatrix}1& 2\\ -1& 1\\ 2& 1\end{bmatrix}$$
This entry was written by admin , posted on miércoles octubre 09 2019at 01:10 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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