MAD: Congruencias

Utilicemos wiki para definir que entendemos por congruencia:

un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\neq 0$, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación $$a \equiv b \pmod{m}.$$

Esta definición nos permitía construir clases de equivalencia de números enteros, también llamadas clases de congruencia, que puede ser dotadas de un sistema aritmético. Los conjuntos de estas clases son los conocidos $\mathbb{Z}_n$, que poseen estructura de anillo.

Recordemos que estos conjuntos también puede ser cuerpos, pero solo si $n$ es primo.

$\mathbb{Z}_p$ es un cuerpo si, y solo si, $p$ es primo

En la clase de hoy hemos recordados estos conjuntos y establecido alguna de sus propiedades. Por ejemplo:

  • Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, entonces también ${\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}$
  • Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}}$, entonces también ${\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}}$.
  • Si $a$ es coprimo con $m$ y ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, entonces $b$ también es coprimo con $m$.
  • Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y $k$ es un entero, entonces también se cumple
    • ${\displaystyle a(\pm)k\equiv b(\pm)k{\pmod {m}}}$,
    • ${\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$,
    • ${\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}$
  • Si además $k$ es coprimo con $m$ entonces podemos encontrar un entero ${\displaystyle k^{-1}\,}$, tal que ${\displaystyle kk^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}$
    • En este caso  tiene perfecto sentido hablar de la división y podemos decir que ${\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}$, entendiendo que ${\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}$.

Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}$,
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

  • ${\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}$

Todas estas y más las tenéis en estos enlaces:

 

Ejercicio: ¿Cuánto suman todos los divisores del número 294?
    1. a) 880
      b) 724
      c)684
      d) Ninguna de las anteriores.
This entry was written by admin , posted on jueves febrero 13 2020at 12:02 pm , filed under Matemática Discreta . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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