ALG: Matrices ortogonales y autovalores

Terminamos el tema 7 con las matrices ortogonales. Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$

Propiedades que cumple una aplicación ortogonal:

  • Es lineal
  • Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$
  • Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus imágenes son ortogonales
  • La aplicación es biyectiva
  • Los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales
  • La imagen de una base ortonormal es ortonormal
  • Su matriz asociada es ortogonal

Hay varias formas de definir una matriz ortogonal. Nosotros emplearemos la que parte de la teoría de matrices. Así diremos que de una matriz cuadrada es ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta; es decir,$$A^{-1}=A^t.$$

Para nosotros será muy útil el siguiente resultado:

Teorema: Una matriz $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ es ortogonal si y sólo si sus vectores filas o vectores columna son cada uno un conjunto ortonormal de vectores.

Otra propiedad muy útil es que el determinante de una matriz ortogonal es 1 ó -1.

La relación entre los concepto de aplicación ortogonal y matriz ortogonal es muy sencilla:

Teorema: Si tenemos un endomorfismo ortogonal sobre una base ortonormal, entonces su matriz asociada es una matriz ortogonal.

Dicho de otro modo, las aplicaciones ortogonales, aquellas que conservan el producto escalar, tienen por matrices asociadas a matrices ortogonales (matrices cuadradas que cumplen que su inversa coincide con la traspuesta). Además se cumple, que en una matriz ortogonal las filas o columnas, consideradas como vectores, son ortonormales.

Por último, comenzamos el tema 8, en particular, explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz y.

Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz cuadrada y $I$ la indentidad en $\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$.

El polinomio p(λ) = det(A – λI) es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico (soluciones de la ecuación característica).

 

Ejercicio: Hallar $a,b,c,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ de manera que la matriz \begin{pmatrix}a & 2a & 2/3 \\ b & -b & c \\ \alpha & \beta & \gamma\end{pmatrix} sea ortogonal
This entry was written by admin , posted on lunes enero 14 2019at 10:01 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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