MAD: Ecuaciones diofánticas

Comenzamos con el tema de ecuaciones diofánticas. Recordad que llamamos ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Nosotros solo trataremos las ecuaciones diofántica lineal; es decir, la ecuación $$a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,$$ y, en concreto, solo de dos o tres variables.

Hemos visto el teorema que nos afirma que

$$a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = C,$$

tiene solución sii $d=mcd(a_1,a_2,…,a_n)$ divide a $C$.

Primero tratamos la ecuación diofántica de dos variables, $$ax+by=c$$ aprendiendo a resolverla en el caso de que pueda resolverse. Recordad que para ello necesitamos que $mcd(a,b)|c$. Nos apoyamos en el hecho de que la existencia de una solución particular, $$ax_0+by_0=mcd(a,b),$$ dada por el Teorema de Bezout, permitirá encontrar las infinitas soluciones.

Ejercicio: Resolver la ecuación diofántica $$4x+15y=37.$$
This entry was written by admin , posted on viernes marzo 09 2018at 10:03 am , filed under Matemática Discreta . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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