Uno de los ejercicios más comunes que realizaremos será el cálculo de rango, determinantes, menores e inversa de una matriz. Primero aprenderemos a realizarlo mediante operaciones elementales, consiguiendo una matriz escalonada o una matriz triangular. No obstante, tenemos los comandos que nos los proporcionan:
- rank(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su rango.
- determinant(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su determinante.
- mat_trace(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su traza.
Ejercicio: Cuál es el mayor valor de los menores principales de la matriz \[\begin{bmatrix}
1 & 4 & -1 & 1 & 2 & 1\\
8 & 9 & -2 & 2 & -3& 0\\
0 & -3 & 8 & 3 & 4 & -3\\
4 & -2 & 0 & -7 & 1 & 4\\
1 & 0 & -5 & 3 & 0& 7\\
-3 & 6 & -4 & 4 & 6 & 9
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Cuál es el valor de x para que el rango de la matriz sea 2 \[\begin{bmatrix}
5 & -5 & -6\\
-5 & 3 & -1 \\
0 & x &7
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Cuál es el rango de la matriz según el valor del parámetro \(\alpha\) \[\begin{bmatrix}
\alpha & 1 & 1 & 2 \\
2 & \alpha & \alpha^2 &1\\
2 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 1 & 0\\
n & n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R),\] y \(adj(A)=[A_{ij}]^t\) su matriz adjunta. ¿Cuántos \(A_{ij}=0\) hay?
Más comando interesantes:
- adjoint(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su adjunta.
- minor(\(M,i,j\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve el menor (i,j), esto es, elimina la fila i y la columna j de la matriz.
- invert(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa.
- invert(\(M\)),detout: dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa con el determinante fuera.
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}
x & 1 & -1\\
0 & 2 & x \\
4 & 0 & -x
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1-i & 2\\
0 & 2 & x & 3\\
4-i & -x & 2 & 1\\
2 & -1 & 7 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C})\]
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}1&3&1&3\\2&3&4&5\\3&2&x&2\\4&x&6&5\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Sea la matriz \(A\)=[[1,-1,1,2],[0,0,3,-1],[4,2,0,2],[1,0,3,-1]], ¿cuál es el mayor valor de sus menores principales? |