MAD: Variaciones y Permutaciones

Introducimos las primeras de las técnicas básicas de conteo: la variaciones. Llamaremos variaciones de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$, al número de aplicaciones inyectivas que podemos hacer del conjunto $A$, de cardinal $m$, en el conjunto $B$, de cardinal $n$, $m\leq n$. Para calcular las variaciones utilizaremos:

$$V_{n,m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}.$$

Imaginemos que deseamos contar el total de aplicaciones posibles, entonces se plantean las variaciones con repetición. Llamaremos variaciones con repetición de $m$ (0<$m$) elementos de un conjunto de $n$ elementos (0<$n$) al número $$VR_{n,m}=n^m,$$ y se corresponde con las aplicaciones de un conjunto de $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos. Llamaremos permutaciones de un conjunto de $n$ elementos (0<$n$) al número $$P_n=n!,$$ y se corresponde con las aplicaciones biyectivas de un conjunto de $n$ elementos sobre un subconjunto de $\mathbb{N}$ del mismo cardinal. Otra forma de definir la permutación de un conjunto de $n$ elementos es como una siposición ordenada de los elementos $n$ elementos. Esa disposición la podemos representar como una $n$-tupla. Si una $n$-tupla circular la entendemos como la $n$-tupla donde hemos unido el inicio con el fin, podemos considerar una permutación circualr como una $n$-tupla circular, donde dos permutaciones circulares son iguales si cada elemento tiene a derecha e izquierda los mismos compañeros. De esta forma, En número de permutaciones circulares que podemos hacer con un conjunto de $n>0$ elementos es $$PC_n=P_{n-1}=(n-1)!.$$

Por último podemos considerar una permutación de los elementos de un conjunto donde se repiten alguno de ellos. Una permutación con repetición de un conjunto $A=\{x_i;i=1,…,n\}$, quedará identificada por una disposición de la forma
$$(x_1,\overset{\underbrace{r_1}}{\ldots},x_1,x_2,\overset{\underbrace{r_2}}{\ldots},x_2,\ldots,x_n,\overset{\underbrace{r_n}}{\ldots},x_n)$$
donde $r_1+r_2+\ldots+r_n\in\mathbb{N}$ determina el número de elementos totales. En ese caso el número total de permutación con repetición del conjunto $A$, donde cada elemento $x_i\in A$ sae repite $r_i\mathbb{N}$ veces es
$$PR_{r_1+r_2+\ldots+r_n}^{r_1,r_2,\ldots,r_n}=\frac{(r_1+r_2+\ldots+r_n)!}{r_1!\,r_2!\,\ldots\,r_n!}.$$

Ejercicio:¿Cuántas palabras distintas de cinco letras, podemos hacer con las letras de {a,b,c,d,e}?
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