MAD: Números primos

En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$, que no tiene divisores más que el 1 y el mismo.

El siguiente resultado es muy importante:

Teorema: Si $p\in\mathbb{Z}$ es primo y $p|(a\,b)$, entonces, ó $p|a$ ó $p|b$

Para determinar los primos podemos utilizar la criba de Eratóstenes.

Como vemos al utilizar la criba de Eratóstenes observamos que los números primos aparecen constantemente; en efecto, el teorema siguiente lo justifica.

Teorema: El conjunto de los números primos es infinito

Terminamos con el Teorema fundamental de la aritmética:

Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma única, salvo el orden, como producto de factores primos.

Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy prácticas:

Teorema: Sean $n,m\in \mathbb{Z}-\{-1,0,1\}$, con $n=p_1p_2\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos, y $u_j\in\{-1,1\}\forall j\in\mathbb{N}$. Entonces $$n|m\Leftrightarrow \forall i\in\{1,\ldots, r\}\exists j\in\{1,\ldots, r\}\,|\, p_i=q_ju_j$$

Además podemos obtener las siguientes propiedades:

Teorema: Sean $n\in \mathbb{Z}^+$, con $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}$ la descomposición en factores primos con $p_i\neq p_j\forall j\neq i,\alpha_i\in\mathbb{N}\forall i\in\{1,\ldots, r\}$. Entonces

  • (Divisores de un número compuesto) los divisores de $n$ son los términos del producto $$(1+p_1+p_1^2+\ldots+p_1^{\alpha_1})\cdots(1+p_r+p_r^2+\ldots+p_r^{\alpha_r})$$
  • (Número de divisores de un número compuesto) $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_r+1)$$
  • (Suma de los divisores de un número compuesto) $$\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\,\frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_r^{\alpha_r+1}-1}{p_r-1}$$
  • (Producto de los divisores de un número compuesto) el producto de los divisores de $n$ es $\sqrt{n^k}$ siendo $k$ el número de divisores de $n$.

 

Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes soluciones, $(x,y)$, se corresponde a la ecuación $2233x+1124y=mcd(2233,1124)$? ($a,b\in\{0,\ldots,9\}$)
    1. a) $(-a5,b49)$
    1. b) $(-5a,4b9)$
    1. c) $(-a,b49)$
    1. d) Ninguna de las anteriores.
This entry was written by admin , posted on lunes febrero 10 2020at 08:02 am , filed under Matemática Discreta . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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